By checking values, we get ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)). In such questions, check possible (b) values for each (a) systematically.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5) युग्म / (5) pairs. By checking values, we get ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)). In such questions, check possible (b) values for each (a) systematically.
Step 3
Exam Tip
मान रखने पर ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) मिलते हैं। ऐसे प्रश्न में हर (a) के लिए संभावित (b) व्यवस्थित रूप से जांचें।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. In exams, check it by splitting into even and odd classes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation. Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. In exams, check it by splitting into even and odd classes.
Step 3
Exam Tip
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। परीक्षा में इसे सम और विषम वर्गों में बांटकर जांचें।
For every \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) is also present. In symmetry, always check the reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह सममित है / It is symmetric. For every \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) is also present. In symmetry, always check the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
हर \((a,b) \in R\) के साथ \((b,a) \in R\) भी है। सममितता में उल्टा युग्म अवश्य जांचें।
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Step 1
Concept
The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \((2,1) \notin R\) / Because \((2,1) \notin R\). The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
Step 3
Exam Tip
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए।
Every number divides itself and divisibility is transitive. But it is not symmetric since \(1 \mid 2\) while \(2 \nmid 1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वसम और संकर्मक / Reflexive and transitive. Every number divides itself and divisibility is transitive. But it is not symmetric since \(1 \mid 2\) while \(2 \nmid 1\).
Step 3
Exam Tip
हर संख्या स्वयं को भाग देती है और भाग देने का गुण संकर्मक होता है। पर यह सममित नहीं होता जैसे \(1 \mid 2\) पर \(2 \nmid 1\)।
Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^3\cdot 3^3\). Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों के लिए \(2^3\) चुनाव और हर अलग जोड़े के लिए (3) चुनाव हैं। इसलिए संख्या \(2^3\cdot 3^3\) है।
A. क्योंकि \((1,3) \notin R\)/Because \((1,3) \notin R\)
Step 1
Concept
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)). One missing required pair makes it false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \((1,3) \notin R\) / Because \((1,3) \notin R\). Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)). One missing required pair makes it false.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संकर्मकता के लिए ((1,3)) चाहिए। एक कमी संकर्मकता को असत्य कर देती है।
It is reflexive, symmetric, and transitive. A same-remainder relation is a standard equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation. It is reflexive, symmetric, and transitive. A same-remainder relation is a standard equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
यह स्वसम, सममित और संकर्मक तीनों है। समान शेषफल वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध होता है।
(5) is odd, and all integers differing from it by an even number are odd. An equivalence class contains all elements with the same property.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सभी विषम पूर्णांक / All odd integers. (5) is odd, and all integers differing from it by an even number are odd. An equivalence class contains all elements with the same property.
Step 3
Exam Tip
(5) विषम है और उससे सम अंतर वाले सभी पूर्णांक विषम होंगे। तुल्यता वर्ग में समान गुण वाले सभी तत्व आते हैं।
\(\le\) is reflexive, antisymmetric, and transitive. Therefore it is a partial order relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह आंशिक क्रम है / It is a partial order. \(\le\) is reflexive, antisymmetric, and transitive. Therefore it is a partial order relation.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक है। इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
A. क्योंकि ((a,a)) कभी नहीं हो सकता/Because ((a,a)) can never occur
Step 1
Concept
For no (a) is (a<a) true. Reflexivity requires every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि ((a,a)) कभी नहीं हो सकता / Because ((a,a)) can never occur. For no (a) is (a<a) true. Reflexivity requires every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
किसी भी (a) के लिए (a<a) असत्य है। स्वसमता के लिए सभी ((a,a)) चाहिए।
There is no element in the empty set, so the condition is automatically true. On an empty base set, many properties are vacuously true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह स्वसम है / It is reflexive. There is no element in the empty set, so the condition is automatically true. On an empty base set, many properties are vacuously true.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं है इसलिए शर्त स्वतः सत्य है। रिक्त आधार पर कई गुण vacuously true होते हैं।
\(A \times A\) contains all pairs, so it is both reflexive and symmetric. It is also transitive but generally not antisymmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वसम और सममित / Reflexive and symmetric. \(A \times A\) contains all pairs, so it is both reflexive and symmetric. It is also transitive but generally not antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
\(A \times A\) में सभी युग्म होते हैं इसलिए स्वसम और सममित दोनों हैं। यह संकर्मक भी होता है पर प्रत्यासममित सामान्यतः नहीं।
B. यह सममित और संकर्मक है/It is symmetric and transitive
Step 1
Concept
There is no violating pair or chain, so symmetry and transitivity are vacuously true. But on non-empty (A), it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह सममित और संकर्मक है / It is symmetric and transitive. There is no violating pair or chain, so symmetry and transitivity are vacuously true. But on non-empty (A), it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
कोई विरोधी युग्म या श्रृंखला नहीं है इसलिए सममित और संकर्मक शर्तें स्वतः सत्य हैं। पर अरिक्त (A) पर यह स्वसम नहीं है।
A. सममित पर स्वसम नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd. But (a+a) is always even, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर स्वसम नहीं / Symmetric but not reflexive. If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd. But (a+a) is always even, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(a+b) विषम हो तो (b+a) भी विषम है। पर (a+a) सदैव सम होता है इसलिए स्वसम नहीं।
Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. It forms even and odd classes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation. Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. It forms even and odd classes.
Step 3
Exam Tip
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह सम और विषम दो वर्ग बनाता है।
A. स्वसम और सममित पर संकर्मक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|\le 1\) and (|a-b|=|b-a|) are true. But ((1,2)) and ((2,3)) exist while ((1,3)) does not.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वसम और सममित पर संकर्मक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. \(|a-a|\le 1\) and (|a-b|=|b-a|) are true. But ((1,2)) and ((2,3)) exist while ((1,3)) does not.
Step 3
Exam Tip
\(|a-a|\le 1\) और (|a-b|=|b-a|) सत्य हैं। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है।
A. यह सममित है पर स्वसम नहीं/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (ab) is even, then (ba) is even. But pairs like ((1,1)) do not occur, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सममित है पर स्वसम नहीं / It is symmetric but not reflexive. If (ab) is even, then (ba) is even. But pairs like ((1,1)) do not occur, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(ab) सम हो तो (ba) भी सम है। पर ((1,1)) जैसे युग्म नहीं आते इसलिए स्वसम नहीं।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)). It is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,1),(2,2),(3,3)}). The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)). It is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। यह स्वसम, सममित और संकर्मक होता है।
Squares of distinct positive elements are not equal, so only ((a,a)) pairs occur. Hence it is the identity relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह पहचान संबंध है / It is the identity relation. Squares of distinct positive elements are not equal, so only ((a,a)) pairs occur. Hence it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक अलग तत्वों के वर्ग बराबर नहीं होते इसलिए केवल ((a,a)) युग्म मिलते हैं। इसलिए यह पहचान संबंध है।
The equal-square relation is reflexive, symmetric, and transitive. Here (2) and (-2) fall in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation. The equal-square relation is reflexive, symmetric, and transitive. Here (2) and (-2) fall in the same class.
Step 3
Exam Tip
बराबर वर्ग वाला संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। यहां (2) और (-2) एक ही वर्ग में आएंगे।
A. यह संकर्मक है पर स्वसम नहीं/It is transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a-b>0) means (a>b), and (>) is transitive. But (a>a) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह संकर्मक है पर स्वसम नहीं / It is transitive but not reflexive. (a-b>0) means (a>b), and (>) is transitive. But (a>a) is false.
Step 3
Exam Tip
(a-b>0) का अर्थ (a>b) है और (>) संकर्मक है। पर (a>a) असत्य है।
Because if \(a+b\le 6\), then \(b+a\le 6\) also. But ((5,5)) is absent, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सममित है / It is symmetric. Because if \(a+b\le 6\), then \(b+a\le 6\) also. But ((5,5)) is absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(a+b\le 6\) होने पर \(b+a\le 6\) भी होगा। पर ((5,5)) नहीं है इसलिए स्वसम नहीं।
A. क्योंकि \((1,1)\notin R\)/Because \((1,1)\notin R\)
Step 1
Concept
For ((1,1)), \(1+1\ge 5\) is false. One missing self-pair is enough to break reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \((1,1)\notin R\) / Because \((1,1)\notin R\). For ((1,1)), \(1+1\ge 5\) is false. One missing self-pair is enough to break reflexivity.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) के लिए \(1+1\ge 5\) असत्य है। स्वसमता टूटने के लिए एक आत्म युग्म का गायब होना काफी है।
A. स्वसम, सममित और संकर्मक/Reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation needs all three properties together. If any one is missing, it is not an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वसम, सममित और संकर्मक / Reflexive, symmetric and transitive. An equivalence relation needs all three properties together. If any one is missing, it is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण साथ चाहिए। कोई एक गुण छूटे तो वह तुल्यता संबंध नहीं होगा।
A. स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
A partial order relation is reflexive, antisymmetric, and transitive. \(\le\) and \(\subseteq\) are good examples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्वसम, प्रत्यासममित और संकर्मक / Reflexive, antisymmetric and transitive. A partial order relation is reflexive, antisymmetric, and transitive. \(\le\) and \(\subseteq\) are good examples.
Step 3
Exam Tip
आंशिक क्रम संबंध में स्वसमता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता होती है। \(\le\) और \(\subseteq\) इसके अच्छे उदाहरण हैं।
A. सममित पर संकर्मक नहीं/Symmetric but not transitive
Step 1
Concept
If \(a\ne b\), then \(b\ne a\) also. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर संकर्मक नहीं / Symmetric but not transitive. If \(a\ne b\), then \(b\ne a\) also. But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)), which is absent.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी है। पर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए जो नहीं है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Having the same parity is reflexive, symmetric, and transitive. It forms the classes ({1,3}) and ({2,4}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation. Having the same parity is reflexive, symmetric, and transitive. It forms the classes ({1,3}) and ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
समान parity होना स्वसम, सममित और संकर्मक है। यह ({1,3}) और ({2,4}) वर्ग बनाता है।
