In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For (a) and (b), the diagonal pairs are ((a,a)) and ((b,b)).
Step 3
Exam Tip
Hence the correct relation is ({(a,a),(b,b)}). चरण 1: पहचान संबंध में हर अवयव केवल अपने-आप से संबंधित होता है। चरण 2: (a) और (b) के लिए विकर्ण युग्म ((a,a)) और ((b,b)) हैं। चरण 3: इसलिए सही संबंध ({(a,a),(b,b)}) है।
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has only (1) and (2), ((1,2)) is a possible pair.
Step 3
Exam Tip
Pairs containing (3) are not in \(A\times A\). चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: (A) में केवल (1) और (2) हैं, इसलिए ((1,2)) संभव युग्म है। चरण 3: जिन युग्मों में (3) है, वे \(A\times A\) में नहीं आते।
Reflexivity needs its diagonal pair, but the empty relation has no pair.
Step 3
Exam Tip
Hence the empty relation is not reflexive. चरण 1: अरिक्त समुच्चय में कम से कम एक अवयव होता है। चरण 2: प्रतिवर्तिता के लिए उसका विकर्ण युग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए रिक्त संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता।
If all diagonal pairs are present, every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
This is exactly the sign of a reflexive relation. चरण 1: विकर्ण युग्म ((a,a)) प्रकार के होते हैं। चरण 2: सभी विकर्ण युग्म मौजूद होने का अर्थ है कि हर अवयव अपने-आप से संबंधित है। चरण 3: यही प्रतिवर्ती संबंध की पहचान है।
In an irreflexive relation, no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore no pair of the form ((a,a)) should be present.
Step 3
Exam Tip
Absence of diagonal pairs is the key sign of irreflexivity. चरण 1: अप्रतिवर्ती संबंध में कोई अवयव अपने-आप से संबंधित नहीं होता। चरण 2: इसलिए कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होना चाहिए। चरण 3: विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति अप्रतिवर्तिता की मुख्य पहचान है।
In symmetry, reversing a pair keeps it in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((4,7)) is ((7,4)).
Step 3
Exam Tip
Hence ((7,4)) must be present. चरण 1: सममितता में युग्म की दिशा बदलने पर भी वह संबंध में रहता है। चरण 2: ((4,7)) का उल्टा युग्म ((7,4)) है। चरण 3: इसलिए ((7,4)) अवश्य मौजूद होगा।
Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the middle element is (5).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((2,9)) must be in the relation. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहां बीच वाला अवयव (5) है। चरण 3: इसलिए ((2,9)) संबंध में होना चाहिए।
A. दोनों साथ नहीं हो सकते/both cannot occur together
Step 1
Concept
Antisymmetry prevents a two-way relation between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ne b\), then ((a,b)) and ((b,a)) cannot both occur.
Step 3
Exam Tip
This is different from symmetry, so do not mix the two. चरण 1: प्रतिसममितता अलग अवयवों के बीच दोतरफा संबंध को रोकती है। चरण 2: यदि \(a\ne b\), तो ((a,b)) और ((b,a)) दोनों साथ नहीं हो सकते। चरण 3: यह सममितता से अलग गुण है, इसलिए उलझें नहीं।
An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
These groups are called equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
Such classes divide the set into disjoint parts. चरण 1: समतुल्यता संबंध समान प्रकार के अवयवों को समूहों में रखता है। चरण 2: इन समूहों को समतुल्यता वर्ग कहते हैं। चरण 3: ऐसे वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं।
A partial order relation has reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Instead of symmetry, it requires antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Thus antisymmetry is important for identifying a partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध में प्रतिवर्तिता और संक्रामकता होती है। चरण 2: इसमें सममितता नहीं, बल्कि प्रतिसममितता चाहिए। चरण 3: इसलिए आंशिक क्रम की पहचान में प्रतिसममितता बहुत जरूरी है।
All diagonal pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) appears with ((3,2)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The required pairs within ({2,3}) are present, so transitivity holds. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म होने से प्रतिवर्तिता है। चरण 2: ((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({2,3}) के भीतर जरूरी युग्म मौजूद हैं, इसलिए संक्रामकता भी बनी रहती है।
A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है/because ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
A reflexive relation must contain the diagonal pair of every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
For element (3), ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Missing even one diagonal pair breaks reflexivity. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (A) के हर अवयव का विकर्ण युग्म होना चाहिए। चरण 2: (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म की कमी भी प्रतिवर्तिता को तोड़ देती है।
Every present pair has its reverse, so the relation is symmetric. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) एक-दूसरे के उल्टे हैं। चरण 2: ((3,3)) का उल्टा वही युग्म है। चरण 3: हर मौजूद युग्म का उल्टा संबंध में है, इसलिए यह सममित है।
((3,3)) creates no missing new pair, so the relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) संबंध में मौजूद है। चरण 3: ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती, इसलिए संबंध संक्रामी है।
Hence it is irreflexive, even though it is not symmetric. चरण 1: अप्रतिवर्तिता में कोई विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। चरण 2: (R) में ((1,1)) और ((2,2)) दोनों नहीं हैं। चरण 3: इसलिए यह अप्रतिवर्ती है, भले ही यह सममित नहीं है।
Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present, but ((2,1)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not violate antisymmetry, so the relation is antisymmetric. चरण 1: प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के दोतरफा युग्म को रोकती है। चरण 2: यहां ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: विकर्ण युग्म प्रतिसममितता को नहीं तोड़ते, इसलिए संबंध प्रतिसममित है।
A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए दोनों दिशाओं के युग्म हैं/because both directions occur while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
In antisymmetry, both directions must not occur for distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,1)) both occur, and \(1\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore antisymmetry fails. चरण 1: प्रतिसममितता में अलग अवयवों के लिए दोनों दिशाएं साथ नहीं होनी चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा \(1\ne2\)। चरण 3: इसलिए प्रतिसममितता टूट जाती है।
If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The sum of two such differences is divisible by (3), so the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) संख्या (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। चरण 3: दो ऐसे अंतरों का योग भी (3) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है।
A. क्योंकि \(1\mid2\) पर \(2\nmid1\)/because \(1\mid2\) but \(2\nmid1\)
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse pair to also be valid.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\) is true, but \(2\nmid1\) is not true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the divisibility relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए युग्म का उल्टा भी सही होना चाहिए। चरण 2: \(1\mid2\) सही है, पर \(2\mid1\) सही नहीं है। चरण 3: इसलिए विभाज्यता संबंध सममित नहीं है।
A. क्योंकि बराबरी प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/because equality is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
Every number is equal to itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=b), then (b=a), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If (a=b) and (b=c), then (a=c), so transitivity holds. चरण 1: हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: (a=b) हो तो (b=a), इसलिए सममितता है। चरण 3: (a=b) और (b=c) से (a=c), इसलिए संक्रामकता है।
Therefore ((a,a)) is not in the relation for any (a).
Step 3
Exam Tip
This is exactly the identity of an irreflexive relation. चरण 1: \(a\ne a\) कभी सही नहीं होता। चरण 2: इसलिए किसी भी (a) के लिए ((a,a)) संबंध में नहीं होगा। चरण 3: यही अप्रतिवर्ती संबंध की पहचान है।
So the reverse of any related pair is also related.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric. चरण 1: यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी सही होता है। चरण 2: इसलिए किसी युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: अतः यह संबंध सममित है।
A. क्योंकि (1R2) और (2R1) हैं, पर (1R1) नहीं है/because (1R2) and (2R1) hold, but (1R1) does not
Step 1
Concept
Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
\(1\ne2\) and \(2\ne1\) are true, but \(1\ne1\) is false.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is not transitive. चरण 1: संक्रामकता के लिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: \(1\ne2\) और \(2\ne1\) सही हैं, पर \(1\ne1\) गलत है। चरण 3: इसलिए संबंध संक्रामी नहीं है।
All three diagonal pairs of (A) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
These are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is reflexive, even with some extra pairs. चरण 1: (A) के तीनों विकर्ण युग्म संबंध में हैं। चरण 2: ये ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 3: इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है, चाहे कुछ अतिरिक्त युग्म भी हों।
A. क्योंकि ((3,1)) अनुपस्थित है/because ((3,1)) is absent
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present, but ((3,1)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is not symmetric. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: ((1,3)) संबंध में है, पर ((3,1)) नहीं है। चरण 3: इसलिए संबंध सममित नहीं है।
A reflexive relation must contain each element's diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
For (3) elements, there are (3) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the minimum number of pairs is (3). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में हर अवयव का अपना विकर्ण युग्म जरूरी है। चरण 2: (3) अवयवों के लिए (3) विकर्ण युग्म होंगे। चरण 3: इसलिए न्यूनतम युग्मों की संख्या (3) है।
For (3) elements, \(A\times A\) has \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the universal relation contains (9) pairs. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। चरण 2: (3) अवयवों पर \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म होते हैं। चरण 3: इसलिए सार्वत्रिक संबंध में (9) युग्म होंगे।
The identity relation contains only diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Each element contributes one diagonal pair.
Step 3
Exam Tip
For (5) elements, there are (5) pairs. चरण 1: पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: हर अवयव से एक विकर्ण युग्म मिलता है। चरण 3: (5) अवयवों के लिए (5) युग्म होंगे।
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
For (5) elements, \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the answer is (25). चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: (5) अवयवों पर \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। चरण 3: इसलिए उत्तर (25) है।
The identity relation has all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of a diagonal pair is the same pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore the identity relation is also symmetric. चरण 1: पहचान संबंध में सभी विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: विकर्ण युग्म का उल्टा वही युग्म होता है। चरण 3: इसलिए पहचान संबंध सममित भी होता है।
The identity relation contains all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
A diagonal pair equals its reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Transitivity also holds among diagonal pairs. चरण 1: पहचान संबंध में सभी विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: विकर्ण युग्म अपने उल्टे के बराबर होता है, इसलिए सममित है। चरण 3: विकर्ण युग्मों में संक्रामकता भी बनी रहती है।
A. क्योंकि हर युग्म के साथ उसका उल्टा युग्म भी मौजूद होता है/because every pair and its reverse are present
Step 1
Concept
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, then ((b,a)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
Hence the universal relation is symmetric. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी \(A\times A\) में होगा। चरण 3: इसलिए सार्वत्रिक संबंध सममित होता है।
A. क्योंकि सभी विकर्ण युग्म इसमें होते हैं/because all diagonal pairs are present in it
Step 1
Concept
The universal relation contains all possible pairs.
Step 2
Why this answer is correct
These possible pairs include every diagonal pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Therefore the universal relation is reflexive. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं। चरण 2: सभी संभव युग्मों में ((a,a)) प्रकार के विकर्ण युग्म भी आते हैं। चरण 3: इसलिए सार्वत्रिक संबंध प्रतिवर्ती है।
A. क्योंकि संक्रामकता के लिए जरूरी हर युग्म पहले से मौजूद होता है/because every pair required for transitivity is already present
Step 1
Concept
Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
Hence ((a,c)) is already present. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 3: इसलिए ((a,c)) भी पहले से मौजूद होता है।
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है/because it is not reflexive
Step 1
Concept
An equivalence relation must be reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
On a non-empty set, the empty relation has no diagonal pair.
Step 3
Exam Tip
Hence it is not reflexive and cannot be an equivalence relation. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए प्रतिवर्तिता जरूरी है। चरण 2: अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध में कोई विकर्ण युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए यह प्रतिवर्ती नहीं है और समतुल्यता संबंध नहीं बनता।
So there is no counterexample to symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
But it is not reflexive because diagonal pairs are absent. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। चरण 2: इसलिए सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई उदाहरण नहीं मिलता। चरण 3: पर विकर्ण युग्म न होने से यह प्रतिवर्ती नहीं होता।
Therefore a symmetric relation need not be reflexive. चरण 1: सममितता केवल उल्टे युग्मों की बात करती है। चरण 2: प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों की मांग करती है। चरण 3: इसलिए सममित होना अपने-आप प्रतिवर्ती होना नहीं है।
Reflexivity only requires the presence of diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry also requires reverse pairs for off-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence a reflexive relation need not be symmetric. चरण 1: प्रतिवर्तिता केवल विकर्ण युग्मों की उपस्थिति मांगती है। चरण 2: सममितता गैर-विकर्ण युग्मों के उल्टे युग्म भी मांगती है। चरण 3: इसलिए प्रतिवर्ती संबंध जरूरी नहीं कि सममित हो।
A. नहीं, संक्रामकता भी चाहिए/no, transitivity is also needed
Step 1
Concept
An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also required.
Step 3
Exam Tip
Therefore two properties alone do not prove equivalence. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। चरण 2: प्रतिवर्तिता और सममितता के साथ संक्रामकता भी जरूरी है। चरण 3: इसलिए केवल दो गुणों से समतुल्यता सिद्ध नहीं होती।
A. नहीं, सममितता भी चाहिए/no, symmetry is also needed
Step 1
Concept
An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Here symmetry is not given.
Step 3
Exam Tip
Therefore reflexive and transitive are not enough. चरण 1: समतुल्यता संबंध में प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण चाहिए। चरण 2: यहां सममितता की जानकारी नहीं है। चरण 3: इसलिए प्रतिवर्ती और संक्रामी होना पर्याप्त नहीं है।
A. नहीं, संक्रामकता भी चाहिए/no, transitivity is also needed
Step 1
Concept
A partial order relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Along with reflexivity and antisymmetry, transitivity is also needed.
Step 3
Exam Tip
Hence the two given properties are not enough. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन गुण जरूरी हैं। चरण 2: प्रतिवर्तिता और प्रतिसममितता के साथ संक्रामकता भी होनी चाहिए। चरण 3: इसलिए दिए गए दो गुण पर्याप्त नहीं हैं।
Antisymmetry prevents two-way relation between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
With transitivity, the relation is called a partial order relation. चरण 1: प्रतिवर्तिता हर अवयव को अपने-आप से जोड़ती है। चरण 2: प्रतिसममितता अलग अवयवों के दोतरफा संबंध को रोकती है। चरण 3: इन दोनों के साथ संक्रामकता हो, तो संबंध आंशिक क्रम संबंध कहलाता है।
\(A\times A\) is the set of all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If a relation equals \(A\times A\), no pair is missing.
Step 3
Exam Tip
Such a relation is called the universal relation. चरण 1: \(A\times A\) सभी संभव क्रमित युग्मों का समुच्चय है। चरण 2: जब संबंध पूरा \(A\times A\) हो, तो उसमें कोई युग्म छूटा नहीं होता। चरण 3: ऐसा संबंध सार्वत्रिक संबंध कहलाता है।
Therefore (R) is the identity relation. चरण 1: (R) में प्रत्येक अवयव का अपने साथ युग्म है। चरण 2: इसमें अलग-अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं है। चरण 3: इसलिए (R) पहचान संबंध है।
Therefore (R) is called the empty relation. चरण 1: \(\varnothing\) का अर्थ है खाली समुच्चय। चरण 2: इसमें कोई भी क्रमित युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए (R) रिक्त संबंध कहलाता है।
Therefore it is the universal relation. चरण 1: \(A=\{1,2,3\}\) के लिए \(A\times A\) में (9) युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में ये सभी (9) युग्म हैं। चरण 3: इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है।
All four elements of (A) are related to themselves.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is the identity relation. चरण 1: संबंध में केवल चार विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: (A) के चारों अवयव अपने-आप से संबंधित हैं। चरण 3: इसलिए यह पहचान संबंध है।
Every off-diagonal pair is given with its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
For example, ((1,2)) comes with ((2,1)), and ((1,3)) comes with ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric. चरण 1: हर गैर-विकर्ण युग्म के साथ उसका उल्टा युग्म दिया है। चरण 2: जैसे ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं। चरण 3: इसलिए संबंध सममित है।
Thus the main chain satisfies transitivity, and the relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) संबंध में मौजूद है। चरण 3: इसलिए कम-से-कम मुख्य शृंखला संक्रामकता को पूरा करती है और संबंध संक्रामी है।
