संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in{0,3,8},\ y\in{-3,-2,-1,1,2,3}\}\) को \(X=\{0,3,8\}\) से \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (0) की दो छवियां हैं/It is not a function because (0) has two images
Step 1
Concept
At (x=0), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input reject a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (0) की दो छवियां हैं / It is not a function because (0) has two images. At (x=0), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input reject a function.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन को अस्वीकार करती हैं।
The expression \(ax^2+4\) stays non-negative for all \(x\in\mathbb{R}\) only when \(a\ge0\). In square-root functions the radicand must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\ a\ge0\). The expression \(ax^2+4\) stays non-negative for all \(x\in\mathbb{R}\) only when \(a\ge0\). In square-root functions the radicand must be non-negative.
Step 3
Exam Tip
\(ax^2+4\) सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए अऋण तभी रहता है जब \(a\ge0\) हो। मूल वाले फलन में भीतर की राशि अऋण चाहिए।
B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है/It is a function because (n(n+1)) is always even
Step 1
Concept
Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है / It is a function because (n(n+1)) is always even. Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
लगातार दो पूर्णांकों (n) और (n+1) में से एक सम होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\) है।
A. यह फलन है और परिसर ({1,2,3,6}) है/It is a function and range is ({1,2,3,6})
Step 1
Concept
For each (x), \(y=\frac{6}{x}\) is unique and lies in the given set. In finite sets check the image of every input separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({1,2,3,6}) है / It is a function and range is ({1,2,3,6}). For each (x), \(y=\frac{6}{x}\) is unique and lies in the given set. In finite sets check the image of every input separately.
Step 3
Exam Tip
हर (x) के लिए \(y=\frac{6}{x}\) अद्वितीय है और दिए गए समुच्चय में है। सीमित समुच्चय में प्रत्येक इनपुट की छवि अलग से जांचें।
On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=2) removes the value (4). Check how a removed point affects the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\mathbb{R}-{4}\). On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=2) removes the value (4). Check how a removed point affects the range.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=2) हटने से मान (4) नहीं मिलता। हटे हुए बिंदु का प्रभाव परिसर पर देखें।
In option (C), (3) has two images (a) and (c). A function requires both existence and uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({(1,b),(2,c),(3,a),(4,b),(3,c)}). In option (C), (3) has two images (a) and (c). A function requires both existence and uniqueness.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (C) में (3) की दो छवियां (a) और (c) हैं। फलन के लिए पूर्णता के साथ अद्वितीयता भी जरूरी है।
From an empty domain to an empty codomain, there is one empty function. Remember this as the function-context meaning of \(0^0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1). From an empty domain to an empty codomain, there is one empty function. Remember this as the function-context meaning of \(0^0=1\).
Step 3
Exam Tip
रिक्त प्रांत से रिक्त सहप्रांत में भी एक खाली फलन होता है। इसे सूत्र \(0^0=1\) की फलन-संदर्भ व्याख्या से याद रखें।
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\)/For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\)
Step 1
Concept
A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\) / For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\). A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
Step 3
Exam Tip
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्येक इनपुट की ठीक एक छवि होती है। सहप्रांत के हर अवयव का उपयोग होना जरूरी नहीं है।
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Step 1
Concept
At (x=0), both (y=1) and (y=-1) are possible. Circle-like relations often break uniqueness in function tests.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं / Because (x=0) has two images. At (x=0), both (y=1) and (y=-1) are possible. Circle-like relations often break uniqueness in function tests.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर (y=1) और (y=-1) दोनों संभव हैं। वृत्त जैसे संबंध अक्सर फलन-परीक्षा में अद्वितीयता तोड़ते हैं।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+1}) से परिभाषित करना हो तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Step 1
Concept
This function pairs values uniquely and the same rule reverses them. Hence the inverse relation is also a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\) / \(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\). This function pairs values uniquely and the same rule reverses them. Hence the inverse relation is also a function.
Step 3
Exam Tip
यह फलन प्रत्येक मान को अद्वितीय रूप से बदलता है और फिर वही नियम वापस देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी फलन है।
For every \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2+n+1\) is a natural number. The other rules do not give natural values for all natural (n).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (f(n)=n-2+n+1). For every \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2+n+1\) is a natural number. The other rules do not give natural values for all natural (n).
Step 3
Exam Tip
हर \(n\in\mathbb{N}\) के लिए \(n^2+n+1\) प्राकृतिक संख्या है। अन्य नियम सभी प्राकृतिक (n) पर प्राकृतिक मान नहीं देते।
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (1) और (3) हैं/Because (x=1) has images (1) and (3)
Step 1
Concept
For (x=1), both (y=1) and (y=3) make the sum even. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=1) की छवियां (1) और (3) हैं / Because (x=1) has images (1) and (3). For (x=1), both (y=1) and (y=3) make the sum even. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=1) पर (y=1) और (y=3) दोनों से योग सम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते।
On the given domain (f(x)=x-1), and removing (x=-1) removes the value (-2). After simplification remove the output of the excluded input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-2). On the given domain (f(x)=x-1), and removing (x=-1) removes the value (-2). After simplification remove the output of the excluded input.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x-1) है और (x=-1) हटने से मान (-2) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट का आउटपुट हटाएं।
A. जब हर प्रथम घटक (1,2,3) ठीक एक बार आए/When each first component (1,2,3) appears exactly once
Step 1
Concept
With exactly (3) pairs, a function needs one image for each of the three elements of (A). Repetition of second components is allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब हर प्रथम घटक (1,2,3) ठीक एक बार आए / When each first component (1,2,3) appears exactly once. With exactly (3) pairs, a function needs one image for each of the three elements of (A). Repetition of second components is allowed.
Step 3
Exam Tip
ठीक (3) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के तीनों अवयवों की एक-एक छवि होनी चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव मान्य है।
The number of relations is \(2^{|A||B|}=2^8=256\), and the number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). Remember the two formulas separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (256) और (16) / (256) and (16). The number of relations is \(2^{|A||B|}=2^8=256\), and the number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). Remember the two formulas separately.
Step 3
Exam Tip
संबंधों की संख्या \(2^{|A||B|}=2^8=256\) और फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) है। दोनों सूत्र अलग याद रखें।
At the given inputs the values are \(0,2,\frac{3}{2}\). For a finite domain, direct substitution is the fastest method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({0,2,\frac{3}{2}}\). At the given inputs the values are \(0,2,\frac{3}{2}\). For a finite domain, direct substitution is the fastest method.
Step 3
Exam Tip
दिए गए इनपुटों पर मान \(0,2,\frac{3}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में प्रत्यक्ष मान निकालना सबसे तेज तरीका है।
A. यह फलन है और (f(1)=1)/It is a function and (f(1)=1)
Step 1
Concept
The point (x=1) belongs only to the second part, and (f(1)=2\cdot1-1=1). Read boundary symbols carefully in piecewise functions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और (f(1)=1) / It is a function and (f(1)=1). The point (x=1) belongs only to the second part, and (f(1)=2\cdot1-1=1). Read boundary symbols carefully in piecewise functions.
Step 3
Exam Tip
(x=1) केवल दूसरे भाग में आता है और (f(1)=2\cdot1-1=1) है। खंडित फलन में सीमा चिह्न सावधानी से पढ़ें।
The expression \(\sqrt{x-5}\) is real only when \(x\ge5\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (f(x)=\sqrt{x-5}). The expression \(\sqrt{x-5}\) is real only when \(x\ge5\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x-5}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge5\) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन के लिए हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए।
There are \(2^4=16\) total functions, and the opposite case (f(1)=b) and (f(2)=a) gives \(2^2=4\) functions. Hence (16-4=12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). There are \(2^4=16\) total functions, and the opposite case (f(1)=b) and (f(2)=a) gives \(2^2=4\) functions. Hence (16-4=12).
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^4=16\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(1)=b) तथा (f(2)=a) में \(2^2=4\) फलन हैं। इसलिए (16-4=12) है।
For \(0\le x\le2\), the value is (2), and it increases outside this interval. Since the minimum is (2), the range is \([2,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([2,\infty\)). For \(0\le x\le2\), the value is (2), and it increases outside this interval. Since the minimum is (2), the range is \([2,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(0\le x\le2\) पर मान (2) है और बाहर जाने पर मान बढ़ता है। न्यूनतम (2) होने से परिसर \([2,\infty\)) है।
Each given (x) has a unique real cube root in the given (Y). The cube-root relation gives a unique image here.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. फलन है / It is a function. Each given (x) has a unique real cube root in the given (Y). The cube-root relation gives a unique image here.
Step 3
Exam Tip
हर दिए गए (x) का एकमात्र वास्तविक घनमूल दिए गए (Y) में है। घनमूल संबंध यहां अद्वितीय छवि देता है।
C. यह फलन नहीं है क्योंकि \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)/It is not a function because \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)
Step 1
Concept
Here (f(4)=16-16+5=5), which is not in the codomain. For a finite domain, checking all values is necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह फलन नहीं है क्योंकि \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\) / It is not a function because \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\). Here (f(4)=16-16+5=5), which is not in the codomain. For a finite domain, checking all values is necessary.
Step 3
Exam Tip
(f(4)=16-16+5=5) है जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मान जांचना जरूरी है।
B. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Step 1
Concept
At (x=2), both (y=1) and (y=3) occur. A function must have only one output for each input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं / Because (x=2) has two images. At (x=2), both (y=1) and (y=3) occur. A function must have only one output for each input.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर (y=1) और (y=3) दोनों मिलते हैं। फलन में हर इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट होना चाहिए।
The value is \(1-\frac{1}{x^2+2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is never attained. The range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\left[\frac{1}{2},1\right\)). The value is \(1-\frac{1}{x^2+2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is never attained. The range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
Step 3
Exam Tip
मान \(1-\frac{1}{x^2+2}\) है, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है।
Option (B) is a function, but in the inverse relation (1) has images (0) and (1). Hence \(R^{-1}\) is not a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(0,1),(1,1),(2,2)}). Option (B) is a function, but in the inverse relation (1) has images (0) and (1). Hence \(R^{-1}\) is not a function.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (B) फलन है, पर उल्टे संबंध में (1) की छवियां (0) और (1) होंगी। इसलिए \(R^{-1}\) फलन नहीं है।
A. क्योंकि (x=0) पर कोई मान नहीं दिया गया/Because no value is assigned at (x=0)
Step 1
Concept
A function from all of \(\mathbb{R}\) needs a value at every real input. Here (x=0) is omitted.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=0) पर कोई मान नहीं दिया गया / Because no value is assigned at (x=0). A function from all of \(\mathbb{R}\) needs a value at every real input. Here (x=0) is omitted.
Step 3
Exam Tip
पूरे \(\mathbb{R}\) से फलन में हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए। यहां (x=0) छूट गया है।
The denominator must be non-zero, so \(|x|-2\ne0\) and \(x\ne\pm2\). In modulus denominators check both signs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}-{-2,2}\). The denominator must be non-zero, so \(|x|-2\ne0\) and \(x\ne\pm2\). In modulus denominators check both signs.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न हो, इसलिए \(|x|-2\ne0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। मापांक वाले हर में दोनों चिन्ह जांचें।
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=0) is undefined
Step 1
Concept
The domain includes (0), but \(\frac{1}{0}\) is undefined. A function needs a value at every element of its domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है / It is not a function because the value at (x=0) is undefined. The domain includes (0), but \(\frac{1}{0}\) is undefined. A function needs a value at every element of its domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत में (0) शामिल है लेकिन \(\frac{1}{0}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान चाहिए।
The minimum value of ((x-a)2+b) is (b). For range \([3,\infty\)), we need (b=3), while (a) may be any real value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((a,b)=(2,3)). The minimum value of ((x-a)2+b) is (b). For range \([3,\infty\)), we need (b=3), while (a) may be any real value.
Step 3
Exam Tip
((x-a)2+b) का न्यूनतम मान (b) होता है। परिसर \([3,\infty\)) के लिए (b=3) चाहिए और (a) कोई भी हो सकता है।
A. हर (x) के लिए (|x-2|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|x-2|) has exactly one value
Step 1
Concept
The absolute value gives a unique value for each input. Equal images for different inputs do not prevent a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर (x) के लिए (|x-2|) का ठीक एक मान है / For every (x), (|x-2|) has exactly one value. The absolute value gives a unique value for each input. Equal images for different inputs do not prevent a function.
Step 3
Exam Tip
मापांक का मान प्रत्येक इनपुट के लिए अद्वितीय होता है। अलग इनपुटों की समान छवि फलन को नहीं रोकती।
The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of ordered pairs is (|A|=3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of ordered pairs is (|A|=3).
Step 3
Exam Tip
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए ordered pairs की संख्या (|A|=3) है।
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Step 1
Concept
Here \(\sqrt{x}\) means the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है / It is a function and range is ({0,1,2,3}). Here \(\sqrt{x}\) means the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
यहां \(\sqrt{x}\) से प्रधान अऋण वर्गमूल लिया गया है, इसलिए हर (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं।
A. क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम लागू होकर अलग मान देते हैं/Because at (x=2), both rules apply and give different values
Step 1
Concept
Both pieces give the same value (3) at (x=2), so the rule is a valid function. Overlap is allowed only when the assigned values agree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम लागू होकर अलग मान देते हैं / Because at (x=2), both rules apply and give different values. Both pieces give the same value (3) at (x=2), so the rule is a valid function. Overlap is allowed only when the assigned values agree.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर पहला मान (3) और दूसरा मान (3) नहीं बल्कि \(2^2-1=3\) है, इसलिए यह वास्तव में फलन है / At (x=2), the first value is (3) and the second value is also \(2^2-1=3\), so it is actually a function
A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (3) और (4) मिलते हैं/Because at (x=2), two different values (3) and (4) occur
Step 1
Concept
The input (x=2) belongs to both parts and gives different values. Two different outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (3) और (4) मिलते हैं / Because at (x=2), two different values (3) and (4) occur. The input (x=2) belongs to both parts and gives different values. Two different outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=2) दोनों भागों में आता है और मान अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते।
