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दूसरे समीकरण \(4x-y=3\) से \(y=4x-3\) मिलता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर \(2x+3(4x-3)=19\), अर्थात \(14x=28\) और \(x=2\)। इसलिए \(y=4(2)-3=5\), अतः हल \(x=2,\ y=5\) है। विकल्प A में \(x=3,\ y=4\) रखने पर दूसरा समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँच लें। / From the second equation, \(4x-y=3\), we get \(y=4x-3\). Substituting this into the first equation gives \(2x+3(4x-3)=19\), so \(14x=28\) and \(x=2\). Hence, \(y=4(2)-3=5\), and the solution is \(x=2,\ y=5\). Option A does not satisfy the second equation. Exam tip: always verify the obtained values in both original equations.
दिए गए समीकरणों को जोड़ने पर y के पद कट जाते हैं: 5x + 2y + 3x - 2y = 28 + 4, अर्थात 8x = 32। इसलिए x = 4। अब x = 4 को 3x - 2y = 4 में रखने पर 12 - 2y = 4, अतः y = 4। इसलिए x + y = 4 + 4 = 8। विकल्प 7 सही नहीं है, क्योंकि दोनों समीकरणों का हल x = 4 और y = 4 है। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्न वाले y-पदों को पहचानकर समीकरण जोड़ना उन्मूलन विधि को तेज बनाता है। / Adding the two equations eliminates the y-terms: 5x + 2y + 3x - 2y = 28 + 4, so 8x = 32. Hence, x = 4. Substituting x = 4 into 3x - 2y = 4 gives 12 - 2y = 4, so y = 4. Therefore, x + y = 4 + 4 = 8. Option 7 is not correct because the simultaneous solution is x = 4 and y = 4. Exam tip: when variable terms have opposite coefficients, add the equations to eliminate that variable quickly.
दूसरे समीकरण से \(x=9-y\) प्राप्त होता है। इसे \(3x+5y=31\) में रखने पर \(3(9-y)+5y=31\), अर्थात \(27+2y=31\) मिलता है। इसलिए \(y=2\) और \(x=9-2=7\) है। \(x=6\) लेने पर दूसरे समीकरण से \(y=3\) होगा, पर तब पहला समीकरण \(33\) देगा, \(31\) नहीं। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में जाँच लें। / From the second equation, \(x=9-y\). Substituting this into \(3x+5y=31\) gives \(3(9-y)+5y=31\), or \(27+2y=31\). Hence \(y=2\) and \(x=9-2=7\). If \(x=6\), then the second equation gives \(y=3\), but the first equation becomes \(33\), not \(31\). Exam tip: verify the obtained values in both original equations.
पहले समीकरण से \(y=6x-21\) प्राप्त होता है। इसे \(2x+3y=17\) में रखने पर \(2x+3(6x-21)=17\), अर्थात \(20x=80\) मिलता है। इसलिए \(x=4\) और \(y=3\) है, अतः विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए, \(x=5, y=1\) रखने पर दूसरा समीकरण \(13=17\) देता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the first equation, \(y=6x-21\). Substituting this into \(2x+3y=17\) gives \(2x+3(6x-21)=17\), so \(20x=80\). Hence, \(x=4\) and \(y=3\), making option C correct. For example, \(x=5, y=1\) gives \(13=17\) in the second equation, so it is not a solution. Exam tip: Always verify the ordered pair in both original equations.
दूसरे समीकरण \(2x-y=8\) से \(y=2x-8\) प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर \(4x+3(2x-8)=26\), अर्थात \(10x=50\), इसलिए \(x=5\) मिलता है। तब \(y=2(5)-8=2\) है। अतः सही हल \(x=5,\ y=2\) है। विकल्प B में दूसरा समीकरण संतुष्ट होता है, लेकिन पहले समीकरण में \(4(4)+3(3)=25\neq26\) आता है। परीक्षा टिप: प्राप्त हल को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the second equation \(2x-y=8\), we get \(y=2x-8\). Substituting this into the first equation gives \(4x+3(2x-8)=26\), so \(10x=50\) and hence \(x=5\). Then \(y=2(5)-8=2\). Therefore, the solution is \(x=5,\ y=2\). Option B satisfies the second equation, but in the first equation \(4(4)+3(3)=25\neq26\). Exam tip: Always verify the ordered pair in both original equations.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (3) times the second. Hence both are the same line and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण (x+2y=5) बनता है, जबकि दूसरा (x+2y=7) है। समान बायां पक्ष और अलग दायां पक्ष होने से कोई हल नहीं है। / The first equation becomes (x+2y=5), while the second is (x+2y=7). Same left side with different right side gives no solution.
विलोपन विधि से पहली समीकरण को 3 से और दूसरी को 2 से गुणा करें: (6x+9y=930) तथा (6x+4y=680)। घटाने पर (5y=250), इसलिए (y=50)। अब (3x+2y=340) में (y=50) रखने पर (3x+100=340), अतः (x=80)। इसलिए सही उत्तर ₹80 है। ₹70 रखने पर दोनों समीकरण एक साथ संतुष्ट नहीं होते। परीक्षा टिप: विलोपन में किसी एक चर के गुणांक बराबर करके समीकरणों को घटाइए। / Using elimination, multiply the first equation by 3 and the second equation by 2: (6x+9y=930) and (6x+4y=680). Subtracting gives (5y=250), so (y=50). Substituting this into (3x+2y=340) gives (3x+100=340), hence (x=80). Therefore, the correct answer is ₹80. A value such as ₹70 does not satisfy both equations together. Exam tip: In elimination, first make the coefficients of one variable equal and then subtract the equations.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=11) और (x-y=3) से (x=7,\ y=4), इसलिए संख्या (74) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (x-y=3), (x=7,\ y=4), so the number is (74).
दिए गए हल में \(x=4\) और \(y=4\) को समीकरण \(kx+2y=20\) में रखने पर \(4k+2(4)=20\) मिलता है। अतः \(4k+8=20\), इसलिए \(4k=12\) और \(k=3\)। दूसरा समीकरण \(x+y=8\) भी जाँच देता है, क्योंकि \(4+4=8\)। परीक्षा टिप: पैरामीटर ज्ञात करने के लिए दिए गए हल को उस समीकरण में प्रतिस्थापित करें जिसमें पैरामीटर हो। / Substitute \(x=4\) and \(y=4\) into \(kx+2y=20\): \(4k+2(4)=20\). Thus, \(4k+8=20\), so \(4k=12\) and \(k=3\). The other equation is also satisfied because \(4+4=8\). Exam tip: to find a parameter, substitute the given solution into the equation containing that parameter.
पहले समीकरण में y का गुणांक 4 है और दूसरे में -2 है। दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 10x-4y=2 प्राप्त होता है। अब इसे 3x+4y=17 में जोड़ने पर +4y और -4y कट जाते हैं। 1 से गुणा करने पर -2y ही रहेगा, इसलिए y नहीं हटेगा। परीक्षा टिप: विलोपन विधि में किसी एक चर के गुणांकों को समान परिमाण तथा विपरीत चिह्न वाला बनाइए। / The coefficient of y in the first equation is 4, while it is -2 in the second equation. Multiplying the second equation by 2 gives 10x-4y=2. On adding it to 3x+4y=17, +4y and -4y cancel. Multiplying by 1 would leave -2y, so y would not be eliminated. Exam tip: In elimination, make the coefficients of one variable equal in magnitude and opposite in sign.
पहले समीकरण से (y=2x-6) रखें। दूसरे में रखने पर (7x=31), इसलिए \(x=\frac{31}{7},\ y=\frac{20}{7}\)। / Use (y=2x-6) from the first equation. Substitution gives (7x=31), so \(x=\frac{31}{7},\ y=\frac{20}{7}\).
(x=y+1) रखने पर (5y+3=25), इसलिए \(y=\frac{22}{5}\) और \(x=\frac{27}{5}\)। अतः \(x+y=\frac{49}{5}\)। / Using (x=y+1) gives (5y+3=25), so \(y=\frac{22}{5}\) and \(x=\frac{27}{5}\). Hence \(x+y=\frac{49}{5}\).
दोनों समीकरणों में \(7x\) का गुणांक समान है। अतः पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर \((7x+4y)-(7x-y)=45-15\), यानी \(5y=30\) मिलता है। इसलिए \(y=6\) है। \(y=7\) लेने पर \(5y=35\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: समान गुणांक वाले पदों को घटाकर या जोड़कर शीघ्र विलोपित किया जा सकता है। / The coefficient of \(7x\) is the same in both equations. Subtract the second equation from the first: \((7x+4y)-(7x-y)=45-15\), which gives \(5y=30\). Hence, \(y=6\). If \(y=7\), then \(5y=35\), so it cannot satisfy the result. Exam tip: Add or subtract equations to eliminate a variable when its coefficients are equal or opposites.
मान लें पिता की आयु (x) और पुत्र की आयु (y) है। (x+y=50) और (x-y=30) जोड़ने पर (x=40)। / Let the father’s age be (x) and the son’s age be (y). Adding (x+y=50) and (x-y=30) gives (x=40).
पहले समीकरण को (3) और दूसरे को (2) से गुणा कर घटाएं। इससे (5x=150), फिर (y=20)। / Multiply the first equation by (3) and the second by (2), then subtract. This gives (5x=150), then (y=20).
दूसरे समीकरण \(3x-y=17\) से \(y=3x-17\) प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण \(2x+5y=0\) में रखने पर \(2x+5(3x-17)=0\), अर्थात \(17x=85\), इसलिए \(x=5\)। अब \(y=3(5)-17=-2\)। अतः सही उत्तर \(-2\) है। \(-1\) रखने पर दोनों समीकरण एक साथ संतुष्ट नहीं होते। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त मान को मूल दोनों समीकरणों में जाँच लें। / From the second equation, \(3x-y=17\), we get \(y=3x-17\). Substituting this into \(2x+5y=0\) gives \(2x+5(3x-17)=0\), so \(17x=85\) and \(x=5\). Then \(y=3(5)-17=-2\). Therefore, the correct answer is \(-2\). The value \(-1\) does not satisfy both equations together. Exam tip: verify the obtained values in both original equations.
पहले समीकरण का (2) गुना (4x+6y=24) है, लेकिन दूसरा (4x+6y=25) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (4x+6y=24), but the second is (4x+6y=25). Therefore there is no solution.
कोई हल न होने के लिए गुणांक समानुपाती और स्थिरांक असमानुपाती होने चाहिए। (k=4) पर बायां पक्ष समानुपाती है, पर (12) और (9) अनुपात में नहीं हैं। / For no solution, coefficients must be proportional while constants are not. At (k=4), the left sides are proportional but (12) and (9) are not in the same ratio.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(-3y\) और \(+3y\) कट जाते हैं: \(5x-3y+2x+3y=2+19\)। अतः \(7x=21\), इसलिए \(x=3\)। विकल्प \(x=2\) लेने पर \(7x=14\) होगा, जो प्राप्त योग \(21\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्नों वाले पदों को हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें। / On adding the two equations, \(-3y\) and \(+3y\) cancel: \(5x-3y+2x+3y=2+19\). Thus, \(7x=21\), so \(x=3\). If \(x=2\), then \(7x=14\), which does not equal the obtained sum \(21\). Exam tip: Add equations when a variable has equal coefficients with opposite signs.
दूसरे समीकरण \(2x-y=9\) से \(y=2x-9\) प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर \(4x+5(2x-9)=39\), अर्थात \(14x=84\), इसलिए \(x=6\)। तब \(y=2(6)-9=3\)। अतः सही हल \(x=6,\ y=3\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \(2x-y=6\) आता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the second equation, \(2x-y=9\), we get \(y=2x-9\). Substituting this into the first equation gives \(4x+5(2x-9)=39\), so \(14x=84\) and \(x=6\). Then \(y=2(6)-9=3\). Hence, the solution is \(x=6,\ y=3\). For instance, option B gives \(2x-y=6\), not 9. Exam tip: always verify the obtained values in both original equations.
पहले समीकरण से \(y=23-2x\) प्राप्त होता है। इसे \(x+3y=19\) में रखने पर \(x+3(23-2x)=19\), अर्थात \(-5x=-50\), इसलिए \(x=10\) और \(y=3\)। अतः \(x-2y=10-2(3)=4\)। विकल्प \(5\) तब मिलता यदि \(x-y\) निकाला जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद दोनों मूल समीकरणों में जाँच कर लें। / From the first equation, \(y=23-2x\). Substituting this into \(x+3y=19\) gives \(x+3(23-2x)=19\), so \(-5x=-50\), hence \(x=10\) and \(y=3\). Therefore, \(x-2y=10-2(3)=4\). Option \(5\) would be obtained for \(x-y\), not for the required expression. Exam tip: verify the values in both original equations after solving.
मान लें बड़ी संख्या (x) और छोटी (y) है। (x+y=29) और (x-y=7) जोड़ने पर (2x=36), इसलिए (x=18)। / Let the larger number be (x) and the smaller be (y). Adding (x+y=29) and (x-y=7) gives (2x=36), so (x=18).
पहले समीकरण \(x=2y+1\) को दूसरे समीकरण में रखने पर \(5(2y+1)-3y=33\) मिलता है। अतः \(10y+5-3y=33\), यानी \(7y=28\), इसलिए \(y=4\)। अब \(x=2(4)+1=9\) होगा। इसलिए सही हल \(x=9,\ y=4\) है। निकटतम विकल्पों में \(x=7,\ y=3\) पहला समीकरण तो संतुष्ट करता है, लेकिन \(5x-3y=26\) देता है, 33 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँचें। / Substitute \(x=2y+1\) into the second equation: \(5(2y+1)-3y=33\). Thus, \(10y+5-3y=33\), so \(7y=28\) and \(y=4\). Now \(x=2(4)+1=9\). Therefore, the correct solution is \(x=9,\ y=4\). The close distractor \(x=7,\ y=3\) satisfies the first equation but gives \(5x-3y=26\), not 33. Exam tip: verify the ordered pair in both original equations.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (11x=55), इसलिए (x=5)। दूसरे समीकरण से (15+5y=26), अतः \(y=\frac{11}{5}\)। / Adding both equations gives (11x=55), so (x=5). From the second equation (15+5y=26), hence \(y=\frac{11}{5}\).
दिया गया हल \(x=5, y=4\) समीकरण \(3x+my=23\) को संतुष्ट करेगा। मान रखने पर \(3(5)+m(4)=23\), अर्थात \(15+4m=23\)। इसलिए \(4m=8\) और \(m=2\)। \(m=3\) रखने पर बायाँ पक्ष \(27\) होगा, \(23\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए हुए हल के साथ पैरामीटर ज्ञात करने के लिए उस हल को संबंधित समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / The given solution \(x=5, y=4\) must satisfy \(3x+my=23\). Substituting gives \(3(5)+m(4)=23\), or \(15+4m=23\). Hence \(4m=8\) and \(m=2\). If \(m=3\), the left-hand side becomes \(27\), not \(23\). Exam tip: To find a parameter from a given solution, substitute the solution into the relevant equation.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों एक ही समीकरण हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore both are the same equation and have infinitely many solutions.
पहले समीकरण को 3 से भाग देने पर \(2x-3y=4\) मिलता है, जबकि दूसरा समीकरण \(2x-3y=5\) है। दोनों समीकरणों का बायाँ पक्ष समान है, पर दायाँ पक्ष अलग है; इसलिए वे समानांतर अलग-अलग रेखाएँ दर्शाते हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। विकल्प ‘अनंत हल’ तब होता जब दोनों समीकरण पूरी तरह एक ही रेखा होते। परीक्षा टिप: समान बाएँ पक्ष लेकिन अलग नियत पद दिखे, तो युग्म असंगत होता है। / Dividing the first equation by 3 gives \(2x-3y=4\), whereas the second equation is \(2x-3y=5\). Their left-hand sides are identical but their constants differ, so they represent distinct parallel lines and have no common solution. Infinitely many solutions would occur only if both equations represented the same line. Exam tip: identical variable expressions with different constants indicate an inconsistent pair.
मान लें बड़ी संख्या (x) और छोटी (y) है। (x+y=64) और (x-y=18) से (2y=46), इसलिए (y=23)। / Let the larger number be (x) and the smaller be (y). From (x+y=64) and (x-y=18), (2y=46), so (y=23).
पहले समीकरण को (6) से गुणा करने पर (3x+2y=30) मिलता है। (x=y+3) रखने पर \(y=\frac{21}{5}\) और \(x=\frac{36}{5}\)। / Multiplying the first equation by (6) gives (3x+2y=30). Using (x=y+3) gives \(y=\frac{21}{5}\) and \(x=\frac{36}{5}\).
पहले समीकरण को (6) से गुणा करने पर (2x+3y=42) मिलता है। (x=y+3) रखने पर (5y=36), इसलिए \(y=\frac{36}{5}\)। / Multiplying the first equation by (6) gives (2x+3y=42). Using (x=y+3) gives (5y=36), so \(y=\frac{36}{5}\).
दूसरे समीकरण \(2x+y=13\) से \(y=13-2x\) प्राप्त होता है। इसे पहले समीकरण में रखने पर \(4x-7(13-2x)=-19\), अर्थात \(18x=72\)। इसलिए \(x=4\) है। \(x=3\) रखने पर दोनों समीकरणों के लिए समान \(y\) नहीं मिलता। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक खोलते समय \(-7\) का चिह्न प्रत्येक पद पर लगाना न भूलें। / From the second equation, \(2x+y=13\), we get \(y=13-2x\). Substituting this into the first equation gives \(4x-7(13-2x)=-19\), so \(18x=72\). Hence, \(x=4\). If \(x=3\), the two equations do not give the same value of \(y\). Exam tip: while substituting, distribute the negative sign in \(-7(13-2x)\) carefully.
पहले समीकरण से \(y=22-3x\) मिलता है। इसे दूसरे समीकरण \(x+2y=19\) में रखने पर \(x+2(22-3x)=19\), अर्थात \(-5x=-25\), इसलिए \(x=5\)। तब \(y=7\) और \(x-y=5-7=-2\) होता है। \(-1\) जैसी त्रुटि सामान्यतः \(x-y\) घटाते समय होती है। परीक्षा टिप: पहले दोनों चर के मान जाँचें, फिर माँगी गई अभिव्यक्ति में रखें। / From the first equation, \(y=22-3x\). Substituting this into \(x+2y=19\) gives \(x+2(22-3x)=19\), so \(-5x=-25\) and hence \(x=5\). Then \(y=7\), giving \(x-y=5-7=-2\). The distractor \(-1\) can result from an error while subtracting the values. Exam tip: find and verify both variable values before evaluating the required expression.
मान लें आयत की लंबाई \(l\) और चौड़ाई \(b\) है। दिए गए कथनों से \(l+b=28\) तथा \(l-b=6\) मिलते हैं। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(2b=22\), अतः \(b=11\)। इसलिए सही उत्तर 11 है। विकल्प 12 लेने पर लंबाई 18 होगी और उनका योग 30 आएगा, जो दिए गए योग 28 के अनुकूल नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों राशियों के लिए चर लेकर योग और अंतर के अलग-अलग समीकरण बनाइए। / Let the length be \(l\) and the breadth be \(b\). The statements give \(l+b=28\) and \(l-b=6\). Subtracting the second equation from the first gives \(2b=22\), so \(b=11\). Hence, 11 is the correct answer. If the breadth were 12, the length would be 18 and their sum would be 30, not 28. Exam tip: For sum-and-difference word problems, first form separate equations for the sum and the difference.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2y\) और \(-2y\) कट जाते हैं: \(9x+3x=37+11\), अर्थात \(12x=48\)। इसलिए \(x=4\)। \(x=3\) रखने पर \(12x=36\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे समीकरणों में विपरीत चिह्न वाले पदों को जोड़कर पहले एक चर हटाइए। / Adding the two equations eliminates \(y\): \(9x+3x=37+11\), so \(12x=48\). Hence, \(x=4\). If \(x=3\), then \(12x=36\), so it cannot satisfy the resulting equation. Exam tip: add equations when one variable has equal coefficients with opposite signs.
अनंत हल के लिए दोनों समीकरण समानुपाती होने चाहिए। (4) और (2) का अनुपात (2) है, इसलिए (a=6) होना चाहिए। / For infinitely many solutions, both equations must be proportional. The ratio of (4) and (2) is (2), so (a=6).
अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। अतः उनके संगत गुणांकों के अनुपात समान होंगे: \(\frac{2}{4}=\frac{p}{6}=\frac{10}{20}\)। यहाँ \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) और \(p=3\)। \(p=6\) रखने पर गुणांक समान अनुपात में नहीं रहते, इसलिए समीकरण एक ही रेखा नहीं बनाते। परीक्षा टिप: अनंत हलों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For infinitely many solutions, both linear equations must represent the same line. Therefore, the ratios of corresponding coefficients must be equal: \(\frac{2}{4}=\frac{p}{6}=\frac{10}{20}\). Since \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), we get \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\), so \(p=3\). If \(p=6\), the coefficients are not in the same ratio, so the equations do not represent the same line. Exam tip: for infinitely many solutions, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
\(x+y=5\) को 3 से गुणा करने पर \(3x+3y=15\) प्राप्त होता है। इसे \(2x-3y=7\) में जोड़ने पर \(+3y\) और \(-3y\) कट जाते हैं, इसलिए \(y\) हट जाता है। \(x-y=5\) को 3 से गुणा करने पर \(-3y\) मिलता है, जो दिए गए समीकरण के \(-3y\) के साथ जोड़ने पर समाप्त नहीं होगा। परीक्षा टिप: विलोपन के लिए चुने गए पदों के गुणांक समान पर विपरीत चिह्न वाले होने चाहिए। / Multiplying \(x+y=5\) by 3 gives \(3x+3y=15\). On adding it to \(2x-3y=7\), the terms \(+3y\) and \(-3y\) cancel, so \(y\) is eliminated. Multiplying \(x-y=5\) by 3 gives \(-3y\), which would not cancel the given \(-3y\) on addition. Exam tip: for elimination by addition, the selected variable must have equal coefficients with opposite signs.
दूसरे समीकरण से \(x-y=3\), अतः \(x=y+3\)। इसे \(3x+2y=19\) में रखने पर \(3(y+3)+2y=19\), यानी \(5y=10\) और \(y=2\) मिलता है। इसलिए \(x=5\) तथा क्रमित युग्म \((5,2)\) है। विकल्प \((6,3)\) में \(x-y=3\) तो है, पर \(3x+2y=24\neq19\) है। परीक्षा में दोनों समीकरणों में मान रखकर उत्तर की जाँच करें। / From \(x-y=3\), we get \(x=y+3\). Substituting this into \(3x+2y=19\) gives \(3(y+3)+2y=19\), so \(5y=10\) and \(y=2\). Hence, \(x=5\), and the ordered pair is \((5,2)\). Although \((6,3)\) satisfies \(x-y=3\), it gives \(3x+2y=24\ne19\). In an exam, verify the final pair in both equations.
दूसरे समीकरण \(5x-y=14\) को पहले समीकरण \(5x+4y=44\) से घटाने पर \(5y=30\) प्राप्त होता है। अतः \(y=6\)। \(y=4\) निकट का विकल्प लग सकता है, लेकिन इसे समीकरणों में रखने पर दोनों समीकरण एक साथ संतुष्ट नहीं होते। परीक्षा टिप: समान गुणांक वाले पदों को घटाकर एक चर को सीधे समाप्त करें। / Subtract \(5x-y=14\) from \(5x+4y=44\). This gives \(5y=30\), so \(y=6\). The nearby option \(y=4\) does not satisfy both equations simultaneously. Exam tip: when the coefficients of one variable are already equal, subtract the equations to eliminate that variable quickly.
पहले समीकरण से y=14-2x। इसे दूसरे समीकरण x+2y=16 में रखने पर x+2(14-2x)=16 मिलता है, जिससे -3x=-12 और x=4। अतः y=6, इसलिए xy=4×6=24। 22 जैसे विकल्प तब मिल सकते हैं जब समीकरणों में प्रतिस्थापन करते समय गुणांक 2 की गलती हो जाए। परीक्षा टिप: x और y ज्ञात करने के बाद दोनों मानों को किसी मूल समीकरण में रखकर जाँच लें। / From the first equation, y=14-2x. Substituting this into x+2y=16 gives x+2(14-2x)=16, so -3x=-12 and x=4. Hence y=6, and xy=4×6=24. A value such as 22 can result from an error while handling the coefficient 2 during substitution. Exam tip: After finding x and y, verify them in either original equation.
दिए गए मान \(x=3\) और \(y=2\) को समीकरण \(2x+ky=16\) में रखने पर \(2(3)+k(2)=16\) मिलता है। अतः \(6+2k=16\), इसलिए \(2k=10\) और \(k=5\)। विकल्प \(k=4\) रखने पर बायाँ पक्ष \(14\) होगा, जो \(16\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए क्रमित युग्म को समीकरण में रखते समय \(x\) और \(y\) के मान सही पदों में रखें। / Substitute \(x=3\) and \(y=2\) into \(2x+ky=16\): \(2(3)+k(2)=16\). Thus, \(6+2k=16\), so \(2k=10\) and \(k=5\). For example, \(k=4\) gives a left-hand side of \(14\), not \(16\). Exam tip: while substituting an ordered pair, place the values of \(x\) and \(y\) in their correct terms.
पहले समीकरण का (2) गुना (6x+8y=20) है, लेकिन दूसरा (6x+8y=21) है। इसलिए कोई हल नहीं है। / Twice the first equation is (6x+8y=20), but the second is (6x+8y=21). Therefore there is no solution.
पहला समीकरण दूसरे का (7) गुना है। इसलिए दोनों समान समीकरण हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (7) times the second. Therefore both are identical equations and have infinitely many solutions.
दोनों समीकरणों में \(y\) के गुणांक \(-3\) और \(+3\) हैं, इसलिए उन्हें जोड़ने पर \(y\) समाप्त हो जाता है: \((2x-3y)+(4x+3y)=-4+22\), अतः \(6x=18\)। इसलिए \(x=3\)। \(x=4\) रखने पर \(6x=24\) होगा, जो प्राप्त समीकरण \(6x=18\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: विपरीत गुणांकों वाले पदों को जोड़कर चरों का उन्मूलन जल्दी किया जा सकता है। / The coefficients of \(y\) are \(-3\) and \(+3\), so adding the equations eliminates \(y\): \((2x-3y)+(4x+3y)=-4+22\). Thus, \(6x=18\), giving \(x=3\). For example, \(x=4\) would give \(6x=24\), which does not satisfy \(6x=18\). Exam tip: Add equations directly when a variable has equal and opposite coefficients.
पहले समीकरण से \(x=26-4y\)। इसे \(3x-2y=8\) में रखने पर \(3(26-4y)-2y=8\), अर्थात \(78-14y=8\)। इसलिए \(14y=70\) और \(y=5\)। अब \(x+4y=26\) में \(y=5\) रखने पर \(x=6\) मिलता है। अतः सही हल \(x=6,\ y=5\) है। विकल्प B में मानों की अदला-बदली है और वह पहले समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँच करें। / From the first equation, \(x=26-4y\). Substituting this into \(3x-2y=8\) gives \(3(26-4y)-2y=8\), or \(78-14y=8\). Hence, \(14y=70\) and \(y=5\). Substituting \(y=5\) into \(x+4y=26\) gives \(x=6\). Therefore, the correct solution is \(x=6,\ y=5\). Option B merely interchanges the values and does not satisfy the first equation. Exam tip: verify the ordered pair in both original equations.
दूसरे समीकरण से (y=2x-5) रखें। पहले में रखने पर (16x=72), इसलिए \(x=\frac{9}{2}\) और (y=4)। / Use (y=2x-5) from the second equation. Substitution gives (16x=72), so \(x=\frac{9}{2}\) and (y=4).
मान लें लड़कियों की संख्या \(g\) है, तो लड़कों की संख्या \(g+8\) होगी। कुल विद्यार्थियों के अनुसार \(g+(g+8)=52\), अर्थात \(2g=44\)। इसलिए \(g=22\)। विकल्प 23 लेने पर लड़के 31 होंगे और कुल 54 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कम संख्या को \(g\) मानकर अधिक संख्या को \(g+\text{अंतर}\) लिखें। / Let the number of girls be \(g\). Then the number of boys is \(g+8\). Using the total, \(g+(g+8)=52\), so \(2g=44\). Hence, \(g=22\). If the number of girls were 23, the number of boys would be 31 and the total would become 54, so that option is incorrect. Exam tip: In such questions, represent the smaller number by a variable and write the larger number as variable plus the given difference.
दिए गए समीकरणों \(3x-5y=-1\) और \(2x+5y=21\) को जोड़ने पर \(y\) के पद कट जाते हैं: \(5x=20\)। अतः \(x=4\), इसलिए विकल्प B सही है। केवल किसी एक समीकरण से \(x\) का मान सीधे नहीं निकलेगा, क्योंकि उसमें \(y\) भी है। परीक्षा टिप: जिन पदों के गुणांक विपरीत हों, उन्हें हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ना सबसे तेज़ विधि है। / Adding \(3x-5y=-1\) and \(2x+5y=21\) eliminates the \(y\)-terms: \(5x=20\). Hence, \(x=4\), so option B is correct. The value of \(x\) cannot be obtained directly from either equation alone because each also contains \(y\). Exam tip: add two equations when one variable has equal and opposite coefficients.
दूसरे समीकरण से (y=3x-11) रखें। पहले में रखने पर \(x=\frac{27}{5},\ y=\frac{16}{5}\), इसलिए (2x+y=14)। / Use (y=3x-11) from the second equation. Substitution gives \(x=\frac{27}{5},\ y=\frac{16}{5}\), so (2x+y=14).
