A set with no element is an empty set. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) आते हैं। चरण 2: इनमें कोई भी संख्या (1) से छोटी नहीं है। चरण 3: जब कोई तत्व न मिले तो समुच्चय रिक्त होता है।
Writing it as (x(x-1)(x+1)=0) gives the integer solutions (-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Since (A) and (B) have exactly the same three elements, the sets are equal. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: इसे (x(x-1)(x+1)=0) लिखने पर पूर्णांक हल (-1,0,1) मिलते हैं। चरण 3: (A) और (B) में वही तीन तत्व हैं, इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं।
Since there is no real solution, the set is empty. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1\) कभी (0) नहीं हो सकता। चरण 3: वास्तविक हल न होने पर बना समुच्चय रिक्त है।
No natural number satisfies both conditions, so the set is empty. चरण 1: (1) का केवल प्राकृतिक गुणनखंड (1) है। चरण 2: (1) अभाज्य संख्या नहीं है। चरण 3: कोई प्राकृतिक संख्या दोनों शर्तें पूरी नहीं करती, इसलिए समुच्चय रिक्त है।
B. ((A=B)) क्योंकि तत्व समान हैं/(A=B) because elements are the same
Step 1
Concept
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
Both (A) and (B) have the distinct elements (2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Order and repetition do not affect equality of sets. चरण 1: समुच्चय में किसी तत्व की पुनरावृत्ति गिनी नहीं जाती। चरण 2: (A) और (B) दोनों के अलग तत्व (2,3,4) हैं। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम और दोहराव का असर नहीं होता।
Each natural number (n) forms an ordered pair ((n,n+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting \(n=1,2,3,\ldots\) keeps producing new pairs.
Step 3
Exam Tip
Since natural numbers do not end, this set is infinite. चरण 1: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (n) से एक क्रमित युग्म ((n,n+1)) बनता है। चरण 2: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर नए-नए युग्म मिलते रहते हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्याएँ समाप्त नहीं होतीं, इसलिए यह समुच्चय अनंत है।
The integers satisfying \(x^2<10\) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Their squares are less than (10).
Step 3
Exam Tip
The set is finite and has (7) elements. चरण 1: \(x^2<10\) के लिए पूर्णांक (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 2: इनके वर्ग (10) से छोटे हैं। चरण 3: इसलिए यह सांत समुच्चय है और इसमें (7) तत्व हैं।
For each natural number (n), \(n^2\) can produce a square number.
Step 2
Why this answer is correct
We get \(1,4,9,16,\ldots\) without stopping.
Step 3
Exam Tip
Since the elements do not end, the set is infinite. चरण 1: हर प्राकृतिक संख्या (n) के लिए \(n^2\) एक नया वर्ग दे सकता है। चरण 2: \(1,4,9,16,\ldots\) ऐसे तत्व लगातार मिलते रहते हैं। चरण 3: तत्वों की संख्या समाप्त नहीं होती इसलिए यह अनंत समुच्चय है।
C. ({0}) एकांक है और \(\varnothing\) रिक्त है/({0}) is singleton and \(\varnothing\) is empty
Step 1
Concept
({0}) contains one element, namely (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\varnothing\) contains no element.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse zero as an element with no element. चरण 1: ({0}) में (0) नाम का एक तत्व है। चरण 2: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 3: परीक्षा में (0) और रिक्तता को अलग पहचानना बहुत जरूरी है।
The multiples of (5) between (10) and (50) are (15,20,25,30,35,40,45).
Step 2
Why this answer is correct
The endpoints are not included because the wording says between.
Step 3
Exam Tip
There are (7) elements, so the set is finite. चरण 1: (10) और (50) के बीच (5) के गुणज (15,20,25,30,35,40,45) हैं। चरण 2: सिरों को शामिल नहीं किया गया क्योंकि बीच कहा गया है। चरण 3: कुल (7) तत्व हैं इसलिए समुच्चय सांत है।
This set contains negative integers continuing without end.
Step 2
Why this answer is correct
The list of elements never finishes.
Step 3
Exam Tip
Therefore, it is an infinite set. चरण 1: इस समुच्चय में ऋणात्मक पूर्णांक लगातार पीछे की ओर चलते हैं। चरण 2: इनके तत्वों की संख्या गिनी जाकर समाप्त नहीं होती। चरण 3: इसलिए यह अनंत समुच्चय है।
For every positive natural number (x), we can write \(0=x\cdot 0\).
Step 2
Why this answer is correct
So every natural number divides zero.
Step 3
Exam Tip
Since natural numbers are infinite, the set is infinite. चरण 1: हर धनात्मक प्राकृतिक संख्या (x) के लिए \(0=x\cdot 0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए हर प्राकृतिक संख्या शून्य को विभाजित करती है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याएँ अनंत हैं, अतः समुच्चय अनंत है।
Examples include \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}\), and more.
Step 3
Exam Tip
The elements do not end, so the set is infinite. चरण 1: (0) और (1) के बीच बहुत सारी वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चरण 2: जैसे \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}\) आदि। चरण 3: इतनी संख्याएँ समाप्त नहीं होतीं, इसलिए समुच्चय अनंत है।
\({\varnothing}\) contains one element, and that element is \(\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
So its number of elements is (1).
Step 3
Exam Tip
Remember that \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) are not equal. चरण 1: \({\varnothing}\) में एक तत्व है और वह तत्व \(\varnothing\) है। चरण 2: इसलिए इसमें तत्वों की संख्या (1) है। चरण 3: ध्यान रखें कि \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) समान नहीं होते।
In (B), (1) is repeated, but repetition does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the distinct elements (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Sets with exactly the same elements are equal. चरण 1: (B) में (1) दोहराया गया है पर दोहराव अलग तत्व नहीं बनाता। चरण 2: दोनों समुच्चयों के अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: समान तत्व होने पर समुच्चय समान होते हैं।
The only natural number between (14) and (16) is (15).
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not prime because \(15=3\cdot 5\).
Step 3
Exam Tip
No element satisfies the condition, so the set is empty. चरण 1: (14) और (16) के बीच केवल प्राकृतिक संख्या (15) है। चरण 2: (15) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(15=3\cdot 5\)। चरण 3: कोई योग्य तत्व नहीं मिला, इसलिए समुच्चय रिक्त है।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (A) are exactly (-3,3).
Step 3
Exam Tip
Since (A) and (B) have the same elements, (A=B). चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: (A) के तत्व (-3,3) ही हैं। चरण 3: (A) और (B) के तत्व समान हैं इसलिए (A=B)।
The natural number values of (x) are (1) through (9).
Step 3
Exam Tip
Hence the set has (9) elements. चरण 1: (2x+1<20) से (2x<19) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्या (x) के मान (1) से (9) तक होंगे। चरण 3: इसलिए कुल (9) तत्व हैं।
Between (0) and (1), there are rational numbers like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\), and so on.
Step 2
Why this answer is correct
This list never ends.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the set is infinite. चरण 1: (0) और (1) के बीच \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\) जैसी अनेक परिमेय संख्याएँ हैं। चरण 2: यह सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: इसलिए यह अनंत समुच्चय है।
C. दोनों में तत्वों की संख्या समान है पर वे समान समुच्चय नहीं हैं/They have the same number of elements but are not equal sets
Step 1
Concept
Both (A) and (B) have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
But their actual elements are different.
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have exactly the same elements, not just the same number of elements. चरण 1: (A) और (B) दोनों में (3) तत्व हैं। चरण 2: लेकिन उनके वास्तविक तत्व अलग-अलग हैं। चरण 3: समान समुच्चय होने के लिए तत्व वही होने चाहिए, केवल संख्या समान होना पर्याप्त नहीं है।
Thus (B) is empty, and (A=B). चरण 1: किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1=0\) का कोई पूर्णांक हल नहीं है। चरण 3: (B) भी रिक्त है, अतः (A=B)।
Here (0) is the count of elements, not an element inside the set. चरण 1: रिक्त समुच्चय का अर्थ है कोई तत्व नहीं। चरण 2: इसलिए इसकी तत्व संख्या (0) होती है। चरण 3: (0) तत्वों की संख्या है, स्वयं कोई तत्व नहीं।
Since there is only one element, it is a singleton set. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: ((x-1)2=0) से (x=1) मिलता है। चरण 3: केवल एक तत्व होने से यह एकांक समुच्चय है।
Therefore, the set has infinitely many elements. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(2,4,6,\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: सम संख्याएँ आगे चलती रहती हैं। चरण 3: इसलिए तत्वों की संख्या अनंत है।
Therefore, the set is empty. चरण 1: (5) और (6) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं होती। चरण 2: कोई तत्व शर्त पूरी नहीं करता। चरण 3: इसलिए यह रिक्त समुच्चय है।
The condition includes all integers from (-2) to (2).
Step 2
Why this answer is correct
So the elements are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
When equality signs are present, include the endpoints. चरण 1: शर्त में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक शामिल हैं। चरण 2: इसलिए तत्व (-2,-1,0,1,2) होंगे। चरण 3: सिरों पर बराबरी का चिन्ह हो तो सिरों को भी शामिल करें।
Hence (x=0), so the set is ({0}). चरण 1: वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: \(x^2\le 0\) तभी संभव है जब \(x^2=0\)। चरण 3: इससे (x=0), इसलिए समुच्चय ({0}) है।
(-3) and (3) are not included because the inequalities are strict.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
Thus there are (5) elements. चरण 1: (-3) और (3) शामिल नहीं हैं क्योंकि चिह्न कठोर हैं। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 3: इसलिए कुल (5) तत्व हैं।
({0}) and \({\varnothing}\) each contain one element, so they are not empty. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: \(\varnothing\) उसका मानक संकेत है। चरण 3: ({0}) और \({\varnothing}\) में एक-एक तत्व है, इसलिए वे रिक्त नहीं हैं।
The list does not end, so the set is infinite. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: हर नए (n) से नया भिन्न मिल सकता है। चरण 3: तत्वों की सूची समाप्त नहीं होती, इसलिए समुच्चय अनंत है।
Since the number of elements is definite, the set is finite. चरण 1: (24) के प्राकृतिक गुणनखंड सीमित हैं। चरण 2: वे (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 3: निश्चित संख्या के तत्व होने से यह सांत समुच्चय है।
If (A) and (B) are equal, their distinct elements must match.
Step 2
Why this answer is correct
To include (3) in (A), we need (a=3).
Step 3
Exam Tip
If (a=1) or (a=4), the element (3) would be missing. चरण 1: (A) और (B) समान हैं तो उनके अलग तत्व समान होंगे। चरण 2: (A) में (3) लाने के लिए (a=3) होना चाहिए। चरण 3: (a=1) या (a=4) रखने से (3) नहीं आएगा।
The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are not integers.
Step 3
Exam Tip
Since there is no integer solution, the set is empty. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये पूर्णांक नहीं हैं। चरण 3: पूर्णांकों में कोई हल न होने से समुच्चय रिक्त है।
There are (9) elements in total. चरण 1: (36) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: ये सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: कुल (9) तत्व हैं, इसलिए उत्तर (9) है।
Rational numbers such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{10},2\) have terminating decimal expansions.
Step 2
Why this answer is correct
Infinitely many such examples exist.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the set is infinite. चरण 1: \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{10},2\) जैसी परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार समाप्त होते हैं। चरण 2: ऐसे उदाहरण अनंत मिलते हैं। चरण 3: इसलिए यह समुच्चय अनंत है।
The absolute value of any real number is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
So (|x|=-1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
Since no value satisfies it, the set is empty. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या का परम मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: (|x|=-1) असंभव है। चरण 3: कोई हल नहीं होने से समुच्चय रिक्त है।
In a set, repeated elements are counted only once.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (2,4,6,8,10).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of distinct elements is (5). चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्वों को एक बार ही गिना जाता है। चरण 2: अलग तत्व (2,4,6,8,10) हैं। चरण 3: इसलिए अलग तत्वों की संख्या (5) है।
B. नहीं, क्योंकि ({2,3}) एक अलग तत्व है/No, because ({2,3}) is a single different element
Step 1
Concept
({1,{2,3}}) has two elements: (1) and ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) has three elements: (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
The elements are not the same, so the sets are not equal. चरण 1: ({1,{2,3}}) में दो तत्व हैं, (1) और ({2,3})। चरण 2: ({1,2,3}) में तीन तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: तत्व समान नहीं हैं, इसलिए समुच्चय समान नहीं हैं।
C. \(\varnothing\) रिक्त है पर \({\varnothing}\) एकांक है/\(\varnothing\) is empty but \({\varnothing}\) is singleton
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) has one element, namely \(\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, they are not equal. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में एक तत्व है और वह \(\varnothing\) है। चरण 3: इसलिए दोनों समान नहीं हैं।
B. \(A\neq B\) क्योंकि \(B=\{0\}\)/\(A\neq B\) because \(B=\{0\}\)
Step 1
Concept
The integer solution of \(x^2=0\) is (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
So \(B=\{0\}\), which is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
\(\varnothing\) and ({0}) are not equal. चरण 1: \(x^2=0\) का पूर्णांक हल (x=0) है। चरण 2: इसलिए \(B=\{0\}\), जो एकांक समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) समान नहीं होते।
Both are natural numbers, so \(A=\{2,3\}\). चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं। चरण 3: दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए \(A=\{2,3\}\)।
Therefore, (A) and (B) are equal sets. चरण 1: (12) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: (B) में यही सभी तत्व दिए गए हैं। चरण 3: इसलिए (A) और (B) समान समुच्चय हैं।
