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घात समुच्चय में मूल समुच्चय के सभी उपसमुच्चय आते हैं। / The power set contains all subsets of the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({a,c}) में (c) है, जो (A) में नहीं है। इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / ({a,c}) contains (c), which is not in (A). So it is not a subset of (A).
Step 3
Exam Tip
घात समुच्चय के प्रश्न में पहले जाँचें कि दिया गया समुच्चय वास्तव में उपसमुच्चय है या नहीं। / In power set questions, first check whether the given set is truly a subset.
\(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में (-2) शामिल है और आगे की संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए (A) में बचा भाग ((-4,-2)) है। / Since (B) includes (-2) and the numbers after it, the remaining part of (A) is ((-4,-2)).
Step 3
Exam Tip
अंतर समुच्चय में हटाए गए भाग के छोरों पर विशेष ध्यान दें। / In set difference, pay close attention to the endpoints of the removed part.
B. (3) शामिल नहीं है और (9) शामिल है/(3) is not included and (9) is included
Step 1
Concept
गोल कोष्ठक वाला छोर शामिल नहीं होता। / A round bracket means the endpoint is not included.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग कोष्ठक वाला छोर शामिल होता है, इसलिए ((3,9]) में (3) नहीं और (9) शामिल है। / A square bracket means the endpoint is included, so (3) is out and (9) is in.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित अंतरालों में दोनों छोर अलग-अलग जाँचें। / In mixed intervals, check both endpoints separately.
संघ में दोनों अंतराल शामिल होंगे। / The union includes both intervals.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((3,4)) के बीच खाली भाग है, इसलिए इन्हें एक ही अंतराल नहीं बना सकते। / There is a gap between ((1,2)) and ((3,4)), so they cannot be merged into one interval.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग हिस्सों वाले संघ को अलग अंतरालों के संघ के रूप में लिखें। / For separated parts, write the union as separate intervals.
A. रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है/The empty set is a subset of every set
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। / The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिल सकता जो दूसरे समुच्चय में न हो। इसी कारण \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। / So there is no element that can fail to belong to another set. Hence \(\emptyset\) is a subset of every set.
Step 3
Exam Tip
\(\emptyset\) और ({0}) में अंतर याद रखें। / Remember that \(\emptyset\) and ({0}) are different.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है (A) का हर अवयव (B) में है। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(B\subseteq A\) का अर्थ है (B) का हर अवयव (A) में है। इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। / \(B\subseteq A\) means every element of (B) is in (A). Therefore the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय सिद्ध करने के लिए दोनों दिशाओं का उपसमुच्चय संबंध दिखाएँ। / To prove equality of sets, prove subset relation in both directions.
\(x\geq 3\) में (3) शामिल है। / In \(x\geq 3\), (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
(3) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए \([3,\infty\))। / All real numbers greater than (3) are included, so the interval is \([3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है। / Always use a round bracket with \(\infty\).
(A) में (4) तक की संख्याएँ हैं और (4) शामिल है। / (A) contains numbers up to (4), including (4).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में (1) से बड़ी संख्याएँ हैं, पर (1) शामिल नहीं है। साझा भाग ((1,4]) है। / (B) contains numbers greater than (1), excluding (1). The common part is ((1,4]).
Step 3
Exam Tip
अनंत वाले अंतरालों में भी साझा सीमा ध्यान से तय करें। / Even with infinite intervals, decide endpoint inclusion carefully.
प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों में आती हैं। / Natural numbers are included in integers.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक परिमेय संख्याओं में और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं में आती हैं। / Integers are included in rational numbers, and rational numbers are included in real numbers.
Step 3
Exam Tip
संख्या-समुच्चयों की श्रेणी \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\) याद रखें। / Remember the chain \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\).
उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) (A) के अंदर है और (A) से छोटा है। / ({1,2,3}) lies inside (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
पूरा समुच्चय उचित उपसमुच्चय नहीं माना जाता। / The set itself is not counted as a proper subset.
दोनों अंतराल (2) पर जुड़े हैं और (2) दोनों में शामिल है। / The two intervals join at (2), and (2) is included in both.
Step 2
Why this answer is correct
मिलकर वे (0) से (4) तक की सभी संख्याएँ देते हैं, पर (0) और (4) शामिल नहीं हैं। / Together they contain all numbers from (0) to (4), excluding (0) and (4).
Step 3
Exam Tip
जुड़े हुए अंतरालों का संघ एक सरल अंतराल बन सकता है। / Connected intervals can often be written as one simple interval.
समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में हमेशा अवयवों को मिलाकर जांचें। / Order does not matter in a set so both have the same elements. In exams always compare the elements.
दी गई सीमा में पूर्णांक (-1,0,1,2) ही हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षा में पहले वर्णन रूप को सूची रूप में बदलें। / The integers in the given range are exactly (-1,0,1,2) so both sets are equal. In exams first convert set-builder form to roster form.
समुच्चय में दोहराए गए अवयव एक ही बार गिने जाते हैं। परीक्षा में पुनरावृत्ति को नजरअंदाज करें। / Repeated elements in a set are counted only once. In exams ignore repetition in set notation.
(a) और (b) को निश्चित रखने पर बाकी (3) अवयव स्वतंत्र चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है और ऐसे प्रश्नों में निश्चित अवयव अलग कर दें। / After fixing (a) and (b), the remaining (3) elements can be chosen freely. So the number is \(2^3=8\) and fixed elements should be separated in such questions.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। / The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिलता जो (A) में न हो, अतः \(\varnothing \subseteq A\) माना जाता है। / So there is no element that can fail to belong to (A), hence \(\varnothing \subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम उपसमुच्चय के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / This rule is very useful in subset questions.
दोनों समुच्चयों में अवयव (2,4,6) ही हैं। रोस्टर और वर्णन रूप को पहले समान रूप में बदलें। / Both sets contain only (2,4,6). First convert roster and description forms to the same form.
किसी समुच्चय का हर अवयव उसी समुच्चय में अवश्य होता है। / Every element of a set is certainly in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) अपने ही भीतर पूरी तरह शामिल है और \(A \subseteq A\) सही है। / Therefore (A) is completely contained in itself and \(A \subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसे याद रखें। / Remember that every set is a subset of itself.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में अतिरिक्त (7) है। उपसमुच्चय जांचते समय हर अवयव देखें। / Every element of (A) is in (B) and (B) has extra (7). Check every element when testing subset.
({0}) रिक्त नहीं है क्योंकि इसमें (0) अवयव है। रिक्त समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय में अंतर रखें। / ({0}) is not empty because it contains (0) as an element. Keep the empty set and the set containing zero separate.
किसी समुच्चय में यदि n अवयव हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है (यहां प्रत्येक अवयव को शामिल या न־शामिल करने के 2 विकल्प होते हैं)। यहाँ n = 2 इसलिए \\(2^2 = 4\\)। उपसमुच्चय हैं: \\(\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\\)। निकटभ्रामक विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वह किसी एक संभावित उपसमुच्चय को छोड़ देता है — खाली सेट और पूरा सेट दोनों गिने जाने चाहिए। परीक्षा-टिप: हमेशा खाली समुच्चय (\(\varnothing\\)) और पूरा समुच्चय दोनों को गिनें। / A set with n elements has \\(2^n\\) subsets because each element is either included or excluded. For A, n = 2 so \\(2^2 = 4\\). The subsets are \\(\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\\). The closest distractor B (3) is wrong because it omits one valid subset — remember to count the empty set and the set itself. Exam tip: list small sets' subsets explicitly to avoid missing the empty or whole set.
उपसमुच्चय की परिभाषा: सेट \(B\) तब ही \(A\) का उपसमुच्चय होता है जब \(B\) का हर तत्त्व \(A\) में भी मौजूद हो। \(\{p,s\}\) में तत्त्व \(s\) है जो \(A\) में नहीं है, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। निकटभ्रष्ट विकल्प \(\{p,q\}\) सही है क्योंकि दोनों तत्त्व \(p\) और \(q\) \(A\) में हैं; और रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) हर सेट का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा टिप: किसी विकल्प को उपसमुच्चय मानने से पहले उसके प्रत्येक तत्त्व को मूल सेट में खोजें। / Definition: B is a subset of A only if every element of B is also an element of A. The set \(\{p,s\}\) contains \(s\), which is not in \(A\), so it is not a subset. A close distractor, \(\{p,q\}\), is a subset because both p and q are in A; the empty set \(\varnothing\) is a subset of every set. Exam tip: Verify membership of each element of the proposed subset in the given set before answering.
किसी समुच्चय X के लिए X ⊆ A तभी होता है जब X का हर अवयव A में हो। {1,2} के दोनों अवयव 1 और 2 A में हैं, इसलिए {1,2} ⊆ A सत्य है। {3} का अवयव 3 भी A में है, अतः {3} ⊆ A सत्य है। शून्य समुच्चय ∅ हर समुच्च्य का भाग होता है, इसलिए ∅ ⊆ A हमेशा सत्य है। परंतु 4, A = {1,2,3} का अवयव नहीं है, इसलिए {4} ⊆ A गलत है। परीक्षा‑सूत्र: किसी सेट के सबसेट की जाँच करते समय पहले उसके अवयवों की उपस्थिति जांच लें और शून्य सेट को हमेशा सबसेट मानें। / For X ⊆ A to be true every element of X must belong to A. Both 1 and 2 are in A, so {1,2} ⊆ A is true; 3 is in A so {3} ⊆ A is true. The empty set ∅ is a subset of every set, so ∅ ⊆ A is true. But 4 is not an element of A = {1,2,3}, so {4} ⊆ A is false. Exam tip: check element membership first and remember that ∅ is always a subset.
(10) से कम धनात्मक सम संख्याएं (2,4,6,8) हैं। वर्णन को रोस्टर रूप में बदलना उपयोगी है। / The positive even numbers less than (10) are (2,4,6,8). Converting description to roster form is useful.
बायाँ सिरा गोल है, इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The left endpoint is round, so (-5) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
दायाँ सिरा वर्ग है, इसलिए (2) शामिल है और असमानता \(-5<x\le 2\) बनेगी। / The right endpoint is square, so (2) is included and the inequality is \(-5<x\le 2\).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें। / Decide equality signs by reading the brackets.
प्राकृतिक संख्याएँ इस संदर्भ में \(1,2,3,\dots\) से शुरू होती हैं। शर्त \(x<5\) पर \(A=\{1,2,3,4\}\) बनता है। चूँकि \(1,2,3,4\) के सभी सदस्य सेट \(B\) में भी हैं, इसलिए \(A\subset B\) सत्य है। यह proper subset है क्योंकि \(5\in B\) पर \(5\notin A\)। विकल्प A गलत है क्योंकि दोनों सेट बराबर नहीं हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\) में ऐसा तत्व (5) है जो \(A\) में नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों सेट खाली नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: "\(<5\)" का अर्थ 5 शामिल नहीं है — सीमाएँ ध्यान से पढ़ें। / Here natural numbers are taken as \(1,2,3,\dots\). The condition \(x<5\) yields \(A=\{1,2,3,4\}\). Every element of A is in B, so \(A\subset B\); it is a proper subset because \(5\in B\) but \(5\notin A\). Option A is incorrect since the sets are not equal; option C is incorrect because B has an element (5) not in A; option D is incorrect because neither set is empty. Exam tip: pay attention to strict inequalities — "<5" excludes 5.
दोनों तरफ से उपसमुच्चय होने का अर्थ है दोनों में समान अवयव हैं। समानता सिद्ध करने का यह मानक तरीका है। / Being subsets of each other means both have the same elements. This is the standard method to prove equality.
A. \(A\subseteq B\) पर \(A\neq B\)/\(A\subseteq B\) but \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
A के सभी तत्व (2, 3, 5) B में मौजूद हैं, इसलिए A ⊆ B सत्य है। परन्तु B में अतिरिक्त तत्व 7 भी है, इसलिए A और B बराबर नहीं हैं (A ≠ B)। इसीलिए A एक उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। विकल्प B गलत है क्योंकि बराबर होने के लिए दोनों में एक जैसे सभी तत्व होने चाहिए; यहाँ 7 केवल B में है। विकल्प C गलत है क्योंकि B में ऐसा तत्व (7) है जो A में नहीं है, अतः B ⊄ A। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 A का सदस्य नहीं है। परीक्षा टिप: यदि एक समुच्चय का हर तत्व दूसरे में है परन्तु दूसरा समुच्चय अतिरिक्त तत्व रखता है, तो पहला समुच्चय उचित उपसमुच्चय होता है और आप इसे A ⊂ B या A ⊆ B और A ≠ B से व्यक्त कर सकते हैं। / Every element of A (2, 3, 5) is contained in B, so A ⊆ B holds. However B has an extra element 7, so A ≠ B; therefore A is a proper subset of B. Option B is wrong because equality requires exactly the same elements in both sets; here 7 is only in B. Option C is incorrect because B contains 7 which is not in A, so B ⊄ A. Option D is false because 7 ∉ A. Exam tip: check whether any element of one set is missing in the other—if all of A are in B but the converse is false, A is a proper subset of B (write A ⊂ B or A ⊆ B with A ≠ B).
किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। समुच्चय \(\{1,2\}\) के लिए \(n=2\), अतः \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे: शून्य-समुच्चय \(\varnothing\), दोनों एकल-तत्व वाले उपसमुच्चय \(\{1\}\) और \(\{2\}\), तथा पूरा समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B खाली समुच्चय और पूरा समुच्चय छोड़ देता है; विकल्प C केवल शून्य और पूरा समुच्चय देता है; विकल्प D में अवैध तत्व \(3\) है जो मूल समुच्चय में नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चयों की गिनती के लिए हमेशा \(2^n\) याद रखें और \(\varnothing\) तथा मूल समुच्चय दोनों को सम्मिलित करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). For \(\{1,2\}\), \(n=2\) so there are \(2^2=4\) subsets: the empty set \(\varnothing\), the singletons \(\{1\}\) and \(\{2\}\), and the whole set \(\{1,2\}\). Option A lists all four, so it is correct. Option B omits \(\varnothing\) and \(\{1,2\}\); option C lists only the empty and whole sets; option D wrongly includes element 3 which is not in the original set. Exam tip: use \(2^n\) to check how many subsets you must list and always include \(\varnothing\) and the set itself.
({3}) पूरा एक अवयव है जबकि (3) अलग से अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / ({3}) is one whole element while (3) is not separately listed. Keep element and subset different.
(1) और ({3}) दोनों (A) के अवयव हैं। (3) स्वयं (A) में नहीं है इसलिए उससे बने विकल्प गलत हो सकते हैं। / Both (1) and ({3}) are elements of (A). Since (3) itself is not in (A), options using it may be false.
किसी समुच्चय के उपसमुच्च्यों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। रिक्त समुच्चय में तत्वों की संख्या \(0\) है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^0=1\)। इसलिए रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय होता है—ख़ुद रिक्त समुच्चय। विकल्प C (2) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(2\) तब मिलता है जब समुच्चय में एक तत्व हो (\(2^1=2\))। विकल्प A (0) और D (अनंत) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या शून्य नहीं हो सकती और रिक्त समुच्चय के लिए अनंत भी नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की गिनती के लिए सीधे सूत्र \(2^n\) याद रखें और \(n\) के स्थान पर समुच्चय के तत्वों की संख्या रखें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). For the empty set \(A\), we have \(n=0\), so the count is \(2^0=1\). Thus the empty set has exactly one subset — itself. Option C (2) is a common mistake: \(2\) would be correct only if the set had one element (\(2^1=2\)). Option A (0) and D (Infinite) are incorrect because a set always has at least one subset (the empty set) and the empty set does not have infinitely many subsets. Exam tip: Apply the formula \(2^n\) each time; first find the number of elements \(n\), then compute \(2^n\).
समाधान: समीकरण x-2 = 4 के वास्तविक हल x = 2 और x = −2 हैं, अतः A = {−2, 2}। दिया हुआ B भी {-2, 2} है, इसलिए A और B के सदस्य एकदम समान हैं और A = B सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B (A ⊂ B, A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि A का कोई अतिरिक्त तत्व B में नहीं है — यह एक proper subset नहीं बल्कि समान समूह है। विकल्प D \(A = \{2\}\) गलत है क्योंकि इसमें −2 गायब है। परीक्षा-सुझाव: समीकऱणों में द्विघात (even power) होने पर दोनों ± चिह्नों के हल लेना न भूलें। / Explanation: The real solutions of x-2 = 4 are x = 2 and x = −2, so A = {−2, 2}. Since B is exactly {-2, 2}, the two sets are equal and A = B is correct. The closest distractor (A ⊂ B, A ≠ B) is wrong because there is no extra element in B — the sets coincide, not a proper subset. Option D is incorrect because it omits −2. Exam tip: For even powers check both + and − roots when solving equations like x-2 = a.
शब्द के अलग अलग अक्षर समुच्चय के अवयव बनते हैं। पूरा शब्द और अक्षरों का समुच्चय अलग होते हैं। / The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
A. क्योंकि (B) का हर अवयव (A) में है/Because every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय में छोटे समुच्चय का हर अवयव बड़े समुच्चय में होना चाहिए। दिशा बदलने से कथन बदल जाता है। / For a subset, every element of the smaller set must lie in the larger set. Reversing the direction changes the statement.
A. \(1\in A\) और \(\{1\}\subseteq A\)/\(1\in A\) and \(\{1\}\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है क्योंकि 1 एक अवयव है — इसे लिखते हैं \(1\in A\)। वहीँ \(\{1\}\) एक समुच्चय (singleton) है और वह A का उपसमुच्चय है, इसलिए \(\{1\}\subseteq A\)। विकल्प B में प्रतीकों का उल्टा उपयोग है: \(1\subseteq A\) गलत है क्योंकि 1 एक संख्या (तत्त्व) है, समुच्चय नहीं; और \(\{1\}\in A\) भी गलत है क्योंकि \(\{1\}\) A का अवयव नहीं बल्कि उपसमुच्चय है। C गलत है क्योंकि \(\{1\}\neq A\) (A में 2 और 3 भी हैं)। D गलत है क्योंकि 4 A में नहीं है, अतः \(\{1,4\}\) A का उपसमुच्चय नहीं बन सकता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा \(\in\) (element of) और \(\subseteq\) (subset of) में फर्क पहचानें — एकल संख्या और singleton set अलग चीजें हैं। / Option A is correct because 1 is an element of A, written \(1\in A\), and \(\{1\}\) (the singleton set containing 1) is a subset of A, so \(\{1\}\subseteq A\). Option B incorrectly swaps the relations: \(1\subseteq A\) is meaningless here since 1 is not a set, and \(\{1\}\in A\) is false because the singleton is not an element of A. Option C is false because \(\{1\}\neq A\) (A also contains 2 and 3). Option D is false because 4 is not in A, so \(\{1,4\}\) cannot be a subset of A. Exam tip: clearly distinguish between an element (\(\in\)) and a subset (\(\subseteq\)); treat singletons as sets, not as plain numbers.
({1,2}) (A) के बराबर है पर (A) का अवयव नहीं है। पूरे समुच्चय को अवयव मानना सामान्य गलती है। / ({1,2}) is equal to (A) but is not an element of (A). Treating the whole set as an element is a common mistake.
(12) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। भाजक वाले प्रश्नों में कोई भाजक छूटना नहीं चाहिए। / The positive divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12). In divisor questions no divisor should be missed.
सबसे पहले \(B\) के तत्व लिखें। 8 के धनात्मक भाजक हैं \(1,2,4,8\), अतः \(B=\{1,2,4,8\}\)। सेट \(A=\{2,4,8\}\) के सभी तत्व \(B\) में मौजूद हैं पर \(B\) में एक अतिरिक्त तत्व \(1\) है जो \(A\) में नहीं है। इसलिए \(A\) और \(B\) बराबर नहीं हैं, बल्कि \(A\) \(B\) का उचित उपसमुच्चय (proper subset) है, यानी \(A\subset B\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि दोनों में तत्व समान नहीं हैं; विकल्प \(A\cap B=\varnothing\) भी गलत है क्योंकि उनका योगिक(intersection) \(\{2,4,8\}\) है। परीक्षा टिप: किसी मानदांक (number) के भाजक लिखकर तुलना करें — समता के लिए दोनों सेटों के सभी तत्व समान होने चाहिए। / List the elements of \(B\). The positive divisors of 8 are \(1,2,4,8\), so \(B=\{1,2,4,8\}\). All elements of \(A=\{2,4,8\}\) are in \(B\), but \(B\) has an extra element \(1\) not in \(A\). Thus \(A\) is a proper subset of \(B\), i.e. \(A\subset B\). The closest distractor \(A=B\) is incorrect because the sets do not have identical elements; \(A\cap B=\varnothing\) is also wrong since their intersection is \(\{2,4,8\}\). Exam tip: to check subset/equality, explicitly list elements (divisors) and compare — equality requires every element to match both ways.
A. हाँ क्योंकि दोनों में समान अभाज्य संख्याएं हैं/Yes because both have the same prime numbers
Explanation
Simple Explanation
(20) से कम अभाज्य संख्याएं सूची में दी गई सभी संख्याएं हैं। याद रखें (1) अभाज्य संख्या नहीं है। / The primes less than (20) are exactly the listed numbers. Remember that (1) is not a prime number.
अवयव 1 को अवश्य शामिल मानें। बाकी बचे हुए 3 अवयव (2,3,4) में से प्रत्येक को या तो शामिल किया जा सकता है या छोड़ा जा सकता है, यानी प्रत्येक के लिए 2 चुनाव। इसलिए कुल उपसमुच्चय = \(2^3=8\)। सबसे करीबी भ्रमित करने वाला विकल्प 16 है, जो कि पूरे सेट के सभी उपसमुच्चयों की संख्या है (\(2^4\)) न कि केवल उन उपसमुच्चयों की जिनमें 1 हो। परीक्षा-टिप: सामान्य नियम — किसी n-अवयवीय सेट में किसी दिए गए अवयव के शामिल होने वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Fix element 1 to be included. For the remaining 3 elements (2,3,4) each can be either present or absent, giving 2 choices each, so total subsets = \(2^3=8\). The option 16 is the total number of all subsets of A (\(2^4\)), not those that must contain 1. Exam tip: for an n-element set, the number of subsets containing a specified element is \(2^{n-1}\).
यदि उपसमुच्चयों में a नहीं होना चाहिए तो हम केवल शेष तत्वों {b, c, d} में से उपसमुच्चय चुनेंगे। n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या 2^n होती है, अतः यहाँ कुल संख्या
यहाँ n = 3 इसलिए कुल उपसमुच्चय = \(2^3 = 8\)। विकल्प D (16) गलत है क्योंकि वह A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या (\(2^4\)) है, जिसमें a शामिल होने वाले उपसमुच्चय भी आते हैं। परीक्षा सुझाव: किसी तत्व के अनुपस्थिति की स्थिति में बाकी तत्वों की शक्ति-संख्या याद रखें — हर बचे हुए तत्व के लिए दो विकल्प (शामिल/अशामिल)। / If subsets must not contain a, we form subsets from the remaining elements {b, c, d}. The number of subsets of n elements is 2^n, so here n = 3 and the count is \(2^3 = 8\). Option D (16) is incorrect because that counts all subsets of A (\(2^4\)), including those that contain a. Exam tip: when a specific element must be excluded, count subsets of the remaining elements using \(2^n\).
दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) होती है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose two elements is \(\binom{5}{2}=10\). Order is not counted in subsets.
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,2}) इसका उचित उपसमुच्चय है। उचित उपसमुच्चय पूरे समुच्चय के बराबर नहीं होता। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,2}) is its proper subset. A proper subset is not equal to the whole set.
\(P(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय (subsets) तत्व के रूप में होते हैं। यहाँ \(P(A)=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}\)। इसलिए \(\{0\}\) \(P(A)\) का तत्व है। विकल्प (B), (C) और (D) में संख्या \(2\) शामिल है जो \(A\) का सदस्य नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं और \(P(A)\) के तत्व नहीं बनते। परीक्षा-सूत्र: पावर‑सेट के तत्व हमेशा मूल सेट के उपसमुच्चय ही होते हैं — पहले उपसमुच्चय होने की जांच करें। / \(P(A)\) consists of all subsets of \(A\). For \(A=\{0,1\}\), \(P(A)=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}\). Thus \(\{0\}\) is an element of \(P(A)\). Options (B), (C) and (D) involve the element \(2\), which is not in \(A\), so those sets/numbers are not subsets of \(A\) and therefore are not in \(P(A)\). Exam tip: remember that elements of a power set are subsets of the original set, not arbitrary numbers or sets containing outside elements.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय होते हैं इसलिए संख्या \(2^3=8\) है। (P(A)) की संख्या उपसमुच्चयों की कुल संख्या होती है। / The power set contains all subsets so the number is \(2^3=8\). The size of (P(A)) equals the total number of subsets.
A में वे सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 6 से छोटी हैं; ये तत्व हैं 1, 3 और 5। B भी \{1,3,5\} है। इसलिए दोनों सेट के तत्व समान हैं और \(A = B\) सत्य है. विकल्प (B) \(A \subset B\) तभी गलत माना जाता है अगर \(\subset\) को 'proper subset' (सख्त उपसमुह) के रूप में लिया जाए — यहाँ वह सत्य नहीं है क्योंकि A और B बराबर हैं। विकल्प (C) भी उसी कारण से गलत है और (D) स्पष्ट रूप से गलत है क्योंकि सेटों के बीच समानताएँ हैं। परीक्षा सुझाव: सेट के तत्व लिखकर मिलान करें; बराबरी दिखाने के लिए दोनों में मौजूद हर तत्व और उनकी संख्या जाँचें। / A consists of odd natural numbers less than 6, i.e. {1, 3, 5}. B is {1, 3, 5} as well. Hence the two sets have identical elements and \(A = B\) is true. Option (B) \(A \subset B\) would only be incorrect here if \(\subset\) is intended as a proper subset symbol — in that reading it is false because A and B are equal. Option (C) is false for the same reason; (D) is clearly wrong since the sets are related (identical). Exam tip: List elements explicitly and compare; equality of sets means exactly the same elements, order and repetition don't matter.
दो सेट तब बराबर होते हैं जब उनके सभी तत्व समान हों। शर्त \(x\) सम प्राकृतिक संख्या और \(x<10\) होने पर उपलब्ध तत्व हैं \(2,4,6,8\)। अतः \(B=\{2,4,6,8\}=A\), इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे सही‑subset (proper subset) का दावा करते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं, न कि एक दूसरे का proper subset; विकल्प D गलत है क्योंकि \(10<10\) सत्य नहीं है इसलिए 10 सेट \(A\) का सदस्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: सेट‑बिल्डर का अर्थ निकालकर पहले तत्वों की सूची बनाइए और "<" व "\le" का ध्यान रखिए। / Two sets are equal when they contain exactly the same elements. The even natural numbers satisfying \(x<10\) are \(2,4,6,8\), so \(B=\{2,4,6,8\}=A\). Therefore \(A=B\) is correct. Options B and C are incorrect because they assert a proper subset relation even though the sets have identical elements; option D is false because 10 does not satisfy \(x<10\). Exam tip: convert set‑builder notation to an explicit list of elements to compare sets, and watch the difference between "<" and "\le".
A. जब उनके सभी अवयव समान हों/When all their elements are the same
Explanation
Simple Explanation
समान समुच्चय में प्रत्येक अवयव दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। केवल नाम या क्रम से समानता तय नहीं होती। / Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें। / A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
D. इनमें से कोई भी उपसमुच्चय संबंध सत्य नहीं/None of these subset relations is true
Explanation
Simple Explanation
(A) में (1,2) हैं जो (B) में नहीं और (B) में (5) है जो (A) में नहीं। साझा अवयव होना उपसमुच्चय होने के लिए काफी नहीं है। / (A) has (1,2) not in (B) and (B) has (5) not in (A). Having common elements is not enough for a subset relation.
A के 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती उस तरीके पर निर्भर करती है जिससे हम 7 तत्वों में से 6 चुनते हैं। यह संयोजन की संख्या है: \(\binom{7}{6}=7\)। सीधे विचार करने का आसान तरीका यह है कि 6-तत्त्व वाला उपसमुच्चय बनाने के लिए आप 7 में से किसी एक तत्व को बाहर छोड़ते हैं — इसलिए 7 विकल्प। विकल्प (D) 21 उस गलती से आता है जहाँ कोई \(\binom{7}{2}\) या \(\binom{7}{5}\) समझ लेता है (2-तत्त्व या 5-तत्त्व उपसमुच्चयों की संख्या) — इसलिए वह गलत है. परखा जाने योग्य टिप: कभी-कभी बाहर रखने वाले तत्वों की गिनती निकालना तेज़ होता है; याद रखें \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / Count how many ways to choose 6 elements from 7: this is a combination \(\binom{7}{6}=7\). Equivalently, each 6-element subset is determined by which single element is omitted, so there are 7 choices. Option D (21) is incorrect — 21 equals \(\binom{7}{2}=\binom{7}{5}\), the number of 2- or 5-element subsets, not 6-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) or count the elements you omit when k is close to n to simplify calculations.
