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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 25

समुच्चय \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) पर संबंध \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\) किस प्रकार का संबंध है?

On the set \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\), what type of relation is \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Explanation

Simple Explanation

समावेशन संबंध \(\subseteq\) स्वसमतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक \(A\in P\) के लिए \(A\subseteq A\) होता है। यह प्रत्यासममित है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। यह संकर्मक भी है, क्योंकि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(R\) आंशिक क्रम संबंध है। यह तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि यह सममित नहीं है; उदाहरणतः \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), लेकिन \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\)। परीक्षा-युक्ति: आंशिक क्रम की पहचान के लिए स्वसमतुल्यता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता—इन तीनों की जाँच करें। / The inclusion relation \(\subseteq\) is reflexive because \(A\subseteq A\) for every \(A\in P\). It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, since \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\) imply \(A\subseteq C\). Therefore, \(R\) is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.

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समुच्चय \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) पर संबंध \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\) किस प्रकार का संबंध है? / On the set \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\), what type of relation is \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\)?

Correct Answer: A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation. Explanation: समावेशन संबंध \(\subseteq\) स्वसमतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक \(A\in P\) के लिए \(A\subseteq A\) होता है। यह प्रत्यासममित है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। यह संकर्मक भी है, क्योंकि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(R\) आंशिक क्रम संबंध है। यह तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि यह सममित नहीं है; उदाहरणतः \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), लेकिन \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\)। परीक्षा-युक्ति: आंशिक क्रम की पहचान के लिए स्वसमतुल्यता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता—इन तीनों की जाँच करें। / The inclusion relation \(\subseteq\) is reflexive because \(A\subseteq A\) for every \(A\in P\). It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, since \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\) imply \(A\subseteq C\). Therefore, \(R\) is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.