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वेन आरेख में पूरा आयत (U) को दर्शाता है। परीक्षा में बाकी सभी समुच्चय इसी (U) के अंदर माने जाते हैं। / In a Venn diagram, the whole rectangle represents (U). In exams, all other sets are considered inside this (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (18+20-6=32) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (18+20-6=32). Subtract the common part once to avoid double counting.
दो वृत्तों का साझा भाग \(A\cap B\) होता है। याद रखें कि साझा भाग का मतलब प्रतिच्छेद है। / The shared part of two circles is \(A\cap B\). Remember that common part means intersection.
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (45-29=16) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (45-29=16). It is outside both circles but inside (U).
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी क्षेत्र आते हैं। परीक्षा में संघ के लिए दोनों वृत्तों का पूरा भाग लें। / \(A\cup B\) includes all regions of (A) and (B). In exams, take the complete area of both circles for union.
केवल (A) का अर्थ (A-B) है, इसलिए (B) के (4,5) हटाने पर ({1,2,3}) बचता है। वेन आरेख में केवल वाला भाग साझा क्षेत्र के बाहर होता है। / Only (A) means (A-B), so after removing (4,5) of (B), ({1,2,3}) remains. In a Venn diagram, the only region is outside the common part.
B. (A) के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग/Part outside (A) but inside (U)
Explanation
Simple Explanation
(A') में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा (U) के सापेक्ष लिया जाता है। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Complement is always taken with respect to (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (12+9-4=17) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (12+9-4=17). The common part must be subtracted once.
(n\(A\cap B\)=20+15-28=7) होगा। दो समुच्चयों में प्रतिच्छेद निकालने के लिए संघ को घटाएं। / (n\(A\cap B\)=20+15-28=7). To find intersection of two sets, subtract the union from the sum.
(n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19)। वेन आरेख में (A') का अर्थ (A) के बाहर का भाग है। / (n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19). In a Venn diagram, (A') means the part outside (A).
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में इनके वृत्त अलग-अलग दिखते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles appear separate.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर बनेगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) is drawn inside (B).
केवल (A) में वे अवयव होते हैं जो (A) में हैं पर (B) में नहीं हैं, इसलिए क्षेत्र (A-B) है। इसे \(A\cap B'\) भी लिख सकते हैं। / Only (A) contains elements that are in (A) but not in (B), so the region is (A-B). It can also be written as \(A\cap B'\).
केवल (A) की संख्या (n(A)-n\(A\cap B\)=18-6=12) है। कुल (A) से साझा भाग घटाएं। / The number only in (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=18-6=12). Subtract the common part from total (A).
केवल (B) की संख्या (14-5=9) होगी। वेन आरेख में (B) से बीच वाला भाग घटाएं। / The number only in (B) is (14-5=9). In the Venn diagram, subtract the middle part from (B).
(A) में केवल (A) और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (n(A)=7+3=10)। वृत्त (A) के सभी हिस्से जोड़ें। / Set (A) includes only (A) and the common part, so (n(A)=7+3=10). Add all parts of circle (A).
(B) में केवल (B) और साझा भाग आते हैं, इसलिए (n(B)=8+4=12)। वेन आरेख में पूरे (B) वृत्त को गिनें। / Set (B) includes only (B) and the common part, so (n(B)=8+4=12). Count the whole (B) circle in the Venn diagram.
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (6+5+4=15)। वेन आरेख में ओवरलैप को दो बार न जोड़ें। / The union includes all three regions, so (6+5+4=15). In a Venn diagram, do not add the overlap twice.
न तो (A) न (B) में संख्या (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14) है। यह आयत में दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14). It is the part outside both circles inside the rectangle.
\(A'\cap B'\) का अर्थ है (A) में नहीं और (B) में नहीं। यह (\(A\cup B\)') के बराबर होता है। / \(A'\cap B'\) means not in (A) and not in (B). It is equal to (\(A\cup B\)').
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। पूरक वाले प्रश्नों में यह नियम उपयोगी है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). This rule is useful in complement questions.
केवल (A) की संख्या (25-10=15) है। कुल (A) में से साझा भाग घटाना होता है। / The number only in (A) is (25-10=15). Subtract the common part from total (A).
केवल (B) की संख्या (22-7=15) है। वेन आरेख में (B) वृत्त का साझा भाग अलग कर दें। / The number only in (B) is (22-7=15). In the Venn diagram, separate the common part of circle (B).
संघ की संख्या (13+17-5=25) है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / The number in the union is (13+17-5=25). Subtract the common part once to avoid double counting.
पहले (n\(A\cup B\)=20+16-6=30)। फिर न (A) न (B) में (50-30=20) होंगे। / First (n\(A\cup B\)=20+16-6=30). Then neither (A) nor (B) has (50-30=20) elements.
(\(A\cup B\)') में (U) के वे अवयव हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं, इसलिए (60-45=15)। यह दोनों वृत्तों के बाहर का क्षेत्र है। / (\(A\cup B\)') contains elements of (U) not in \(A\cup B\), so (60-45=15). It is the region outside both circles.
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के सभी अवयव आते हैं, इसलिए (32-9=23)। पूरक के लिए (U) से घटाएं। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part, so (32-9=23). For complement, subtract from (U).
यदि किसी कक्षा में (30) विद्यार्थी हैं, (18) क्रिकेट खेलते हैं, (12) फुटबॉल खेलते हैं और (5) दोनों खेलते हैं, तो कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
कम से कम एक खेल (18+12-5=25) है। वेन आरेख में दोनों खेलने वालों को दो बार न गिनें। / At least one game is (18+12-5=25). In a Venn diagram, do not count students who play both twice.
कम से कम एक पसंद करने वाले (22+18-7=33) हैं। इसलिए कोई भी नहीं पसंद करने वाले (40-33=7) हैं। / People who like at least one are (22+18-7=33). Therefore, people who like neither are (40-33=7).
केवल हिंदी पढ़ने वाले (16-6=10) हैं। किसी एक वृत्त से साझा भाग घटाएं। / Those who read only Hindi are (16-6=10). Subtract the common part from that circle.
केवल नृत्य पसंद करने वाले (13-4=9) हैं। वेन आरेख में नृत्य वृत्त का साझा भाग हटाएं। / Those who like only dance are (13-4=9). In the Venn diagram, remove the common part from the dance circle.
दोनों समुच्चयों में (3) और (4) समान हैं, इसलिए \(A\cap B={3,4}\)। प्रतिच्छेद में केवल साझा अवयव आते हैं। / The common elements of both sets are (3) and (4), so \(A\cap B={3,4}\). Intersection contains only common elements.
(A-B) में (A) के वे अवयव हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए केवल (6) बचेगा। अंतर में क्रम का ध्यान रखें। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B), so only (6) remains. Be careful about order in difference.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं, इसलिए \(A\cup B={a,b,c,d,e}\)। दोहराए अवयव एक बार लिखें। / Union contains all distinct elements of both sets, so \(A\cup B={a,b,c,d,e}\). Write repeated elements only once.
(A') में (U) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({1,3,4})। पूरक निकालते समय (U) जरूर देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A), namely ({1,3,4}). Always check (U) while finding complement.
\(A\cap B\cap C\) में तीनों समुच्चयों के साझा अवयव होते हैं। वेन आरेख में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements common to all three sets. In a Venn diagram, it is the central common region.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों वृत्तों का साझा भाग है, इसलिए (4) बीच में लिखा जाएगा। तीन समुच्चयों में सबसे पहले बीच का भाग भरना अच्छा रहता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three circles, so (4) is written in the center. For three sets, it is good to fill the central part first.
तीन समुच्चयों का सूत्र देने पर (10+8+6-3-2-1+0=18) मिलता है। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाएं और तीनों का साझा भाग जोड़ें। / Using the three-set formula gives (10+8+6-3-2-1+0=18). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
केवल (A=9-2=7) और केवल (B=7-2=5), इसलिए कुल (12) है। साझा भाग अलग करने के बाद ही जोड़ें। / Only (A=9-2=7) and only (B=7-2=5), so the total is (12). Add only after separating the common part.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (n\(A\cup B\)=6+11=17)। अलग-अलग वृत्तों को सीधे जोड़ें। / For disjoint sets, the common part is (0), so (n\(A\cup B\)=6+11=17). Add separate circles directly.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\), इसलिए संख्या (12) है। वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), so the number is (12). In the Venn diagram, the smaller circle is inside the bigger one.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cap B=A\), इसलिए संख्या (4) है। अंदर वाला पूरा समुच्चय साझा भाग बनता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cap B=A\), so the number is (4). The entire inner set becomes the common part.
(A-B) का अर्थ (A) में होना और (B) में न होना है, इसलिए \(A\cap B'\) है। यह केवल (A) क्षेत्र है। / (A-B) means being in (A) and not in (B), so it is \(A\cap B'\). This is the only (A) region.
(B-A) का अर्थ (B) में होना और (A) में न होना है, इसलिए \(A'\cap B\) है। इसे केवल (B) क्षेत्र भी कहते हैं। / (B-A) means being in (B) and not in (A), so it is \(A'\cap B\). It is also called the only (B) region.
A. \(A\cap B\) में केवल साझा अवयव होते हैं/\(A\cap B\) contains only common elements
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) दोनों समुच्चयों का साझा भाग है। प्रतिच्छेद को पहचानना वेन आरेख का मूल कौशल है। / \(A\cap B\) is the common part of both sets. Identifying intersection is a basic Venn diagram skill.
(U) में वेन आरेख के सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (9+4+6+5=24)। पूरे आयत की संख्या सभी क्षेत्रों का योग है। / (U) includes all regions of the Venn diagram, so (9+4+6+5=24). The number in the whole rectangle is the sum of all regions.
साझा भाग (70-12-18-20=20) होगा। वेन आरेख में अज्ञात क्षेत्र पाने के लिए कुल से ज्ञात क्षेत्र घटाएं। / The common part is (70-12-18-20=20). To get an unknown region in a Venn diagram, subtract known regions from the total.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं, इसलिए साझा भाग (36-14-11=11) है। संघ के तीन क्षेत्रों को याद रखें। / The union contains only (A), the common part, and only (B), so the common part is (36-14-11=11). Remember the three regions of a union.
पूरा आयत सार्वत्रिक समुच्चय (U) को दिखाता है। वेन आरेख में सभी वृत्त (U) के अंदर बनते हैं। / The whole rectangle shows the universal set (U). In a Venn diagram, all circles are drawn inside (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (26+18-8=36) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (26+18-8=36). The common part must be subtracted once.
साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में वही अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। / The common region is called \(A\cap B\). Intersection contains elements that are in both sets.
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (58-41=17) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (58-41=17). It is outside both circles but inside (U).
दोनों वृत्तों के बाहर का भाग (\(A\cup B\)') होता है। इसे न (A) न (B) वाला क्षेत्र भी कहते हैं। / The region outside both circles is (\(A\cup B\)'). It is also called the neither (A) nor (B) region.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर होगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) will lie inside (B).
कोई साझा अवयव न होने पर \(A\cap B=\varnothing\) होता है। इसलिए उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / When there is no common element, \(A\cap B=\varnothing\). Therefore, their circles are drawn separately.
(n\(A\cap B\)=19+13-25=7)। प्रतिच्छेद निकालते समय दोनों समुच्चयों के योग से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=19+13-25=7). To find intersection, subtract the union from the sum of both sets.
केवल (B) की संख्या (27-11=16) है। वेन आरेख में (B) वृत्त से बीच वाला भाग घटाएं। / The number only in (B) is (27-11=16). In the Venn diagram, subtract the middle part from circle (B).
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+5+8=25)। वेन आरेख में हर अलग क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union contains all three regions, so (12+5+8=25). Add each separate region once in a Venn diagram.
न (A) न (B) की संख्या (52-37=15) है। यह (U) के अंदर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (52-37=15). It is the part inside (U) but outside both circles.
(A-B) में (A) के वे अवयव होते हैं जो (B) में नहीं हैं। इसलिए यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). So it is the only (A) region.
(B-A) में (B) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए यह केवल (B) वाला क्षेत्र है। / (B-A) contains elements of (B) that are not in (A). So it is the only (B) region.
\(A\cap B'\) का अर्थ है (A) में होना और (B) में न होना। यह केवल (A) क्षेत्र है। / \(A\cap B'\) means being in (A) and not in (B). It is the only (A) region.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। दोनों के बाहर वाले क्षेत्र को समझने में यह नियम मदद करता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule helps in understanding the outside-both region.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। साझा भाग को छोड़कर बाकी क्षेत्र इस पूरक में आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). All regions except the common part are included in this complement.
केवल (A) के लिए (A-B) निकालते हैं। (2) और (8) साझा हैं, इसलिए ({4,6}) बचता है। / For only (A), find (A-B). Since (2) and (8) are common, ({4,6}) remains.
(A') में (U) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (A'={2,3,5})। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore, (A'={2,3,5}).
\(A\cup B={a,b,c,d}\), इसलिए (\(A\cup B\)'={e,f})। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / \(A\cup B={a,b,c,d}\), so (\(A\cup B\)'={e,f}). First find the union and then take the complement.
साझा भाग (80-15-25-18=22) है। अज्ञात क्षेत्र के लिए (U) से बाकी क्षेत्र घटाएं। / The common part is (80-15-25-18=22). For an unknown region, subtract the other regions from (U).
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (44-16-19=9) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (44-16-19=9).
किसी कक्षा में (42) विद्यार्थी हैं, (24) गणित पसंद करते हैं, (18) विज्ञान पसंद करते हैं, और (7) दोनों पसंद करते हैं। कम से कम एक विषय पसंद करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक पसंद करने वाले (24+18-7=35) हैं। दोनों पसंद करने वालों को दो बार न गिनें। / Those who like at least one are (24+18-7=35). Do not count those who like both twice.
कम से कम एक चलाने वाले (28+20-10=38) हैं। कोई भी नहीं चलाने वाले (50-38=12) हैं। / Those who use at least one are (28+20-10=38). Those who use neither are (50-38=12).
केवल चाय पीने वाले (17-6=11) हैं। कुल चाय से दोनों पीने वालों को घटाएं। / Those who drink only tea are (17-6=11). Subtract those who drink both from total tea drinkers.
केवल तैराकी में (22-8=14) विद्यार्थी हैं। दूसरे वृत्त का साझा भाग घटाना होता है। / Only swimming has (22-8=14) students. Subtract the common part from the second circle.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=15+18=33)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore, (n\(A\cup B\)=15+18=33).
बीच का सामान्य क्षेत्र तीनों में साझा होता है, इसलिए \(A\cap B\cap C\) है। तीन समुच्चयों में सबसे पहले केंद्र को पहचानें। / The central common region is shared by all three, so it is \(A\cap B\cap C\). In three-set diagrams, identify the center first.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (8+7+6-2-1-3+1=16)। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (8+7+6-2-1-3+1=16). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
(A) के कुल (20) में केवल (A) (13) है। इसलिए साझा भाग (20-13=7) है। / Out of total (20) elements of (A), only (A) has (13). Therefore, the common part is (20-13=7).
(B) के कुल (30) में केवल (B) (21) है। इसलिए साझा भाग (30-21=9) है। / Out of total (30) elements of (B), only (B) has (21). Therefore, the common part is (30-21=9).
(n\(A\cap B\)=0) का अर्थ है कोई साझा अवयव नहीं। इसलिए (A) और (B) असंबद्ध हैं। / (n\(A\cap B\)=0) means there is no common element. Therefore, (A) and (B) are disjoint.
\(A\cap B\) के सभी अवयव (A) में जरूर होते हैं। इसलिए \(A\cap B\subseteq A\) हमेशा सही है। / All elements of \(A\cap B\) must be in (A). Therefore, \(A\cap B\subseteq A\) is always correct.
कोई भी अवयव (A) और (A') दोनों में साथ-साथ नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A'=\varnothing\)। / No element can be in both (A) and (A') at the same time. Therefore, \(A\cap A'=\varnothing\).
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के बाकी अवयव आते हैं। इसलिए संख्या (90-25=65) है। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part. Therefore, the number is (90-25=65).
सूत्र (48=32+n(B)-10) से (n(B)=26) मिलता है। संघ के सूत्र में अज्ञात को अलग करें। / From (48=32+n(B)-10), we get (n(B)=26). Isolate the unknown in the union formula.
(A') में (U) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं होते। पूरक निकालते समय हमेशा (U) को आधार मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Always take (U) as the base while finding complement.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (36+28-12=52) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (36+28-12=52). Subtract the common part once.
\(A\cup B\) में दोनों वृत्तों का पूरा भाग आता है। जो भाग छूटता है वह दोनों से बाहर यानी (\(A\cup B\)') है। / \(A\cup B\) includes the whole of both circles. The part left is outside both, that is (\(A\cup B\)').
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है। इसलिए संख्या (92-67=25) होगी। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'). Therefore the number is (92-67=25).
बीच का साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाले अवयव होते हैं। / The middle common part is called \(A\cap B\). Intersection contains only elements common to both sets.
केवल (A) का अर्थ (A) में होना और (B) में न होना है। इसलिए यह \(A\cap B'\) है। / Only (A) means being in (A) and not in (B). Therefore, it is \(A\cap B'\).
केवल (B) का अर्थ (B) में होना और (A) में न होना है। इसलिए यह \(A'\cap B\) है। / Only (B) means being in (B) and not in (A). Therefore, it is \(A'\cap B\).
\(A\cup B={a,c,d,e,f}\), इसलिए (\(A\cup B\)'={b,h})। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / \(A\cup B={a,c,d,e,f}\), so (\(A\cup B\)'={b,h}). First find the union and then take the complement.
(n\(A\cup B\)=31+22-9=44)। साझा भाग को दो बार गिनने से बचाने के लिए एक बार घटाते हैं। / (n\(A\cup B\)=31+22-9=44). The common part is subtracted once to avoid double counting.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (81-29-34=18) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore the common part is (81-29-34=18).
(n\(A\cap B\)=28+19-39=8)। संघ दिए होने पर दोनों समुच्चयों का योग लेकर संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=28+19-39=8). When union is given, add both sets and subtract the union.
न (A) न (B) की संख्या (85-56=29) है। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का क्षेत्र है। / The number in neither (A) nor (B) is (85-56=29). It is outside both circles but inside (U).
केवल (B) की संख्या (41-17=24) है। (B) वृत्त के बीच वाले भाग को हटाएं। / The number only in (B) is (41-17=24). Remove the middle common part from circle (B).
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (18+7+14=39)। वेन आरेख में हर क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union includes all three regions, so (18+7+14=39). In a Venn diagram, add each region once.
ज्ञात वृत्तीय क्षेत्र (26+15+31=72) हैं। बाहर का क्षेत्र (94-72=22) है। / The known circular regions are (26+15+31=72). The outside region is (94-72=22).
साझा भाग (76-18-20-23=15) है। अज्ञात क्षेत्र के लिए कुल से ज्ञात क्षेत्र घटाएं। / The common part is (76-18-20-23=15). For an unknown region, subtract known regions from the total.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (63-24-27=12) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (63-24-27=12).
केवल (B) के लिए (B-A) निकालते हैं। (q) और (r) साझा हैं, इसलिए ({s,t}) बचता है। / For only (B), find (B-A). Since (q) and (r) are common, ({s,t}) remains.
\(A\cup B={a,b,c,e,g}\), इसलिए (\(A\cup B\)'={d})। पहले संघ फिर पूरक निकालें। / \(A\cup B={a,b,c,e,g}\), so (\(A\cup B\)'={d}). First find the union and then the complement.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। इसलिए \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\)। / Union contains all distinct elements of both sets. Therefore, \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\).
कम से कम एक विषय पढ़ने वाले (34+27-11=50) हैं। दोनों पढ़ने वालों को दो बार नहीं गिनना चाहिए। / Those who study at least one subject are (34+27-11=50). Students studying both should not be counted twice.
कम से कम एक सुनने वाले (46+38-16=68) हैं। कोई भी नहीं सुनने वाले (90-68=22) हैं। / Those who listen to at least one are (46+38-16=68). Those who listen to neither are (90-68=22).
केवल आम पसंद करने वाले (32-9=23) हैं। कुल आम पसंद करने वालों से दोनों पसंद करने वालों को घटाएं। / Those who like only mango are (32-9=23). Subtract those who like both from total mango lovers.
केवल चित्रकला में (33-12=21) सदस्य हैं। दूसरे वृत्त से साझा भाग घटाएं। / Only painting has (33-12=21) members. Subtract the common part from the second circle.
एक परीक्षा में (100) विद्यार्थियों में (62) ने गणित पास किया, (49) ने विज्ञान पास किया, और (35) ने दोनों पास किए। केवल विज्ञान पास करने वाले कितने हैं?
केवल विज्ञान पास करने वाले (49-35=14) हैं। विषय के कुल से दोनों पास करने वालों को घटाएं। / Those who passed only Science are (49-35=14). Subtract those who passed both from the total of that subject.
कम से कम एक जगह जाने वाले (70+52-30=92) हैं। वेन आरेख में साझा भाग को एक बार घटाते हैं। / Those who visited at least one place are (70+52-30=92). In a Venn diagram, subtract the common part once.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=24+37=61)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore, (n\(A\cup B\)=24+37=61).
जब (A=B), तो (A) में ऐसा कोई अवयव नहीं बचता जो (B) में न हो। इसलिए \(A-B=\varnothing\)। / When (A=B), no element remains in (A) that is not in (B). Therefore, \(A-B=\varnothing\).
\(A\cap B=A\) का अर्थ है (A) पूरा (B) के अंदर है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / \(A\cap B=A\) means the whole of (A) lies inside (B). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Therefore, \(B\subseteq A\) is correct.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों समुच्चयों का साझा भाग है। तीन वृत्तों में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three sets. In three circles, it is the central common region.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (12+14+10-5-3-4+2=26)। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (12+14+10-5-3-4+2=26). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
सूत्र से (16+18+9-6-2-3+1=33) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग जोड़ना न भूलें। / The formula gives (16+18+9-6-2-3+1=33). In three sets, do not forget to add the final common part.
(A) के कुल (45) में केवल (A) (19) है। इसलिए साझा भाग (45-19=26) है। / Out of total (45) elements of (A), only (A) has (19). Therefore, the common part is (45-19=26).
(B) के कुल (50) में केवल (B) (28) है। इसलिए साझा भाग (50-28=22) है। / Out of total (50) elements of (B), only (B) has (28). Therefore, the common part is (50-28=22).
\(A\cap B\) के सभी अवयव (A) में अवश्य होते हैं। इसलिए \(A\cap B\subseteq A\) हमेशा सत्य है। / All elements of \(A\cap B\) must be in (A). Therefore, \(A\cap B\subseteq A\) is always true.
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के बाकी सभी अवयव आते हैं। इसलिए (96-34=62)। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part. Therefore, (96-34=62).
सूत्र (69=42+n(B)-18) से (n(B)=45) मिलता है। संघ के सूत्र में अज्ञात को अलग करें। / From (69=42+n(B)-18), we get (n(B)=45). Isolate the unknown in the union formula.
