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समुच्चय \(U\) में 4 से विभाज्य 15 संख्याएँ और 9 से विभाज्य 6 संख्याएँ हैं। दोनों में समान संख्याएँ केवल 36 की एक गुणज है, इसलिए \(n(A\cap B)=1\)। समावेशन-वर्जन सिद्धांत से \(n(A\cup B)=15+6-1=20\)। अतः \(U\) के सापेक्ष पूरक में \(60-20=40\) सदस्य हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक की cardinality निकालने से पहले union में overlap अवश्य घटाएँ। विकल्प 39 में overlap घटाना भूलने की गलती है। / In \(U\), there are 15 multiples of 4 and 6 multiples of 9. Their only common multiple up to 60 is 36, so \(n(A\cap B)=1\). By the inclusion–exclusion principle, \(n(A\cup B)=15+6-1=20\). Therefore, the complement relative to \(U\) has \(60-20=40\) elements. Exam tip: when counting a union, subtract the overlap once. Option 39 results from forgetting this overlap.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), इसलिए (n\(A'\cap B'\)=84-18=66) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), (n\(A'\cap B'\)=84-18=66).
\(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) सदस्य हैं। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=12) है। / \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so (A) has (9) elements. Since (U) has (21) elements, (n(A')=12).
पूरक में (A) से बाहर के वास्तविक मान आते हैं। (-4) हटेगा, पर (2) और (6) शामिल होंगे। / The complement contains real values outside (A). The point (-4) is excluded, while (2) and (6) are included.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B=B\setminus A\) होता है, अर्थात् यह \(B\) में वे अवयव हैं जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\)। विकल्प 97 केवल \(B\) की कुल संख्या है और उसमें \(A\) के अवयव भी शामिल हैं। परीक्षा-टिप: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(A'\cap B\) की जगह सीधे \(B\setminus A\) लिखकर हल करें। / Since \(A\subseteq B\), we have \(A'\cap B=B\setminus A\), which contains the elements of \(B\) that are not in \(A\). Therefore, \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\). The value 97 is only the cardinality of \(B\), which also includes the elements of \(A\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A'\cap B\) with \(B\setminus A\).
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर विषम अभाज्य संख्याएं होंगी। / (A') is the set of odd numbers. Thus \(A'\cap B\) contains odd prime numbers except (2).
\(A'\cap B'\) वही सदस्य हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं। \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), इसलिए उत्तर ({c,f}) है। / \(A'\cap B'\) contains elements not in \(A\cup B\). Since \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), the answer is ({c,f}).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (15) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (45-3=42) है। / By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (15), so the complement has (45-3=42) elements.
\(A\cup B\) को वास्तविक रेखा से हटाने पर तीन भाग बचते हैं। सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Removing \(A\cup B\) from the real line leaves three parts. Watch the open and closed endpoints carefully.
विषम संख्याओं में से वर्ग संख्याएं (1) और (9) हटेंगी। इसलिए \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\) है। / From the odd numbers, the square numbers (1) and (9) are removed. Hence \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\).
असमानता \(2x-3<7\) से \(2x<10\), अर्थात् \(x<5\), मिलता है। इसलिए \(U\) में \(A=\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। \(A'\), अर्थात् \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक, वे सदस्य होंगे जो \(A\) में नहीं हैं; अतः \(A'=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। विकल्प C में 4 भी शामिल है, जबकि \(4<5\) होने के कारण 4, \(A\) का सदस्य है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले असमानता हल करें और फिर केवल सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर बचे हुए सदस्यों को चुनें। / Solving \(2x-3<7\) gives \(2x<10\), hence \(x<5\). Therefore, within \(U\), \(A=\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The complement \(A'\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), so \(A'=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Option C incorrectly includes 4, but \(4<5\), so 4 belongs to \(A\). Exam tip: solve the inequality first, then select the remaining elements only from the universal set.
(25) तक अभाज्य संख्याएं (9) हैं और उनमें (5) को हटाना होगा। (A') में (5) के गुणज नहीं आते, इसलिए (7) अभाज्य बचते हैं। / There are (9) primes up to (25), and (5) must be removed. Multiples of (5) are not in (A'), so (7) primes remain.
संबंध \(A\cap B'=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B'\) में भी है। इसलिए \(A\subseteq B'\) अवश्य सत्य है। इससे \(B\subseteq A\), \(A=B\) या \(A\cup B=U\) निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap X=A\) से हमेशा \(A\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The relation \(A\cap B'=A\) means that every element of \(A\) also belongs to \(B'\). Therefore, \(A\subseteq B'\) must be true. It does not imply \(B\subseteq A\), \(A=B\), or \(A\cup B=U\). Exam tip: from \(A\cap X=A\), immediately infer \(A\subseteq X\).
(A-B) में वे सम संख्याएं हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (35-5=30) है। इसलिए पूरक (70-30=40) है। / (A-B) contains even numbers not divisible by (7), and their count is (35-5=30). Therefore the complement has (70-30=40) elements.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) है। इसलिए \((x-2)(x-4)>0\) का हल \(x<2\) या \(x>4\) है, अर्थात \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\)। चूँकि पूरक \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, इसलिए \(A'=[2,4]\) होगा। ध्यान रखें कि मूल असमिका सख्त \(>0\) है, इसलिए \(2\) और \(4\) मूल समुच्चय में शामिल नहीं हैं, लेकिन उसके पूरक में शामिल होंगे। / Factorising gives \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\). Thus \((x-2)(x-4)>0\) for \(x<2\) or \(x>4\), so \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\). Since the complement is taken in \(\mathbb{R}\), \(A'=[2,4]\). The endpoints are included in the complement because the original inequality is strict and does not include \(x=2\) or \(x=4\).
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\)। यहाँ \(A\cap B=\{6,12,18\}\), क्योंकि यही वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में समान हैं। अतः \(U\) से 6, 12 और 18 को हटाने पर \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\) मिलता है। विकल्प C केवल \(A'\cap B'\) को दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरकों के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). Here, \(A\cap B=\{6,12,18\}\), since these are the elements common to both sets. Therefore, removing 6, 12, and 18 from \(U\) gives \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\). Option C represents \(A'\cap B'\), not the required union, so it is incorrect. Exam tip: Apply De Morgan’s law first whenever complements and unions or intersections appear together.
\(A'\cap B'\) का अर्थ विषम और वर्ग नहीं संख्याएं हैं। (40) तक (20) विषम संख्याओं में (1,9,25) वर्ग हैं, इसलिए (17) बचते हैं। / \(A'\cap B'\) means odd and non-square numbers. Among (20) odd numbers up to (40), (1,9,25) are squares, so (17) remain.
A' में U के वे तत्व हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए A = U − A' = {p, r, t, v}। अब B = {p, q, t, v} के साथ समान तत्व लेने पर A ∩ B = {p, t, v} मिलता है। विकल्प C केवल B को दर्शाता है और उसमें q शामिल है, जबकि q ∉ A। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय से मूल समुच्चय निकालें, फिर प्रतिच्छेद में केवल समान तत्व रखें। / A' contains the elements of U that are not in A. Hence, A = U − A' = {p, r, t, v}. The elements common to A and B = {p, q, t, v} are p, t, and v, so A ∩ B = {p, t, v}. Option C is just B and incorrectly includes q, which is not in A. Exam tip: First find the original set from its complement, then retain only the common elements for an intersection.
\(A\) में \(-3\) से बड़ी संख्याएँ और \(B\) में \(5\) तक की संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए \(A\cap B=(-3,5]\)। चूँकि पूरक सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, इस अंतराल के बाहर की संख्याएँ मिलती हैं: \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\)। विकल्प B में \(-3\) और \(5\) के सिरों की समावेशन स्थिति उलट दी गई है। परीक्षा-युक्ति: खुले सिरे का पूरक बंद और बंद सिरे का पूरक खुला होता है। / The set \(A\) contains numbers greater than \(-3\), while \(B\) contains numbers less than or equal to \(5\). Hence, \(A\cap B=(-3,5]\). Since the complement is taken with respect to \(\mathbb{R}\), the numbers outside this interval are obtained: \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\). Option B incorrectly reverses the inclusion of the endpoints \(-3\) and \(5\). Exam tip: the complement of an open endpoint is closed, and the complement of a closed endpoint is open.
\(A\cap B\) में (30) के गुणज होंगे, जो (90) तक (3) हैं। इसलिए पूरक में (90-3=87) सदस्य हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (30), and there are (3) up to (90). So the complement has (90-3=87) elements.
(A') में (1,4,7,10) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय में से (4) और (10) हटाने पर ({2,6,8,12}) बचता है। / (A') does not contain (1,4,7,10). Removing (4) and (10) from the given set leaves ({2,6,8,12}).
\(A'=U\) का अर्थ है कि समुच्चय \(A\) का पूरक पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है, इसलिए \(A=\varnothing\)। अतः \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\)। शर्त \(B'\ne U\) केवल यह बताती है कि \(B\ne\varnothing\); इससे \(B=U\) आवश्यक नहीं होता, इसलिए विकल्प B निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A'=U\) दिखे तो तुरंत \(A=\varnothing\) लिखें। / \(A'=U\) means that the complement of \(A\) is the entire universal set, so \(A=\varnothing\). Therefore, \(A\cup B=\varnothing\cup B=B\). The condition \(B'\ne U\) only implies \(B\ne\varnothing\); it does not imply \(B=U\), so option B is not necessarily true. Exam tip: whenever \(A'=U\) is given, immediately conclude that \(A=\varnothing\).
समीकरण से \(A=\{4,5\}\) है। (5) से छोटे सदस्य (0,1,2,3,4) हैं, इनमें (4) हटेगा, इसलिए (4) नहीं बल्कि (4) सदस्य बचते हैं। / The equation gives \(A=\{4,5\}\). Elements less than (5) are (0,1,2,3,4), and (4) is removed, so (4) elements remain.
समुच्चय \(A\) में 100 तक 8 के गुणज हैं। इनकी संख्या \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\)। ध्यान रखें कि पूरक की गणना हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में की जाती है। / Set \(A\) contains the multiples of 8 up to 100. Their number is \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\). Exam tip: calculate a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
\(|x-2|<5\) से \(-5<x-2<5\), अर्थात \(-3<x<7\), इसलिए \(A=(-3,7)\) है। चूँकि पूरक \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, खुले अंतराल के दोनों सीमा-बिंदु \(-3\) और \(7\) पूरक में शामिल होंगे: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\)। ध्यान रखें कि खुले समुच्चय का पूरक सामान्यतः बंद सिरों वाला होता है। / From \(|x-2|<5\), we get \(-5<x-2<5\), hence \(-3<x<7\), so \(A=(-3,7)\). Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), the boundary points \(-3\) and \(7\) are included in the complement: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\). Exam tip: the complement of an open interval in \(\mathbb{R}\) has closed endpoints.
A. (U) में सम संख्याओं का समुच्चय/The set of even numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में सम नहीं यानी विषम संख्याएं हैं। इसलिए (A') में (U) की सम संख्याएं होंगी। / (A) contains numbers that are not even, meaning odd numbers. Therefore (A') contains the even numbers of (U).
\(A'\cap B\) का अर्थ (3) के वे गुणज हैं जो सम नहीं हैं। (36) तक (3) के (12) गुणज हैं, उनमें (6) सम हैं, इसलिए (6) बचते हैं। / \(A'\cap B\) means multiples of (3) that are not even. Up to (36), there are (12) multiples of (3), (6) of them are even, so (6) remain.
यदि दो समुच्चय मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए (B=A') है। / If two sets together form (U) and are disjoint, they are complements of each other. Hence (B=A').
पहले साझा अवयव ज्ञात करें: \(A\cap B=\{5\}\)। किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उसमें शामिल नहीं हैं। अतः \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\)। विकल्प C वास्तव में \(A\cup B\) है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लिखा जा सकता है। / The common element is \(A\cap B=\{5\}\). The complement contains every element of the universal set that is not in this intersection. Therefore, \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\). Option C is actually \(A\cup B\), not the complement. Exam tip: By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
चूँकि पूरक सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, इसलिए \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\)। समुच्चय \(B=[-2,6]\) में \([0,4]\) पूरा शामिल है, अतः \(A'\cap B=[0,4]\)। ध्यान रखें कि 0 और 4, \(A\) के खुले अंतरालों में नहीं हैं, इसलिए वे \(A'\) में शामिल होंगे। / Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), we have \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\). The set \(B=[-2,6]\) contains all of \([0,4]\), so \(A'\cap B=[0,4]\). Note that 0 and 4 are not included in the open intervals defining \(A\), so both belong to \(A'\).
(32) तक (2) की घातें (1,2,4,8,16,32) हैं, इसलिए (A) में (6) सदस्य हैं। पूरक में (32-6=26) सदस्य हैं। / Powers of (2) up to (32) are (1,2,4,8,16,32), so (A) has (6) elements. The complement has (32-6=26) elements.
किसी समुच्चय का पूरक संबंध \(A'=U-A\) होता है, इसलिए \(A=U-A'\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में से दिए गए अभाज्य सदस्य \(2,3,5,7,11,13,17,19\) हटाने पर \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(1\) अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A\) में शामिल रहेगा। / For complementary sets, \(A'=U-A\), so \(A=U-A'\). Removing the given prime elements \(2,3,5,7,11,13,17,19\) from the universal set \(U\) leaves \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\). Remember that \(1\) is not a prime number, so it remains in \(A\).
\(A\setminus B\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं हैं। यदि यह समुच्चय रिक्त है, तो \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) अवश्य सत्य है। विकल्प B के लिए \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में होना आवश्यक होता, जो दी गई शर्त से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(A\setminus B=\varnothing\) को सीधे \(A\subseteq B\) के रूप में याद रखें। / The set \(A\setminus B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). If this difference is empty, no element of \(A\) lies outside \(B\); hence \(A\subseteq B\) must hold. Option B would require every element of \(B\) to belong to \(A\), which is not implied by the given condition. Exam tip: remember the equivalence \(A\setminus B=\varnothing\iff A\subseteq B\).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (9) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+9-3=12) हैं, इसलिए पूरक (42) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Numbers divisible by (9) or (6) are (6+9-3=12), so the complement is (42).
(A) में (-1) शामिल है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (A) includes (-1), so it is not in the complement. The point (3) is not in (A), so it is included in the complement.
\(यदि �(\(U=\{1,2,\ldots,28\}\))�, �(\(A=\{x\in U\mid x\text{ विषम है}\}\))� और �(\(B=\{x\in U\mid 7\mid x\}\))� हैं, तो �\(A'\cap B\)� का मान क्या है\)?
A का पूरक A' (U के सापेक्ष) U में स्थित सभी सम संख्याओं का समुच्चय है। B में 7 के गुणज \(\{7,14,21,28\}\) हैं। इनमें सम संख्याएँ केवल 14 और 28 हैं, इसलिए \(A'\cap B=\{14,28\}\)। विकल्प B पूरे B को दर्शाता है, जबकि विकल्प C विषम गुणजों को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले B के सदस्य लिखें और फिर A' की शर्त लागू करें। / The complement A' (with respect to U) contains all even numbers in U. The multiples of 7 in U are \(\{7,14,21,28\}\). Of these, only 14 and 28 are even, so \(A'\cap B=\{14,28\}\). Option B is the entire set B, whereas option C contains only the odd multiples of 7. Exam tip: list the elements of B first and then retain only those satisfying the complement condition.
(22) तक विषम संख्याएं (11) हैं। उनमें अभाज्य विषम (3,5,7,11,13,17,19) हटेंगे, इसलिए (4) विषम मिश्रित या (1) बचते हैं। / There are (11) odd numbers up to (22). Removing odd primes (3,5,7,11,13,17,19) leaves (4) odd non-prime numbers including (1).
(A') में (7) विषम सदस्य और (A) में (7) सम सदस्य हैं। इसलिए (n\(A'\times A\)=7\times 7=49) है। / (A') has (7) odd elements and (A) has (7) even elements. Hence (n\(A'\times A\)=7\times 7=49).
((x-1)(x+2)\ge 0) का हल \(x\le -2\) या \(x\ge 1\) है। इसलिए बीच के पूर्णांक (-1,0) पूरक में आते हैं। / The solution of ((x-1)(x+2)\ge 0) is \(x\le -2\) or \(x\ge 1\). Thus the middle integers (-1,0) are in the complement.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\)। इसलिए सही उत्तर 134 है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय उनके प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। विकल्प 165 में प्रतिच्छेद 31 नहीं घटाया गया है। / By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\). Therefore, using the inclusion–exclusion formula, \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\). Hence, the correct answer is 134. Exam tip: while finding the cardinality of the union of two sets, subtract their intersection once. Option 165 results from adding the two cardinalities without this subtraction.
U के सापेक्ष A का पूरक A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} है। इसलिए A′ ∩ B = {4, 5}। अब U के सापेक्ष {4, 5} का पूरक लेने पर {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10} प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल A′ ∩ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: nested complement वाले प्रश्नों में पहले अंदर के समुच्चय का मान निकालें और अंत में पूरक लें। / The complement of A with respect to U is A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Thus, A′ ∩ B = {4, 5}. Taking its complement in U gives {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}, so option A is correct. Option B is only A′ ∩ B, not its complement. Exam tip: in nested-complement questions, evaluate the inner expression first and take the final complement at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय (U=mathbb{R}) के सापेक्ष (A=[1,infty)) का पूरक (A'=(-infty,1)) है, क्योंकि 1 इसमें शामिल है। इसी प्रकार, (B=(-infty,4)) का पूरक (B'=[4,infty)) है, क्योंकि 4, (B) में शामिल नहीं है। अतः \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty)। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय खुले सिरे बंद और बंद सिरे खुले हो जाते हैं। / With respect to the universal set (U=mathbb{R}), the complement of (A=[1,infty)) is (A'=(-infty,1)), since 1 is included in (A). The complement of (B=(-infty,4)) is (B'=[4,infty)), since 4 is not included in (B). Therefore, \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty). Exam tip: when taking a complement, open endpoints become closed and closed endpoints become open.
(9) से विभाज्य संख्याएं (9,18,27,36,45,54,63,72,81) हैं। इनमें वर्ग (9,36,81) हटेंगे, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य बचते हैं। / Numbers divisible by (9) are (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Removing squares (9,36,81) leaves (6) members.
(3) अभाज्य है, इसलिए वह (A') में नहीं होगा। बाकी (3) के गुणज (6,9,12,15,18) पूरक में हैं। / (3) is prime, so it is not in (A'). The remaining multiples (6,9,12,15,18) are in the complement.
समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 पूर्णांक हैं। \(A\) के सदस्य \(1,5,9,13,17,21,25,29\) हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\)। विकल्प 8 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains the 30 integers from 1 through 30. The elements of \(A\) are \(1,5,9,13,17,21,25,29\), so \(n(A)=8\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) relative to \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\). The value 8 counts the elements of \(A\), not its complement. Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A'\cup A=U\)। इसलिए दिए गए व्यंजक का मान \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\) होगा। विकल्प \(U\) उस स्थिति में मिलता है जब \(\varnothing\) का पूरक लिया जाए, न कि यहाँ। परीक्षा में याद रखें: \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\)। / The union of a set and its complement is the universal set: \(A'\cup A=U\). Hence, \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\). The option \(U\) would be the result of taking the complement of the empty set, not of this expression. Exam tip: remember the complementary identities \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
(A) में (4) के गुणज हैं और (B) में (8) के गुणज हैं। \(B'\cap A\) में (4) के वे गुणज आएंगे जो (8) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (4), and (B) contains multiples of (8). \(B'\cap A\) contains multiples of (4) that are not multiples of (8).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं, पर (-2) और (5) नहीं हैं। इसलिए पूरक केवल ({-2,5}) है। / (A) contains all real numbers except (-2) and (5). Therefore the complement is only ({-2,5}).
(27) तक सम संख्याएं (13) हैं। इनमें (6,12,18,24) (3) से भी विभाज्य हैं, इसलिए (13-4=9) बचते हैं। / There are (13) even numbers up to (27). Among them (6,12,18,24) are also divisible by (3), so (13-4=9) remain.
\(यदि सार्वत्रिक समुच्चय �(U=\{1,2,\ldots,12\})� है, �(A=\{x\in U\mid x\) सम है\(\})� और �(B=\{x\in U\mid x>8\})� है, तो �((A'\cup B')')� क्या होगा\)?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A'\cup B')'=A\cap B\)। अतः ऐसे सदस्य लेने हैं जो A में भी हों और B में भी—अर्थात् U के सम सदस्य जो 8 से बड़े हैं। ये केवल 10 और 12 हैं, इसलिए सही उत्तर \(\{10,12\}\) है। विकल्प B में 9 और 11 जैसे विषम सदस्य भी शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: \((A'\cup B')'=A\cap B\) और \((A'\cap B')'=A\cup B\) को अलग-अलग याद रखें। / By De Morgan’s law, \((A'\cup B')'=A\cap B\). Therefore, we need the elements that belong to both A and B: the even elements of U that are greater than 8. These are 10 and 12, so the correct answer is \(\{10,12\}\). Option B is incorrect because it also includes the odd elements 9 and 11. Exam tip: remember that \((A'\cup B')'=A\cap B\), whereas \((A'\cap B')'=A\cup B\).
