A. \(a^2\) सम है इसलिए (a) सम है/\(a^2\) is even, so (a) is even
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is even. Then the rule proves (a) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम है इसलिए (a) सम है / \(a^2\) is even, so (a) is even. From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is even. Then the rule proves (a) is even.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम मिलता है। फिर नियम से (a) सम सिद्ध होता है।
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
If prime (3) divides a square, it divides the number too. So (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. If prime (3) divides a square, it divides the number too. So (p) is a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) (3) का गुणज है।
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime. If both are even, common factor (2) appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (a) और (b) दोनों सम हैं / Both (a) and (b) are even. In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime. If both are even, common factor (2) appears.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य माने गए थे। दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है।
Only (p) being divisible by (3) is not the final contradiction. Later (q) must also be proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3). Only (p) being divisible by (3) is not the final contradiction. Later (q) must also be proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। बाद में (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना पड़ता है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती/The fraction cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, the fraction can be reduced by (2). This breaks the lowest form assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती / The fraction cannot be in lowest form. If both are even, the fraction can be reduced by (2). This breaks the lowest form assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप की मान्यता को तोड़ता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं है/\(\frac{p}{q}\) is not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं है / \(\frac{p}{q}\) is not in lowest form. Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (a=2b). The correct conclusion is only that (a) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b). The square relation does not directly give (a=2b). The correct conclusion is only that (a) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष केवल (a) का सम होना है।
D. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), directly (p=3q)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (p=3q). First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), directly (p=3q). The square relation does not directly give (p=3q). First (p) is proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किया जाता है।
A. विषम (a) का वर्ग विषम होगा, पर \(2b^2\) सम है/Square of odd (a) is odd, but \(2b^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But the equation shows \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विषम (a) का वर्ग विषम होगा, पर \(2b^2\) सम है / Square of odd (a) is odd, but \(2b^2\) is even. The square of an odd number is odd. But the equation shows \(a^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन समीकरण \(a^2\) को सम दिखाता है।
A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Step 1
Concept
Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible. Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) का गुणनखंड \(p^2\) में तभी होगा जब (p) में हो। समीकरण इस विभाज्यता को अनिवार्य करता है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the full standard chain of proof by contradiction. Each step uses the previous step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the full standard chain of proof by contradiction. Each step uses the previous step.
Step 3
Exam Tip
यही मानक विरोधाभास प्रमाण की पूरी श्रृंखला है। हर चरण में पिछले चरण का उपयोग होता है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally the coprime assumption breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\). In the proof of \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally the coprime assumption breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है।
A. दोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास/A real contradiction when both become even
Step 1
Concept
Without the coprime condition, both even would not create a contradiction. Lowest form is the backbone of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास / A real contradiction when both become even. Without the coprime condition, both even would not create a contradiction. Lowest form is the backbone of the proof.
Step 3
Exam Tip
यदि सहभाज्य शर्त न हो, तो दोनों सम मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। सरलतम रूप प्रमाण की रीढ़ है।
A. दोनों (3) से विभाज्य निकलने पर विरोधाभास बनता है/A contradiction forms when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) conflicts with this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य निकलने पर विरोधाभास बनता है / A contradiction forms when both become divisible by (3). In lowest form, (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) conflicts with this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से टकराता है।
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) shows (p) is divisible by (3), and \(q^2=3k^2\) shows (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3). (p=3k) shows (p) is divisible by (3), and \(q^2=3k^2\) shows (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है और \(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है।
A. यदि संख्या विषम है तो उसका वर्ग विषम है, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Step 1
Concept
It is necessary to use the parity rule in the correct direction. This proves (a) and (b) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि संख्या विषम है तो उसका वर्ग विषम है, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है / If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even. It is necessary to use the parity rule in the correct direction. This proves (a) and (b) even.
Step 3
Exam Tip
समता के नियम को सही दिशा में उपयोग करना जरूरी है। इसी से (a) और (b) सम सिद्ध होते हैं।
A. यदि \(3\mid p^2\) तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Step 1
Concept
Since (3) is prime, factor (3) in the square comes from the original number. This is the key rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(3\mid p^2\) तो \(3\mid p\) / If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\). Since (3) is prime, factor (3) in the square comes from the original number. This is the key rule.
Step 3
Exam Tip
(3) अभाज्य है इसलिए वर्ग में (3) का गुणनखंड मूल संख्या से आता है। यह प्रमाण का मुख्य नियम है।
A. यह आवश्यक रूप से सही नहीं है; पहले (a) सम सिद्ध करके प्रतिस्थापन चाहिए/It is not necessarily justified; first prove (a) even and substitute
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) does not directly give \(b^2\) even. Only after putting (a=2r) do we get \(b^2=2r^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह आवश्यक रूप से सही नहीं है; पहले (a) सम सिद्ध करके प्रतिस्थापन चाहिए / It is not necessarily justified; first prove (a) even and substitute. \(a^2=2b^2\) does not directly give \(b^2\) even. Only after putting (a=2r) do we get \(b^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से सीधे \(b^2\) सम नहीं मिलता। (a=2r) रखने के बाद ही \(b^2=2r^2\) मिलता है।
A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा/The step is incomplete; first (p=3k) must be taken
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा / The step is incomplete; first (p=3k) must be taken. First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
Step 3
Exam Tip
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) का निष्कर्ष मिलता है।
A. प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में और (\gcd(a,b)=1) के साथ लेना चाहिए/In proof, \(\frac{a}{b}\) should be taken in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
Lowest form is needed for contradiction. Then both becoming even conflicts with (\gcd(a,b)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में और (\gcd(a,b)=1) के साथ लेना चाहिए / In proof, \(\frac{a}{b}\) should be taken in lowest form with (\gcd(a,b)=1). Lowest form is needed for contradiction. Then both becoming even conflicts with (\gcd(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास के लिए सरलतम रूप जरूरी है। तभी दोनों सम निकलने पर (\gcd(a,b)=1) से टकराव होगा।
A. यह अंतिम चरण में (3) के सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास दिलाता है/It gives contradiction with common factor (3) in the final step
Step 1
Concept
(\gcd(p,q)=1) means no common factor. But the proof makes both divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अंतिम चरण में (3) के सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास दिलाता है / It gives contradiction with common factor (3) in the final step. (\gcd(p,q)=1) means no common factor. But the proof makes both divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कोई सामान्य गुणनखंड नहीं। पर प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं।
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor
Step 1
Concept
Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है / Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor. Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है, पर अभाज्य गुणनखंड क्रमशः (2) और (3) है। तुलना में यह बात लिखें।
A. (b) को भी सम सिद्ध करना/To prove (b) is also even
Step 1
Concept
Taking (a=2r) changes the equation to \(b^2=2r^2\). This proves (b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (b) को भी सम सिद्ध करना / To prove (b) is also even. Taking (a=2r) changes the equation to \(b^2=2r^2\). This proves (b) is even.
Step 3
Exam Tip
(a=2r) रखने से समीकरण बदलकर \(b^2=2r^2\) बनता है। इससे (b) सम सिद्ध होता है।
A. (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना/To prove (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) gives \(q^2=3k^2\). This proves (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना / To prove (q) is also divisible by (3). (p=3k) gives \(q^2=3k^2\). This proves (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p=3k) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. सरलतम रूप के (a,b) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (a,b) both turn out divisible by (2)
Step 1
Concept
The final contradiction completes only when both are divisible by (2). This breaks the coprime assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम रूप के (a,b) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / Lowest-form (a,b) both turn out divisible by (2). The final contradiction completes only when both are divisible by (2). This breaks the coprime assumption.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास दोनों के (2) से विभाज्य होने पर ही पूरा होता है। यह सहभाज्य मान्यता को तोड़ता है।
B. सरलतम रूप के (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (p,q) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(p,q)=1). Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सरलतम रूप के (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Lowest-form (p,q) both turn out divisible by (3). Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(p,q)=1). Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. अभाज्य गुणनखंडों की घात वर्ग में सम होती है/Exponents of prime factors in a square are even
Step 1
Concept
In a square, exponents of prime factors are even. A situation like an odd power of (2) creates contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अभाज्य गुणनखंडों की घात वर्ग में सम होती है / Exponents of prime factors in a square are even. In a square, exponents of prime factors are even. A situation like an odd power of (2) creates contradiction.
Step 3
Exam Tip
वर्ग में अभाज्य गुणनखंडों की घात सम होती है। (2) की विषम घात जैसी स्थिति विरोधाभास बनाती है।
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3q^2\) में (3) की घात विषम हो जाती है/In a perfect square, the exponent of (3) must be even, but in \(3q^2\) it becomes odd
Step 1
Concept
In a perfect square, every prime exponent is even. This principle strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3q^2\) में (3) की घात विषम हो जाती है / In a perfect square, the exponent of (3) must be even, but in \(3q^2\) it becomes odd. In a perfect square, every prime exponent is even. This principle strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत बनाता है।
A. वह (1) और कम से कम (2) दोनों नहीं हो सकता/It cannot be both (1) and at least (2)
Step 1
Concept
Coprime gives (\gcd(a,b)=1), but both even gives (\gcd(a,b)\ge 2). This is the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह (1) और कम से कम (2) दोनों नहीं हो सकता / It cannot be both (1) and at least (2). Coprime gives (\gcd(a,b)=1), but both even gives (\gcd(a,b)\ge 2). This is the contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से (\gcd(a,b)=1), पर दोनों सम होने से (\gcd(a,b)\ge 2)। यही विरोधाभास है।
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge 3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge 3) cannot both hold
Step 1
Concept
Being coprime means the HCF is (1). Both divisible by (3) means it is at least (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge 3) दोनों साथ नहीं हो सकते / (\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge 3) cannot both hold. Being coprime means the HCF is (1). Both divisible by (3) means it is at least (3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा।
A. यह \(\frac{a}{b}\) को परिभाषित रखता है, पर मुख्य विरोधाभास सहभाज्य शर्त से आता है/It keeps \(\frac{a}{b}\) defined, but the main contradiction comes from coprime condition
Step 1
Concept
\(b\neq0\) is necessary for the fraction. The contradiction comes from both being even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह \(\frac{a}{b}\) को परिभाषित रखता है, पर मुख्य विरोधाभास सहभाज्य शर्त से आता है / It keeps \(\frac{a}{b}\) defined, but the main contradiction comes from coprime condition. \(b\neq0\) is necessary for the fraction. The contradiction comes from both being even.
Step 3
Exam Tip
\(b\neq0\) भिन्न के लिए आवश्यक शर्त है। विरोधाभास दोनों के सम होने से आता है।
A. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, सहभाज्य शर्त विरोधाभास देती है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined, the coprime condition gives contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for definition. Coprime condition creates contradiction with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, सहभाज्य शर्त विरोधाभास देती है / \(q\neq0\) keeps the fraction defined, the coprime condition gives contradiction. Non-zero denominator is for definition. Coprime condition creates contradiction with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य होना अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाता है।
A. (a) सम होने के बाद (a=2r) रखकर (b) सम सिद्ध करना/After proving (a) even, taking (a=2r) to prove (b) even
Step 1
Concept
Only (a) being even is not a contradiction. It is necessary to prove (b) also even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a) सम होने के बाद (a=2r) रखकर (b) सम सिद्ध करना / After proving (a) even, taking (a=2r) to prove (b) even. Only (a) being even is not a contradiction. It is necessary to prove (b) also even.
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं है। (b) को भी सम सिद्ध करना आवश्यक है।
A. (p=3k) रखने के बाद (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/After taking (p=3k), proving (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (p) being divisible by (3) is not enough. The contradiction completes only when (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p=3k) रखने के बाद (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना / After taking (p=3k), proving (q) divisible by (3). Only (p) being divisible by (3) is not enough. The contradiction completes only when (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तभी विरोधाभास पूरा होता है।
A. प्रमाण का विरोधाभास कमजोर हो जाएगा/The contradiction in the proof will become weak
Step 1
Concept
It is necessary to state lowest form. The final contradiction depends on both being even against this condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रमाण का विरोधाभास कमजोर हो जाएगा / The contradiction in the proof will become weak. It is necessary to state lowest form. The final contradiction depends on both being even against this condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप की शर्त लिखना जरूरी है। अंतिम चरण में इसी से दोनों सम होने का विरोधाभास बनता है।
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा / The contradiction will not be clear when both become divisible by (3). Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा।
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Step 1
Concept
If both are divisible by (2), numerator and denominator can be reduced by (2). This opposes lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं / Because both are divisible by (2). If both are divisible by (2), numerator and denominator can be reduced by (2). This opposes lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों के (2) से विभाज्य होने पर अंश और हर को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप से विरोध है।
A. क्योंकि दोनों को (3) से भाग दिया जा सकता है/Because both can be divided by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the fraction cannot remain in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों को (3) से भाग दिया जा सकता है / Because both can be divided by (3). Both have common factor (3). Therefore the fraction cannot remain in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती।
A. (2) वह अभाज्य गुणनखंड है जो अंश और हर दोनों में सामान्य बनकर विरोधाभास देता है/(2) is the prime factor that becomes common in numerator and denominator and gives contradiction
Step 1
Concept
In the proof, (2) first becomes a factor of (a) and then of (b). This conflicts with coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) वह अभाज्य गुणनखंड है जो अंश और हर दोनों में सामान्य बनकर विरोधाभास देता है / (2) is the prime factor that becomes common in numerator and denominator and gives contradiction. In the proof, (2) first becomes a factor of (a) and then of (b). This conflicts with coprime condition.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में (2) पहले (a) और फिर (b) का गुणनखंड बनता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है।
A. (3) वह अभाज्य गुणनखंड है जो (p) और (q) दोनों में सामान्य होकर विरोधाभास देता है/(3) is the prime factor that becomes common in both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
In the proof, (3) is proved to be a factor of (p) and then (q). This is the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) वह अभाज्य गुणनखंड है जो (p) और (q) दोनों में सामान्य होकर विरोधाभास देता है / (3) is the prime factor that becomes common in both (p) and (q) and gives contradiction. In the proof, (3) is proved to be a factor of (p) and then (q). This is the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में (3) पहले (p) और फिर (q) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही अंतिम विरोधाभास है।
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved even
Step 1
Concept
One number being even does not contradict coprime condition. Both being even is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (b) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (b) must also be proved even. One number being even does not contradict coprime condition. Both being even is necessary.
Step 3
Exam Tip
एक ही संख्या का सम होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों का सम होना जरूरी है।
A. विरोधाभास के लिए (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (q) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (p) having factor (3) gives no contradiction. Both (p) and (q) must have factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (q) must also be proved divisible by (3). Only (p) having factor (3) gives no contradiction. Both (p) and (q) must have factor (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं देता। (p) और (q) दोनों में (3) होना जरूरी है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Step 1
Concept
Both even contradicts lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even. Both even contradicts lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत होती है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3). Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. भिन्न को सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर के साथ जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest form with coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
Most mistakes happen by not writing lowest form. This is the basis of the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर के साथ जरूर लिखें / Always write the fraction in lowest form with coprime numerator and denominator. Most mistakes happen by not writing lowest form. This is the basis of the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
अधिकतर गलती सरलतम रूप न लिखने से होती है। यही अंतिम विरोधाभास का आधार है।
