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(6x-2-7x-3=(3x+1)(2x-3)), इसलिए मूल \(-\frac{1}{3}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में दोनों रैखिक गुणनखंड अलग-अलग हल करें। / (6x-2-7x-3=(3x+1)(2x-3)), so the roots are \(-\frac{1}{3}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, solve both linear factors separately.
यहां (ac=72) और (-9+(-8)=-17), इसलिए सही विभाजन (-9x-8x) है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों जांचें। / Here (ac=72) and (-9+(-8)=-17), so the correct split is (-9x-8x). In exams, check both sum (b) and product (ac).
(12x-2-17x+6=(3x-2)(4x-3)), इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और \(\frac{3}{4}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें। / (12x-2-17x+6=(3x-2)(4x-3)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{3}{4}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k+1)2-4k-2=0) से (2k+1=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में पहले (D) लिखें। / For equal roots, (D=0), so (4(k+1)2-4k-2=0) gives (2k+1=0). In exams, write (D) first in parameter questions.
मूलों का योग (2+4=6) है और \(\frac{p+3}{2}=6\), इसलिए (p=9) है। परीक्षा में \( -\frac{b}{a}\) से मूलों का योग लें। / The sum of roots is (2+4=6), and \(\frac{p+3}{2}=6\), so (p=9). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for sum of roots.
पहले \(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\) बनता है और फिर (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First we get \(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\), then (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{3}\) और (3) हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग या गुणनखंड दोनों से जांच सकते हैं। / (3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and (3). In exams, you may verify by completing square or factoring.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (36-4m=0) से (m=9) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) याद रखें। / For real and equal roots, (D=0), so (36-4m=0) gives (m=9). In exams, remember equal roots mean (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(2,\frac{1}{2}\) और दूसरे के मूल \(2,\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The roots of the first equation are \(2,\frac{1}{2}\), and the roots of the second are \(2,\frac{2}{3}\). In exams, solve both equations separately for common root.
मूलों का योग (5) है, इसलिए दूसरा मूल (5-2=3) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग या गुणनफल का प्रयोग करें। / The sum of roots is (5), so the other root is (5-2=3). In exams, use sum or product when one root is given.
दूसरा मूल (3) है, इसलिए \(q=2\times3=6\) होगा। परीक्षा में (c) को मूलों के गुणनफल से जोड़ें। / The other root is (3), so \(q=2\times3=6\). In exams, connect (c) with product of roots.
(2x-2+3x-2=(2x-1)(x+2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-2\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (2x-2+3x-2=(2x-1)(x+2)), so \(x=\frac{1}{2},-2\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (3=\(\sqrt{3}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{3}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{3}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (3=\(\sqrt{3}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{3}x\), it is (\(x+\sqrt{3}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x+\sqrt{3}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{3}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{3}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
यह ((x-a)2-b-2=0) है, इसलिए \(x-a=\pm b\) और \(x=a\pm b\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर का प्रयोग करें। / It is ((x-a)2-b-2=0), so \(x-a=\pm b\) and \(x=a\pm b\). In exams, use the difference of squares.
पूरे समीकरण को (4) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना आसान रहता है। / Dividing the whole equation by (4) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first is easier.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-5y+4=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से कठिन रूप सरल हो सकता है। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-5y+4=0\). In exams, substitution can simplify difficult forms.
\(y^2-5y+4=0\) से (y=1,4), इसलिए \(x^2=1,4\) और \(x=\pm1,\pm2\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-5y+4=0\), (y=1,4), so \(x^2=1,4\) and \(x=\pm1,\pm2\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (2x) से गुणा करने पर \(2+2x^2=5x\), यानी \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) और (2) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), so \(x=\frac{1}{2}\) and (2). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+1)2=6x), इसलिए \(x^2+2x+1=6x\) और \(x^2-4x+1=0\) नहीं बल्कि जांच करने पर सही रूप ((x+1)2=6x) से \(x^2-4x+1=0\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा बहुत सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+1)2=6x), so \(x^2+2x+1=6x\), and the correct form is \(x^2-4x+1=0\). In exams, cross multiply very carefully.
((x+1)2=6x) से \(x^2+2x+1-6x=0\), यानी \(x^2-4x+1=0\) मिलता है। परीक्षा में गलत मध्य पद से बचें। / From ((x+1)2=6x), we get \(x^2+2x+1-6x=0\), that is \(x^2-4x+1=0\). In exams, avoid a wrong middle term.
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{3}=-5\) से (p=15) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), so \(-\frac{p}{3}=-5\) gives (p=15). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) से (p=6) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{4}\), so \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) gives (p=6). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=11\) और \(\alpha\beta=30\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61) है। परीक्षा में पहचान (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=30\), so (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61). In exams, remember the identity (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\). In exams, first write sum and product for reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग सीधे इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}). In exams, use this identity for square of difference.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (16-4n<0) और (n>4) है। परीक्षा में (D<0) को no real roots से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (16-4n<0) and (n>4). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (16-4n>0) और (n<4) है। परीक्षा में (D>0) को distinct roots से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (16-4n>0) and (n<4). In exams, connect (D>0) with distinct roots.
((2x+1)(x-2)=2x-2-3x-2), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((2x+1)(x-2)=2x-2-3x-2), so it is correct. In exams, verify the factorisation by expanding.
\(x^2+4x=-1\) में (4) जोड़ने पर ((x+2)2=3) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (4) to \(x^2+4x=-1\) gives ((x+2)2=3). In exams, add the same number to both sides.
((x+2)2=3), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+2)2=3), \(x=-2\pm\sqrt{3}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\), इसलिए मान (-16) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\), so the value is (-16). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=9\) और योग (-3r) है, इसलिए \(p=3r=3\sqrt{\frac{9}{2}}\) नहीं बल्कि \(r=\frac{3}{\sqrt{2}}\), अतः \(p=\frac{9}{\sqrt{2}}\) होता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मानकर समीकरण बनाएं। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=9\) and the sum is (-3r), so \(p=3r=\frac{9}{\sqrt{2}}\). In exams, assume the roots and form equations carefully.
\(\frac{9}{\sqrt{2}}\) को सरल करने पर \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / \(\frac{9}{\sqrt{2}}\) simplifies to \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
अंतर का वर्ग \(D/a^2=5\) है, इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) होगा। परीक्षा में मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) से मिलता है। / The square of the difference is \(D/a^2=5\), so the difference is \(\sqrt{5}\). In exams, the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\).
यहां (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ no real roots है। / Here (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी no real roots दिखता है। / (2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows no real roots.
मूल (1,5) हैं, इसलिए नए मूल (2,6) होंगे और समीकरण ((x-2)(x-6)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (1,5), so new roots are (2,6), and the equation is ((x-2)(x-6)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\), इसलिए मान \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (36-36k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (36-36k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+2)2-4k-2=0) से ((k+2)2=k-2), इसलिए (4k+4=0) और (k=-1) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+2)2-4k-2=0) gives ((k+2)2=k-2), so (4k+4=0) and (k=-1). In exams, expand squares carefully.
(m=0) रखने पर ((x-2)(x-5)=0), इसलिए (x=2) या (x=5) है। परीक्षा में शून्य गुणनफल नियम सीधे लगाएं। / Putting (m=0) gives ((x-2)(x-5)=0), so (x=2) or (x=5). In exams, apply zero product rule directly.
((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), इसलिए \(x^2-7x+10=6\) से \(x^2-7x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), so \(x^2-7x+10=6\) gives \(x^2-7x+4=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
पहले \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) मिलता है, फिर (4) जोड़ने पर ((x+2)2=\frac{7}{2}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) is obtained, then adding (4) gives ((x+2)2=\frac{7}{2}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
((x+2)2=\frac{7}{2}), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल रूप में लिखें। / Since ((x+2)2=\frac{7}{2}), \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). In exams, write the square root in simplified form.
(8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में रैखिक गुणनखंडों को अलग-अलग शून्य रखें। / (8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), so the roots are \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, set each linear factor equal to zero.
यहां (ac=60) और (10+6=16), इसलिए (16x) को (10x+6x) में तोड़ते हैं। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों जांचें। / Here (ac=60) and (10+6=16), so (16x) is split as (10x+6x). In exams, check both sum (b) and product (ac).
(15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), इसलिए मूल \(-\frac{2}{3}\) और \(-\frac{2}{5}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें। / (15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), so the roots are \(-\frac{2}{3}\) and \(-\frac{2}{5}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) से (-2k+5=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में (D) को सावधानी से फैलाएं। / For equal roots, (D=0), so (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) gives (-2k+5=0). In exams, expand (D) carefully in parameter questions.
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+2}{3}=4\), इसलिए (p=10) है। परीक्षा में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) से निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+2}{3}=4\), so (p=10). In exams, find the sum of roots using \(-\frac{b}{a}\).
पहले \(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{9}{5}=0\) बनता है, फिर (\left\(x-\frac{9}{5}\right\)2=\frac{36}{25}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-\frac{18}{5}x+\frac{9}{5}=0\) is obtained, then (\left\(x-\frac{9}{5}\right\)2=\frac{36}{25}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
(5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{3}{5}\) और (3) हैं। परीक्षा में गुणनखंड विधि से उत्तर जल्दी जांचें। / (5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), so the roots are \(\frac{3}{5}\) and (3). In exams, verify the answer quickly by factorisation.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4m=0) से (m=49) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (196-4m=0) gives (m=49). In exams, equal roots mean (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(2,\frac{4}{3}\) और दूसरे के मूल (2,1) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग-अलग हल करें। / The roots of the first equation are \(2,\frac{4}{3}\), and the roots of the second are (2,1). In exams, solve both equations separately for the common root.
मूलों का योग (9) है, इसलिए दूसरा मूल (9-4=5) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (9), so the other root is (9-4=5). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (5) है, इसलिए \(q=4\times5=20\) होगा। परीक्षा में (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है जब (a=1)। / The other root is (5), so \(q=4\times5=20\). In exams, (c) equals the product of roots when (a=1).
(3x-2+x-2=(3x-2)(x+1)), इसलिए \(x=\frac{2}{3},-1\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (3x-2+x-2=(3x-2)(x+1)), so \(x=\frac{2}{3},-1\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (5=\(\sqrt{5}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{5}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{5}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (5=\(\sqrt{5}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{5}x\), it is (\(x-\sqrt{5}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x-\sqrt{5}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{5}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{5}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{5}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
यह समीकरण ((x-m)(x-n)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (m) और (n) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी वही नियम लागू होता है। / The equation is equivalent to ((x-m)(x-n)=0), so the roots are (m) and (n). In exams, the same rule applies to symbolic factors.
यह ((x-p)2-q-2=0) है, इसलिए \(x-p=\pm q\) और \(x=p\pm q\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / It is ((x-p)2-q-2=0), so \(x-p=\pm q\) and \(x=p\pm q\). In exams, recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (9) से भाग देने पर (x-2-(r+s)x+rs=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाने से हल आसान होता है। / Dividing the whole equation by (9) gives (x-2-(r+s)x+rs=0). In exams, removing the common factor first makes solving easier.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-10y+9=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन कठिन रूप को सरल बना सकता है। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-10y+9=0\). In exams, substitution can simplify a difficult form.
\(y^2-10y+9=0\) से (y=1,9), इसलिए \(x^2=1,9\) और \(x=\pm1,\pm3\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-10y+9=0\), (y=1,9), so \(x^2=1,9\) and \(x=\pm1,\pm3\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (3x) से गुणा करने पर \(3+3x^2=10x\), यानी \(3x^2-10x+3=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (3x) gives \(3+3x^2=10x\), that is \(3x^2-10x+3=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), इसलिए \(x=\frac{1}{3}\) और (3) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so \(x=\frac{1}{3}\) and (3). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+2)2=9x), इसलिए \(x^2+4x+4-9x=0\) और \(x^2-5x+4=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+2)2=9x), so \(x^2+4x+4-9x=0\), and \(x^2-5x+4=0\). In exams, cross multiply carefully.
(x-2-5x+4=(x-1)(x-4)), इसलिए (x=1) और (x=4) हैं। परीक्षा में हर वाले निषिद्ध मानों से हलों की जांच करें। / (x-2-5x+4=(x-1)(x-4)), so (x=1) and (x=4). In exams, check solutions against excluded denominator values.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
मूलों का योग \(-\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{4}=-6\) से (p=24) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{4}\), so \(-\frac{p}{4}=-6\) gives (p=24). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{5}\) है, इसलिए \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) से (p=2) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{5}\), so \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) gives (p=2). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=13\) और \(\alpha\beta=40\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=132-2(40)=89) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=13\) and \(\alpha\beta=40\), so (\alpha-2+\beta-2=132-2(40)=89). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{3}=\frac{11}{3}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{3}=\frac{11}{3}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}). In exams, use this identity for the square of difference.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (64-4n<0) और (n>16) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (64-4n<0) and (n>16). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (64-4n>0) और (n<16) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (64-4n>0) and (n<16). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((3x+1)(x-2)=3x-2-5x-2), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((3x+1)(x-2)=3x-2-5x-2), so it is correct. In exams, verify factorisation by expanding.
((3x+1)(x-2)=0), इसलिए \(x=-\frac{1}{3}\) और (2) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((3x+1)(x-2)=0), so \(x=-\frac{1}{3}\) and (2). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+6x=-2\) में (9) जोड़ने पर ((x+3)2=7) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (9) to \(x^2+6x=-2\) gives ((x+3)2=7). In exams, add the same number to both sides.
((x+3)2=7), इसलिए \(x=-3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+3)2=7), \(x=-3\pm\sqrt{7}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-12\), इसलिए मान (-48) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-12\), so the value is (-48). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=16\) से \(r=2\sqrt{2}\) और \(p=3r=6\sqrt{2}\) है। परीक्षा में दोनों मूलों के चिन्ह ध्यान से रखें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=16\) gives \(r=2\sqrt{2}\), and \(p=3r=6\sqrt{2}\). In exams, keep signs of both roots carefully.
यहां (D=(-5)2-4(1)(2)=17), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-5)2-4(1)(2)=17), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-6)2-4(3)(7)=-48<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-6)2-4(3)(7)=-48<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(3x-2-6x+7=3(x-1)2+4), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी वास्तविक मूलों की प्रकृति दिखती है। / (3x-2-6x+7=3(x-1)2+4), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of real roots.
मूल (2,6) हैं, इसलिए नए मूल (4,8) होंगे और समीकरण ((x-4)(x-8)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,6), so new roots are (4,8), and the equation is ((x-4)(x-8)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\), इसलिए मान \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), so the value is \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (100-100k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (100-100k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+3)2-4k-2=0) से ((k+3)2=k-2), इसलिए (6k+9=0) और \(k=-\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+3)2-4k-2=0) gives ((k+3)2=k-2), so (6k+9=0) and \(k=-\frac{3}{2}\). In exams, expand squares carefully.
((x-3)=0) या ((x-7)=0), इसलिए (x=3) या (x=7) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-3)=0) or ((x-7)=0), so (x=3) or (x=7). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-3)(x-7)=x-2-10x+21), इसलिए \(x^2-10x+21=10\) से \(x^2-10x+11=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-3)(x-7)=x-2-10x+21), so \(x^2-10x+21=10\) gives \(x^2-10x+11=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
पहले \(x^2+5x+\frac{3}{2}=0\) मिलता है, फिर \(\frac{25}{4}\) जोड़ने पर (\left\(x+\frac{5}{2}\right\)2=\frac{19}{4}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2+5x+\frac{3}{2}=0\) is obtained, then adding \(\frac{25}{4}\) gives (\left\(x+\frac{5}{2}\right\)2=\frac{19}{4}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
(10x-2-13x+3=(10x-3)(x-1)), इसलिए मूल (1) और \(\frac{3}{10}\) हैं। परीक्षा में हर रैखिक गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / (10x-2-13x+3=(10x-3)(x-1)), so the roots are (1) and \(\frac{3}{10}\). In exams, set each linear factor equal to zero.
यहां (ac=180) और (-15+(-12)=-27), इसलिए सही विभाजन (-15x-12x) है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों मिलाएं। / Here (ac=180) and (-15+(-12)=-27), so the correct split is (-15x-12x). In exams, match both sum (b) and product (ac).
(18x-2-27x+10=(3x-2)(6x-5)), इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और \(\frac{5}{6}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें। / (18x-2-27x+10=(3x-2)(6x-5)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{5}{6}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k-2)2-4\(k^2-9\)=0) से (-4k+13=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में (D) सावधानी से फैलाएं। / For equal roots, (D=0), so (4(k-2)2-4\(k^2-9\)=0) gives (-4k+13=0). In exams, expand (D) carefully in parameter questions.
मूलों का योग (3) है और \(\frac{p-1}{4}=3\), इसलिए (p=13) है। परीक्षा में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) से लें। / The sum of roots is (3), and \(\frac{p-1}{4}=3\), so (p=13). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum of roots.
पहले \(x^2-\frac{22}{7}x+1=0\) बनता है, फिर (\left\(x-\frac{11}{7}\right\)2=\frac{72}{49}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-\frac{22}{7}x+1=0\) is obtained, then (\left\(x-\frac{11}{7}\right\)2=\frac{72}{49}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
(\left\(x-\frac{11}{7}\right\)2=\frac{72}{49}), इसलिए \(x=\frac{11\pm6\sqrt{2}}{7}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) सरल करें। / Since (\left\(x-\frac{11}{7}\right\)2=\frac{72}{49}), \(x=\frac{11\pm6\sqrt{2}}{7}\). In exams, simplify \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-4m=0) से (m=81) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (324-4m=0) gives (m=81). In exams, equal roots mean (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(\frac{6}{5},2\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{5}\) और (2) हैं, इसलिए यह विकल्प नहीं है। सही जांच में दोनों समीकरणों के मूल क्रमशः \(2,\frac{6}{5}\) और \(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\) हैं। / The first equation has roots \(2,\frac{6}{5}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\), so there is no common root among the given values. In exams, solve both equations before comparing.
पहले समीकरण के मूल \(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\) हैं और दूसरे के मूल \(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\) हैं, इसलिए दिए विकल्पों में समान मूल नहीं है। परीक्षा में तुलना से पहले दोनों समीकरण सही हल करें। / The first equation has roots \(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\), so none of the listed values is common. In exams, solve both equations correctly before comparing.
मूलों का योग (15) है, इसलिए दूसरा मूल (15-6=9) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (15), so the other root is (15-6=9). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (9) है, इसलिए \(q=6\times9=54\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है। / The other root is (9), so \(q=6\times9=54\). In exams, when (a=1), (c) equals the product of roots.
(4x-2+4x-3=(2x-1)(2x+3)), इसलिए \(x=\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (4x-2+4x-3=(2x-1)(2x+3)), so \(x=\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (7=\(\sqrt{7}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{7}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{7}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (7=\(\sqrt{7}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{7}x\), it is (\(x+\sqrt{7}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x+\sqrt{7}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(-\sqrt{7}\) है। परीक्षा में ((x+a)2=0) से (x=-a) मिलता है। / (\(x+\sqrt{7}\)2=0), so the repeated root is \(-\sqrt{7}\). In exams, ((x+a)2=0) gives (x=-a).
यह समीकरण ((x-u)(x-v)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (u) और (v) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी वही नियम लागू करें। / The equation is equivalent to ((x-u)(x-v)=0), so the roots are (u) and (v). In exams, apply the same rule to symbolic factors.
यह ((x-m)2-n-2=0) है, इसलिए \(x-m=\pm n\) और \(x=m\pm n\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / It is ((x-m)2-n-2=0), so \(x-m=\pm n\) and \(x=m\pm n\). In exams, recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (16) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना हल को आसान करता है। / Dividing the whole equation by (16) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first makes solving easier.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-13y+36=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन कठिन रूप को सरल बनाता है। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-13y+36=0\). In exams, substitution simplifies a difficult form.
\(y^2-13y+36=0\) से (y=4,9), इसलिए \(x^2=4,9\) और \(x=\pm2,\pm3\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-13y+36=0\), (y=4,9), so \(x^2=4,9\) and \(x=\pm2,\pm3\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (4x) से गुणा करने पर \(4+4x^2=17x\), यानी \(4x^2-17x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (4x) gives \(4+4x^2=17x\), that is \(4x^2-17x+4=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(4x-2-17x+4=(4x-1)(x-4)), इसलिए \(x=\frac{1}{4}\) और (4) हैं। परीक्षा में मिले हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (4x-2-17x+4=(4x-1)(x-4)), so \(x=\frac{1}{4}\) and (4). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+3)2=16x), इसलिए \(x^2+6x+9-16x=0\) और \(x^2-10x+9=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+3)2=16x), so \(x^2+6x+9-16x=0\), and \(x^2-10x+9=0\). In exams, cross multiply carefully.
(x-2-10x+9=(x-1)(x-9)), इसलिए (x=1) और (x=9) हैं। परीक्षा में हर के निषिद्ध मानों से हलों की जांच करें। / (x-2-10x+9=(x-1)(x-9)), so (x=1) and (x=9). In exams, check solutions against excluded denominator values.
(D=(-8)2-4(1)(3)=52), इसलिए \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-8)2-4(1)(3)=52), so \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\). In exams, simplify the square root.
मूलों का योग \(-\frac{p}{5}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{5}=-7\) से (p=35) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{5}\), so \(-\frac{p}{5}=-7\) gives (p=35). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{6}\) है, इसलिए \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) से (p=3) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{6}\), so \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) gives (p=3). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=17\) और \(\alpha\beta=70\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=172-2(70)=149) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=17\) and \(\alpha\beta=70\), so (\alpha-2+\beta-2=172-2(70)=149). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{12}{35}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{12}{35}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-13}{4}=\frac{13}{4}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-13}{4}=\frac{13}{4}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{13}{4}\right\)2-3=\frac{121}{16}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{13}{4}\right\)2-3=\frac{121}{16}). In exams, use this identity for the square of difference.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (100-4n<0) और (n>25) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (100-4n<0) and (n>25). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (100-4n>0) और (n<25) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (100-4n>0) and (n<25). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((5x+3)(x-2)=5x-2-7x-6), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((5x+3)(x-2)=5x-2-7x-6), so it is correct. In exams, verify factorisation by expanding.
((5x+3)(x-2)=0), इसलिए \(x=-\frac{3}{5}\) और (2) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((5x+3)(x-2)=0), so \(x=-\frac{3}{5}\) and (2). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+8x=-5\) में (16) जोड़ने पर ((x+4)2=11) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (16) to \(x^2+8x=-5\) gives ((x+4)2=11). In exams, add the same number to both sides.
((x+4)2=11), इसलिए \(x=-4\pm\sqrt{11}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+4)2=11), \(x=-4\pm\sqrt{11}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-16\), इसलिए मान (-96) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-16\), so the value is (-96). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=25\) और \(p=3r=\frac{15\sqrt{2}}{2}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=25\) and \(p=3r=\frac{15\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
यहां (D=(-7)2-4(1)(3)=37), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-7)2-4(1)(3)=37), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(4x-2-8x+9=4(x-1)2+5), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (4x-2-8x+9=4(x-1)2+5), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
मूल (2,8) हैं, इसलिए नए मूल (5,11) होंगे और समीकरण ((x-5)(x-11)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,8), so new roots are (5,11), and the equation is ((x-5)(x-11)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=45\), इसलिए मान \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=45\), so the value is \(\frac{196-90}{45}=\frac{106}{45}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-196k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (196-196k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+4)2-4k-2=0) से ((k+4)2=k-2), इसलिए (8k+16=0) और (k=-2) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+4)2-4k-2=0) gives ((k+4)2=k-2), so (8k+16=0) and (k=-2). In exams, expand squares carefully.
((x-4)=0) या ((x-9)=0), इसलिए (x=4) या (x=9) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-4)=0) or ((x-9)=0), so (x=4) or (x=9). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), इसलिए \(x^2-13x+36=14\) से \(x^2-13x+22=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), so \(x^2-13x+36=14\) gives \(x^2-13x+22=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
