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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 25

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सा गुणधर्म इस संबंध के लिए सही है?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), consider the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\). Which of the following properties is true for this relation?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. सममितSymmetric

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), इसलिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \(\gcd(2,2)=2\neq 1\)। यह संक्रामक भी नहीं है: \(\gcd(2,3)=1\) और \(\gcd(3,4)=1\), लेकिन \(\gcd(2,4)=2\)। साथ ही, \((2,3)\) और \((3,2)\) दोनों संबंध में हैं, जबकि \(2\neq3\), इसलिए यह प्रतिसममित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd(a,b)=1\) वाले संबंधों में सममिति जाँचने के लिए महत्तम समापवर्तक की अदला-बदली संपत्ति याद रखें। / Since \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), whenever \((a,b)\in R\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(\gcd(2,2)=2\neq1\). It is not transitive: \(\gcd(2,3)=1\) and \(\gcd(3,4)=1\), but \(\gcd(2,4)=2\). It is also not antisymmetric because both \((2,3)\) and \((3,2)\) belong to \(R\), although \(2\neq3\). Exam tip: for relations defined by \(\gcd(a,b)=1\), first use the symmetry \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\).

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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सा गुणधर्म इस संबंध के लिए सही है? / On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), consider the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\). Which of the following properties is true for this relation?

Correct Answer: A. सममित / Symmetric. Explanation: क्योंकि \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), इसलिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) भी होगा; अतः संबंध सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि \(\gcd(2,2)=2\neq 1\)। यह संक्रामक भी नहीं है: \(\gcd(2,3)=1\) और \(\gcd(3,4)=1\), लेकिन \(\gcd(2,4)=2\)। साथ ही, \((2,3)\) और \((3,2)\) दोनों संबंध में हैं, जबकि \(2\neq3\), इसलिए यह प्रतिसममित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd(a,b)=1\) वाले संबंधों में सममिति जाँचने के लिए महत्तम समापवर्तक की अदला-बदली संपत्ति याद रखें। / Since \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), whenever \((a,b)\in R\), we also have \((b,a)\in R\); hence the relation is symmetric. It is not reflexive because \(\gcd(2,2)=2\neq1\). It is not transitive: \(\gcd(2,3)=1\) and \(\gcd(3,4)=1\), but \(\gcd(2,4)=2\). It is also not antisymmetric because both \((2,3)\) and \((3,2)\) belong to \(R\), although \(2\neq3\). Exam tip: for relations defined by \(\gcd(a,b)=1\), first use the symmetry \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\).