None of these is greater than (8), so no element remains in the set.
Step 3
Exam Tip
In factor-based questions, check both the number and the extra condition together. चरण 1: (8) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,8) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी अवयव (8) से बड़ा नहीं है, इसलिए समुच्चय में कोई अवयव नहीं बचेगा। चरण 3: गुणनखंड वाले प्रश्न में संख्या की सीमा और अतिरिक्त शर्त दोनों साथ देखें।
After finding solutions, always apply the condition given in the set. चरण 1: समीकरण \(x^2=4\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या में केवल (2) आता है, (-2) नहीं। चरण 3: हल निकालने के बाद दिए गए समुच्चय की शर्त जरूर लगाएँ।
In \(-4<x\leq 1\), (-4) is not included, but (1) is included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-3,-2,-1,0,1), giving (5) elements.
Step 3
Exam Tip
Carefully notice the difference between open and closed boundaries. चरण 1: शर्त \(-4<x\leq 1\) में (-4) शामिल नहीं है, पर (1) शामिल है। चरण 2: पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1) मिलते हैं, कुल (5) अवयव हैं। चरण 3: खुली और बंद सीमा का अंतर ध्यान से पहचानें।
B. (C=D) क्योंकि अवयव समान हैं/(C=D) because elements are the same
Step 1
Concept
Equal sets must have exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
The order of elements in a set does not matter, so the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
A common exam mistake is to treat changed order as a different set. चरण 1: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए। चरण 2: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। चरण 3: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता, यह परीक्षा में बहुत सामान्य भूल है।
(x=2n) gives even natural numbers such as \(2,4,6,8,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (n) runs through natural numbers, the list does not end.
Step 3
Exam Tip
When a variable has no upper bound, the set is often infinite. चरण 1: (x=2n) से \(2,4,6,8,\ldots\) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: (n) प्राकृतिक संख्याओं में चलता रहता है, इसलिए (C) की सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: जब चल राशि पर ऊपरी सीमा न हो, तो अपरिमित समुच्चय की संभावना अधिक होती है।
While counting elements, remove repetitions first. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को बार-बार नहीं गिना जाता। चरण 2: (E) में अलग-अलग अवयव (1,2,3) हैं। चरण 3: अवयव गिनते समय पुनरावृत्ति को हटाना न भूलें।
The solutions are (x=2) and (x=3), so (D) has the same elements as (E).
Step 3
Exam Tip
Equal sets need the same elements, even if they are written in different forms. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए (D) के अवयव (E) जैसे ही हैं। चरण 3: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए, लिखने का तरीका अलग हो सकता है।
B. समान समुच्चयों में वही-वही अवयव होने चाहिए, क्रम महत्व नहीं रखता/Equal sets must have exactly the same elements, and order does not matter
Step 1
Concept
Equal sets are identified by their elements.
Step 2
Why this answer is correct
If every element in both sets is the same, the sets remain equal even when the order changes.
Step 3
Exam Tip
Do not decide equality only by counting the number of elements. चरण 1: समान समुच्चय की पहचान केवल अवयवों से होती है। चरण 2: यदि दोनों समुच्चयों में हर अवयव समान है, तो क्रम बदलने पर भी वे समान रहेंगे। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या देखकर समानता का निर्णय न करें।
When dots \( \ldots \) show an endless pattern, look for an infinite set. चरण 1: (5) के धनात्मक गुणज \(5,10,15,\ldots\) चलते रहते हैं। चरण 2: इन्हें गिनना समाप्त नहीं किया जा सकता, इसलिए यह अपरिमित समुच्चय है। चरण 3: जहाँ बिंदु \( \ldots \) आगे अनंत क्रम दिखाते हैं, वहाँ अपरिमितता पहचानें।
A set with a fixed countable number of elements is finite. चरण 1: एक वर्ष में महीनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: संख्या (12) है, इसलिए अवयवों की गिनती समाप्त हो जाती है। चरण 3: निश्चित और गिनने योग्य अवयवों वाला समुच्चय परिमित होता है।
(a) is written twice in (H), but repetition is ignored in sets.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the distinct elements (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
To test equality, remove repeated elements first. चरण 1: (H) में (a) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 2: दोनों में अलग-अलग अवयव (a,b,c) ही हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय पहले दोहराए हुए अवयव हटा दें।
In strict inequalities, the end numbers are not included. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त को कोई (x) पूरा नहीं करता। चरण 3: खुली असमानताओं में अंतिम संख्याएँ शामिल नहीं होतीं।
C. रिक्त समुच्चय में (0) अवयव होते हैं/An empty set has (0) elements
Step 1
Concept
By definition, an empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, read every word carefully. चरण 1: रिक्त समुच्चय की परिभाषा है कि उसमें कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसके अवयवों की संख्या (0) होती है। चरण 3: परिभाषाओं पर आधारित प्रश्नों में शब्दों को बहुत सावधानी से पढ़ें।
When an upper limit is given, the set is often finite. चरण 1: (J) में (1) से (50) तक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनकी संख्या निश्चित है, इसलिए (J) परिमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा दी हो तो अक्सर समुच्चय परिमित होता है।
Natural numbers greater than or equal to (50) are \(50,51,52,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list never ends, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
With only a lower bound, a natural-number set is usually infinite. चरण 1: (50) से बड़ी या बराबर प्राकृतिक संख्याएँ \(50,51,52,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम कभी समाप्त नहीं होता, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: केवल निचली सीमा होने से प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रायः अपरिमित होता है।
Remember that a square of a real number cannot be negative. चरण 1: वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1=0\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं वाले प्रश्नों में वर्ग का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।
Learn to compare roster form and set-builder form. चरण 1: (N) में (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: वे (1,2,3,4) हैं, जो (M) के अवयवों के समान हैं। चरण 3: सूची रूप और नियम रूप को मिलाकर देखना सीखें।
The primes less than (10) are (2,3,5,7); (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
Do not include (1) in prime-number sets. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं, (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या के प्रश्नों में (1) को शामिल न करें।
The square of a natural number cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence no natural number satisfies \(x^2<0\).
Step 3
Exam Tip
In square-based questions, remember that squares are non-negative. चरण 1: किसी भी प्राकृतिक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(x^2<0\) को कोई प्राकृतिक संख्या पूरा नहीं करती। चरण 3: वर्ग से जुड़े प्रश्नों में धनात्मक या शून्य मान की बात याद रखें।
The equation \(x^2=16\) has two integer solutions, (x=4) and (x=-4).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both belong to (R).
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=16\) के दो पूर्णांक हल (x=4) और (x=-4) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों (R) में आएँगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हल देखना न भूलें।
When the number of digits is fixed, the related number set is usually finite. चरण 1: दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: यह संख्या सीमित है, इसलिए (S) परिमित है। चरण 3: अंकों की संख्या तय हो तो उस तरह की संख्याएँ प्रायः परिमित होती हैं।
The inequality is strict, so (3) and (4) are not included.
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, do not count boundary values. चरण 1: (3) और (4) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं होती। चरण 2: असमानता सख्त है, इसलिए (3) और (4) शामिल नहीं हैं। चरण 3: सख्त असमानता में किनारे के मान न गिनें।
In inclusive inequalities, both boundary values are included. चरण 1: (-2) से (2) तक पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 2: कुल (5) अवयव मिलते हैं। चरण 3: बंद असमानता में दोनों किनारे शामिल होते हैं।
Positive integers divisible by (7) are \(7,14,21,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The list continues without an end, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
If no upper bound is given for multiples, treat the set as infinite. चरण 1: (7) से विभाज्य धनात्मक पूर्णांक \(7,14,21,\ldots\) हैं। चरण 2: ये बिना अंत के आगे बढ़ते हैं, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: गुणजों की सूची पर ऊपरी सीमा न हो तो उसे अपरिमित मानें।
The factors of (12) are limited, such as (1,2,3,4,6,12).
Step 2
Why this answer is correct
So (W) has a finite number of elements.
Step 3
Exam Tip
Factors of a fixed number always form a finite set. चरण 1: (12) के गुणनखंड सीमित हैं, जैसे (1,2,3,4,6,12)। चरण 2: इसलिए (W) में सीमित संख्या में अवयव हैं। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड हमेशा परिमित होते हैं।
This sequence continues forever, so (X) is infinite.
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between factors and multiples clear. चरण 1: (12) के गुणज \(12,24,36,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम हमेशा आगे चलता है, इसलिए (X) अपरिमित है। चरण 3: गुणनखंड और गुणज में अंतर साफ रखें।
Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
The list \(6,12,18,\ldots\) is endless.
Step 3
Exam Tip
Even with two conditions, if there is no upper bound on multiples, the set is infinite. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज होती हैं। चरण 2: \(6,12,18,\ldots\) की सूची अनंत है। चरण 3: दो शर्तें होने पर भी यदि गुणजों की कोई ऊपरी सीमा नहीं है, तो समुच्चय अपरिमित रहेगा।
Below (20), these are (6,12,18), so the count is limited.
Step 3
Exam Tip
Adding an upper bound often makes an otherwise infinite-looking set finite. चरण 1: दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज हैं। चरण 2: (20) से छोटी ऐसी संख्याएँ (6,12,18) हैं, इसलिए संख्या सीमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा जोड़ने से कई अपरिमित दिखने वाले समुच्चय परिमित हो जाते हैं।
B. ऐसा समुच्चय जिसमें कोई अवयव न हो/A set with no element
Step 1
Concept
\( \varnothing \) denotes the empty set.
Step 2
Why this answer is correct
An empty set has no element.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse \( \varnothing \) with ({0}). चरण 1: \( \varnothing \) रिक्त समुच्चय का चिह्न है। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 3: \( \varnothing \) और ({0}) को अलग-अलग समझें।
B. \( \varnothing \) में (0) अवयव हैं और ({0}) में एक अवयव है/\( \varnothing \) has (0) elements and ({0}) has one element
Step 1
Concept
\( \varnothing \) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
({0}) has one element, namely (0).
Step 3
Exam Tip
Never treat the empty set and the set containing zero as the same. चरण 1: \( \varnothing \) में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: ({0}) में (0) नाम का एक अवयव होता है। चरण 3: खाली समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय को कभी समान न मानें।
The solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are not integers, so there is no integer solution.
Step 3
Exam Tip
When the domain is \(\mathbb{Z}\), only integer answers are allowed. चरण 1: \(x^2=2\) के हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए कोई पूर्णांक हल नहीं मिलता। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो केवल पूर्णांक उत्तर ही मान्य होंगे।
B. दो अवयवों वाला परिमित समुच्चय/Two-element finite set
Step 1
Concept
In real numbers, \(x^2=2\) has solutions \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
There are two elements, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
The same equation can give a different type of set when the domain changes. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2=2\) के हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: कुल दो अवयव हैं, इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: वही समीकरण अलग क्षेत्र में अलग प्रकार का समुच्चय दे सकता है।
Odd natural numbers less than (30) are \(1,3,5,\ldots,29\).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
A list may be long, but if it ends, it is finite. चरण 1: (30) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(1,3,5,\ldots,29\) हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: संख्या-सूची लंबी हो सकती है, फिर भी यदि समाप्त होती है तो परिमित है।
Odd natural numbers greater than (30) are \(31,33,35,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list never ends, so \(D_1\) is infinite.
Step 3
Exam Tip
Even if a set starts after a large number, it is infinite when there is no upper end. चरण 1: (30) से बड़ी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(31,33,35,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची समाप्त नहीं होती, इसलिए \(D_1\) अपरिमित है। चरण 3: बड़ी संख्या से शुरू होने पर भी यदि आगे कोई अंत नहीं है, तो समुच्चय अपरिमित है।
The set has only one element, (5), so it is a singleton and also finite.
Step 3
Exam Tip
Inclusive equal bounds often give a single element. चरण 1: \(5\leq x\leq 5\) का अर्थ है (x=5)। चरण 2: समुच्चय में केवल एक अवयव (5) है, इसलिए यह एकल समुच्चय है और परिमित भी है। चरण 3: बराबर सीमाओं वाली बंद असमानता अक्सर एक ही अवयव देती है।
C. ( {0,2,4} ) और ( {2,4,6} )/( {0,2,4} ) and ( {2,4,6} )
Step 1
Concept
Equal sets must have every element common in both sets.
Step 2
Why this answer is correct
( {0,2,4} ) contains (0), while the other set contains (6).
Step 3
Exam Tip
Having the same number of elements is not enough; the elements must also match. चरण 1: समान समुच्चयों में हर अवयव दोनों में होना चाहिए। चरण 2: ( {0,2,4} ) में (0) है, पर दूसरे में (6) है। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या समान होना काफी नहीं, अवयव भी वही होने चाहिए।
No number can be both less than (15) and greater than (15) at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
So no natural number satisfies both conditions.
Step 3
Exam Tip
When conditions contradict each other, check for an empty set. चरण 1: कोई संख्या एक साथ (15) से छोटी और (15) से बड़ी नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए कोई प्राकृतिक संख्या दोनों शर्तें पूरी नहीं करती। चरण 3: विरोधी शर्तें दिखें तो रिक्त समुच्चय की संभावना जाँचें।
In a set with two conditions, apply both conditions together. चरण 1: (9) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,3,9) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी सम संख्या नहीं है। चरण 3: दो शर्तों वाले समुच्चय में दोनों शर्तों को साथ-साथ लागू करें।
Selected factors of a fixed number are also finite. चरण 1: (16) के सम गुणनखंड (2,4,8,16) हैं। चरण 2: ये चार अवयव हैं, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के चुने हुए गुणनखंड भी परिमित ही होते हैं।
Real-life countable limited collections form finite sets. चरण 1: किसी कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या सीमित होती है। चरण 2: इसलिए रोल नंबरों की संख्या भी सीमित होती है। चरण 3: वास्तविक जीवन के गिनने योग्य सीमित समूह परिमित समुच्चय बनाते हैं।
These points cannot be counted to an end, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
In geometry, sets of points on a line or curve are usually infinite. चरण 1: वृत्त पर बहुत सारे नहीं, बल्कि अनगिनत बिंदु होते हैं। चरण 2: बिंदुओं को गिनकर समाप्त नहीं किया जा सकता, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: ज्यामिति में रेखा या वक्र पर बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः अपरिमित माना जाता है।
Infinitely many lines can be drawn parallel to the (x)-axis at different heights.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the number of such lines does not end.
Step 3
Exam Tip
In geometry-based set questions, focus on the number of possible objects. चरण 1: (x)-अक्ष के समानांतर अलग-अलग ऊँचाई पर अनगिनत रेखाएँ खींची जा सकती हैं। चरण 2: इसलिए ऐसी रेखाओं की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 3: ज्यामितीय स्थितियों में संभावनाओं की संख्या पर ध्यान दें।
Here natural numbers are taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than or equal to (0).
Step 3
Exam Tip
Keep the definition of natural numbers clear before choosing the answer. चरण 1: यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) मानी जाती हैं। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या (0) से छोटी या बराबर नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा स्पष्ट रखकर ही उत्तर चुनें।
The integers are (-2,-1,0,1,2), giving (5) elements.
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, first convert the condition into an ordinary inequality. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (-3<x<3)। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं, कुल (5)। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में पहले सीमा को साधारण असमानता में बदलें।
When (|x|=a) and (a=0), there is one solution, not two. चरण 1: (|x|=0) केवल (x=0) पर सत्य होता है। चरण 2: (0) पूर्णांक है, इसलिए समुच्चय में एक अवयव है। चरण 3: (|x|=a) में (a=0) हो तो दो नहीं, केवल एक हल मिलता है।
The absolute value of any number cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence no integer satisfies (|x|=-2).
Step 3
Exam Tip
If the right side of an absolute value equation is negative, think of an empty set. चरण 1: किसी भी संख्या का परिमाण ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (|x|=-2) को कोई पूर्णांक पूरा नहीं करता। चरण 3: परिमाण की शर्त में ऋणात्मक दाएँ पक्ष दिखे तो रिक्त समुच्चय सोचें।
Perfect squares less than (20) come from \(1^2,2^2,3^2,4^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the elements are (1,4,9,16).
Step 3
Exam Tip
Do not include values outside the given limit, such as (25). चरण 1: (20) से छोटे पूर्ण वर्ग \(1^2,2^2,3^2,4^2\) से मिलते हैं। चरण 2: इसलिए अवयव (1,4,9,16) हैं। चरण 3: सीमा से बाहर (25) जैसे मान को शामिल न करें।
Perfect-square natural numbers are \(1,4,9,16,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Such squares continue indefinitely, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
Without a bound, even special kinds of numbers may form infinite sets. चरण 1: पूर्ण वर्ग प्राकृतिक संख्याएँ \(1,4,9,16,\ldots\) हैं। चरण 2: ऐसे वर्ग अनंत तक बनते रहते हैं, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: यदि सीमा नहीं दी गई है, तो विशेष प्रकार की संख्याएँ भी अपरिमित हो सकती हैं।
When an even prime is mentioned, identify (2) quickly. चरण 1: केवल (2) ही ऐसी प्राकृतिक संख्या है जो अभाज्य भी है और सम भी। चरण 2: इसलिए \(O_1={2}\) है, जिसमें एक अवयव है। चरण 3: सम अभाज्य संख्या पूछे जाने पर (2) को तुरंत पहचानें।
A. \(P_1=Q_1\) लेकिन \(P_1\ne R_1\)/\(P_1=Q_1\) but \(P_1\ne R_1\)
Step 1
Concept
\(P_1\) and \(Q_1\) have the same elements, only the order is changed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R_1\) has (4) instead of (3), so it is not equal to \(P_1\).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not order. चरण 1: \(P_1\) और \(Q_1\) में वही अवयव हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 2: \(R_1\) में (3) के स्थान पर (4) है, इसलिए वह समान नहीं है। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम नहीं, अवयवों की समानता देखी जाती है।
