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जास्कर कैलाश और लद्दाख श्रेणियां ट्रांस-हिमालयी क्षेत्र से जुड़ी हैं। परीक्षा में इन्हें हिमालय के पार के उच्च प्रदेश से जोड़ें। / Zanskar, Kailash, and Ladakh ranges are associated with the Trans-Himalayan region. For exams, connect them with highlands beyond the Himalayas.
B. दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग/Regional parts of Deccan Plateau
Explanation
Simple Explanation
कर्नाटक और तेलंगाना पठार दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग हैं। परीक्षा में इन्हें दक्षिणी प्रायद्वीपीय पठार से जोड़ें। / Karnataka and Telangana Plateaus are regional parts of the Deccan Plateau. For exams, connect them with the southern Peninsular Plateau.
C. दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग/Regional parts of the Deccan Plateau
Explanation
Simple Explanation
कर्नाटक और तेलंगाना पठार दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग हैं। परीक्षा में इन्हें दक्षिणी प्रायद्वीपीय पठार से जोड़ें। / Karnataka and Telangana Plateaus are regional parts of the Deccan Plateau. For exams, connect them with the southern Peninsular Plateau.
C. दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग/Regional parts of the Deccan Plateau
Explanation
Simple Explanation
कर्नाटक और तेलंगाना पठार दक्कन पठार के क्षेत्रीय भाग हैं। परीक्षा में इन्हें दक्षिणी प्रायद्वीपीय पठार से जोड़ें। / Karnataka and Telangana Plateaus are regional parts of the Deccan Plateau. For exams, connect them with the southern Peninsular Plateau.
A. दोनों उपनिवेश मुक्ति की वैश्विक लहर से जुड़ी थीं/Both were linked with the global wave of decolonization
Explanation
Simple Explanation
भारत और घाना की स्वतंत्रता ने एशिया और अफ्रीका में उपनिवेश विरोधी आंदोलनों को बल दिया। परीक्षा में उपनिवेश मुक्ति को वैश्विक प्रक्रिया मानें। / Independence of India and Ghana strengthened anti colonial movements in Asia and Africa. Exam tip: treat decolonization as a global process.
A. दोनों ने विज्ञान या स्वास्थ्य क्षेत्र में महिलाओं की महत्वपूर्ण भूमिका दिखाई/Both showed important roles of women in science or health
Explanation
Simple Explanation
क्यूरी विज्ञान और नाइटिंगेल नर्सिंग सुधार से जुड़ी थीं। परीक्षा में इन्हें आधुनिक सेवा और विज्ञान से जोड़ें। / Curie was linked with science and Nightingale with nursing reform. Exam tip: connect them with modern service and science.
A. क्रांतिकारी विचारों का प्रसार और साम्राज्यवादी विस्तार की सीमा/Spread of revolutionary ideas and limits of imperial expansion
Explanation
Simple Explanation
नेपोलियन ने क्रांतिकारी कानूनों को फैलाया पर साम्राज्य विस्तार टिकाऊ नहीं रहा। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा दोनों लिखें। / Napoleon spread revolutionary laws but imperial expansion was not lasting. For exams write both achievement and limitation.
A. अंतरराष्ट्रीय कूटनीति और लोगों के बीच सहयोग की आशा से/For hopes of international diplomacy and cooperation among peoples
Explanation
Simple Explanation
ओबामा को अंतरराष्ट्रीय संवाद और सहयोग की दिशा में उम्मीदों के लिए सम्मानित किया गया। परीक्षा में उन्हें आधुनिक अमेरिकी नेता के रूप में याद रखें। / Obama was honored for hopes toward international dialogue and cooperation. For exams remember him as a modern American leader.
A. वैश्विक पर्यावरण संरक्षण और सतत विकास/Global environmental protection and sustainable development
Explanation
Simple Explanation
यू एन ई पी पर्यावरण संरक्षण और वैश्विक पर्यावरण सहयोग से जुड़ा है। परीक्षा में इसे पर्यावरणीय मुद्दों से जोड़ें। / UNEP is linked with environmental protection and global environmental cooperation. Exam tip: connect it with environmental issues.
A. वैश्विक पर्यावरण समस्याओं पर सहयोग बढ़ाना/To increase cooperation on global environmental problems
Explanation
Simple Explanation
यू एन ई पी पर्यावरण संरक्षण और वैश्विक सहयोग से जुड़ा है। परीक्षा में इसे पर्यावरण मुद्दों की संयुक्त राष्ट्र प्रतिक्रिया मानें। / UNEP is linked with environmental protection and global cooperation. For exams treat it as the UN response to environmental issues.
A. गरीबी घटाना और बेहतर भविष्य बनाना/Reducing poverty and building a better future
Explanation
Simple Explanation
सतत विकास लक्ष्य गरीबी शिक्षा स्वास्थ्य और पर्यावरण जैसे मुद्दों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें वैश्विक विकास एजेंडा मानें। / The Sustainable Development Goals are linked with issues like poverty education health and environment. Exam tip: treat them as a global development agenda.
A. राजनीतिक दमन असमानता और सांस्कृतिक असंतोष के कारण/Due to political repression inequality and cultural discontent
Explanation
Simple Explanation
शाह शासन के विरुद्ध दमन और असंतोष ने आंदोलन को व्यापक बनाया। परीक्षा में सामाजिक धार्मिक और राजनीतिक कारणों को साथ पढ़ें। / Repression and discontent against the Shah made the movement broad. Exam tip: study social religious and political causes together.
A. उन्होंने सैनिक राष्ट्रवाद और जनसहानुभूति को मजबूत किया/They strengthened military nationalism and public sympathy
Explanation
Simple Explanation
इन मुकदमों ने अलग अलग वर्गों में आजादी की भावना को तेज किया। परीक्षा में युद्धोत्तर जनमत को समझें। / These trials intensified the feeling of freedom among different groups. For exams understand post-war public opinion.
A. वस्तुओं तकनीकों और विचारों का प्रसार/Spread of goods technologies and ideas
Explanation
Simple Explanation
व्यापार मार्ग वस्तुओं के साथ तकनीक और विचार भी फैलाते थे। परीक्षा में व्यापार को सांस्कृतिक संपर्क से जोड़ें। / Trade routes spread technologies and ideas along with goods. Link trade with cultural contact.
विक्रमशिला वज्रयान और उच्च बौद्ध अध्ययन से जुड़ा केंद्र था। पाल कालीन शिक्षा संस्थानों को शाखाओं के साथ याद रखें। / Vikramshila was a centre linked with Vajrayana and higher Buddhist studies. Remember Pala period learning centres with their branches.
A. सृजन संरक्षण और संहार के रूप/Creative protective and destructive aspects
Explanation
Simple Explanation
महेशमूर्ति शिव के अनेक रूपों और शक्तियों को दर्शाती है। एलिफेंटा को शैव दर्शन और शैलकृत कला से जोड़ें। / Maheshmurti represents multiple aspects and powers of Shiva. Link Elephanta with Shaiva philosophy and rock cut art.
A. क्योंकि इसमें जमींदारी शोषण वेत्ती और रियासती सत्ता के विरोध जुड़े थे/Because it involved opposition to landlord exploitation vetti and princely power
Explanation
Simple Explanation
तेलंगाना संघर्ष सामाजिक-आर्थिक और राजनीतिक शोषण के खिलाफ था। इसे निजाम क्षेत्र के किसान आंदोलन से जोड़ें। / The Telangana struggle was against socio-economic and political exploitation. Link it with peasant movement in the Nizam's territory.
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय/Civil rights and economic justice along with political freedom
Explanation
Simple Explanation
कराची प्रस्तावों ने भविष्य के भारत के अधिकार और न्याय की दिशा दिखाई। परीक्षा में मौलिक अधिकार और आर्थिक कार्यक्रम याद रखें। / Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
A. क्योंकि भारत पर आयोग में कोई भारतीय सदस्य नहीं था/Because a commission on India had no Indian member
Explanation
Simple Explanation
साइमन कमीशन भारतीयों के लिए अपमानजनक माना गया। परीक्षा में साइमन गो बैक नारा याद रखें। / The Simon Commission was considered insulting by Indians. Exam tip is to remember the slogan Simon Go Back.
A. भारतीयों में राजनीतिक एकता और अधिकारों की मांग/Political unity and demand for rights among Indians
Explanation
Simple Explanation
इंडियन एसोसिएशन ने कांग्रेस से पहले राजनीतिक जागरूकता को बढ़ाया। परीक्षा में प्रारंभिक राजनीतिक संस्थाओं की भूमिका समझें। / The Indian Association increased political awareness before Congress. Exam tip: understand the role of early political associations.
महामात्र विभिन्न प्रशासनिक क्षेत्रों में नियुक्त उच्च अधिकारी थे। परीक्षा में धम्म महामात्र को इसी श्रेणी के विशेष अधिकारी के रूप में याद रखें। / Mahamatras were high officials appointed in different administrative areas. For exams, remember Dhamma Mahamatras as a special type within this category.
A. राष्ट्रवादी भावनाओं को सफल करने के लिए संगठित राज्य शक्ति निर्णायक हो सकती है/Organized state power can be decisive in making nationalist feelings successful
Step 1
Concept
जर्मनी में प्रशा ने नेतृत्व किया। / Prussia led in Germany.
Step 2
Why this answer is correct
इटली में सार्डिनिया पीडमॉंट ने नेतृत्व किया। / Sardinia Piedmont led in Italy.
Step 3
Exam Tip
इससे पता चलता है कि राष्ट्रवाद को सफल बनाने में मजबूत राज्य की भूमिका महत्त्वपूर्ण रही। / This shows that a strong state played an important role in making nationalism successful.
A. राष्ट्रीय पहचान तभी सकारात्मक रहती है जब वह दूसरों की स्वतंत्रता और गरिमा का सम्मान करे/National identity remains positive only when it respects the freedom and dignity of others
Step 1
Concept
राष्ट्रीय पहचान एकता और आत्मसम्मान दे सकती है। / National identity can give unity and self-respect.
Step 2
Why this answer is correct
जब वह दूसरों पर प्रभुत्व चाहती है तो संघर्ष बढ़ता है। / When it seeks domination over others, conflict increases.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सम्मान और समानता वाला राष्ट्रवाद अधिक सकारात्मक माना जाता है। / Therefore, nationalism based on respect and equality is more positive.
A. साम्राज्यवादी प्रभाव और स्लाव समुदायों से जुड़ाव/Imperial influence and connection with Slavic communities
Step 1
Concept
रूस बाल्कन में अपना प्रभाव बढ़ाना चाहता था। / Russia wanted to increase its influence in the Balkans.
Step 2
Why this answer is correct
वह स्लाव समुदायों से सांस्कृतिक जुड़ाव का दावा भी करता था। / It also claimed cultural links with Slavic communities.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रूस की भूमिका को साम्राज्यवादी हित और जातीय संबंध दोनों से समझें। / Understand Russia's role through both imperial interest and ethnic connection.
B. जैविक विविधता और प्राकृतिकता कमजोर होगी/Organic variety and naturalness will weaken
Explanation
Simple Explanation
प्रकृति में आकारों में सूक्ष्म अंतर होता है। परीक्षा में प्राकृतिक रूपों में अनियमितता याद रखें। / Natural forms have subtle variation. Exam tip: remember irregularity in natural forms.
शेष प्रमेय से (p(-1)=7), इसलिए (-2+k+11+5=7)। इससे (k=-7) नहीं बल्कि (k=-7) आता है, इसलिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / By the remainder theorem (p(-1)=7), so (-2+k+11+5=7). This gives (k=-7), so none of the listed options is correct.
शेष प्रमेय से (p(-1)=0), इसलिए (-2-5-m+6=0) और (m=-1) नहीं, सही समीकरण (-1-m=0) देता है (m=-1)। / By remainder theorem (p(-1)=0), so (-2-5-m+6=0), giving (-1-m=0) and (m=-1). Always check signs carefully.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (9) है, इसलिए संख्या में (9) जोड़ने पर वह तीनों भाजकों से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (9), so adding (9) to the number makes it exactly divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(72), (90) और (126) का लघुत्तम समापवर्त्य (2520) है, इसलिए संख्या (2520-9=2511) होगी। / The LCM of (72), (90), and (126) is (2520), so the number is (2520-9=2511).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हो, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When each remainder is equally less than the divisor, subtract that common difference from the LCM.
हर संख्या से (16) घटाएँ, ताकि (720), (1120) और (1520) मिलें। / Subtract (16) from each number to get (720), (1120), and (1520).
Step 2
Why this answer is correct
इन तीनों का महत्तम समापवर्तक (80) है, इसलिए सबसे बड़ी संख्या (80) होगी। / The HCF of these three numbers is (80), so the greatest number is (80).
Step 3
Exam Tip
निश्चित शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाकर महत्तम समापवर्तक निकालें। / In fixed-remainder questions, subtract the remainder first and then find the HCF.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), \(315=3^2\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9450) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(315=3^2\times5\times7\), so the LCM is (9450).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
संख्या में से (17) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (17) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), \(96=2^5\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (960) है। अतः संख्या (960+17=977) है। / \(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), and \(96=2^5\times3\), so the LCM is (960). Hence the number is (960+17=977).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(45), (75) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (450) है, इसलिए संख्या (450-7=443) है। / The LCM of (45), (75), and (90) is (450), so the number is (450-7=443).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / Spot the common difference and subtract it from the LCM.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), \(280=2^3\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5\times7=840\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), and \(280=2^3\times5\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times5\times7=840\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
संख्या में से (15) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (15) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), \(88=2^3\times11\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times5\times7\times11=3080\) है। अतः संख्या (3080+15=3095) है। / \(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), and \(88=2^3\times11\), so LCM \(=2^3\times5\times7\times11=3080\). Hence the number is (3080+15=3095).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
समान शेष के लिए संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। / For the same remainder, take the HCF of the differences.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर (1018-742=276), (1450-1018=432) और (1450-742=708) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (12) है। / The differences are (276), (432), and (708); their HCF is (12).
Step 3
Exam Tip
मूल संख्याओं का नहीं, उनके अंतरों का महत्तम समापवर्तक लें। / Use the differences, not the original numbers directly.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (54) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (540) है, इसलिए संख्या (540-7=533) है। / The LCM of (36), (54), and (90) is (540), so the number is (540-7=533).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / In such questions, identify the common difference and subtract it from the LCM.
हर स्थिति में भाजक और शेष का अंतर (5) है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह (48), (72) और (120) से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, the difference between divisor and remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by (48), (72), and (120).
Step 2
Why this answer is correct
इनका लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (720-5=715) होगी। / Their LCM is (720), so the smallest number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानना गणना को बहुत आसान बना देता है। / In such questions, spotting the common difference makes the calculation much easier.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(216=2^3\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5=2160\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(216=2^3\times3^3\), so LCM \(=2^4\times3^3\times5=2160\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
हर स्थिति में भाजक से शेष घटाने पर (5) बचता है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (48) और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए संख्या (720-5=715) है। / The LCM of (36), (48), and (60) is (720), so the number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When remainders are equally less than divisors, subtract that difference from the LCM.
समान शेष के लिए दी गई संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक लेते हैं। / For the same remainder, take the HCF of the differences of the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर (654-489=165), (909-654=255) और (909-489=420) हैं; इनका महत्तम समापवर्तक (15) है। / The differences are (165), (255), and (420); their HCF is (15).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले बड़े भाजक के प्रश्न में मूल संख्याओं के अंतरों पर काम करें। / In same-remainder divisor questions, work with differences.
संख्या से (11) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / After subtracting (11), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। अतः संख्या (288+11=299) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2=288\). Hence the number is (288+11=299).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
संख्या में से (9) घटाने पर वह (28), (42) और (56) से विभाजित होगी। / Subtracting (9) makes the number divisible by (28), (42), and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), \(56=2^3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times7=168\) है। अतः संख्या (168+9=177) होगी। / \(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), and \(56=2^3\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times7=168\). Hence the number is (168+9=177).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
संख्या से (4) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। / After subtracting (4), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(21), (28), (36) का लघुत्तम समापवर्त्य (252) है, इसलिए संख्या (252+4=256) होगी। / The LCM of (21), (28), and (36) is (252), so the number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / In common-remainder questions, find the LCM first.
संख्या में से (4) घटाने पर वह (21), (28) और (36) से विभाजित होगी। / Subtracting (4) makes the number divisible by (21), (28), and (36).
Step 2
Why this answer is correct
\(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times7=252\) है। अतः सबसे छोटी संख्या (252+4=256) है। / \(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times7=252\). Hence the smallest number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ना न भूलें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), \(112=2^4\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5\times7=1680\) है। / \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), and \(112=2^4\times7\), so LCM \(=2^4\times3\times5\times7=1680\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For the smallest divisible number, use LCM.
संख्या में से (7) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। / Subtracting (7) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। अतः संख्या (1080+7=1087) है। / \(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\). Hence the number is (1080+7=1087).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का मतलब संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा संभव मान हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य होगा। / The smallest possible value is always the LCM.
संख्या में से (3) घटाने पर वह (16), (20) और (25) से विभाजित होगी। / Subtracting (3) makes the number divisible by (16), (20), and (25).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), \(25=5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times5^2=400\) है। अतः संख्या (400+3=403) है। / \(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), and \(25=5^2\), so LCM \(=2^4\times5^2=400\). Hence the number is (400+3=403).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
यदि शेष (5) है, तो संख्या से (5) घटाने पर वह (18), (24) और (30) से विभाजित होगी। / If the remainder is (5), then subtracting (5) makes the number divisible by (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
इनका लघुत्तम समापवर्त्य (360) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (360+5=365) होगी। / Their LCM is (360), so the smallest number is (360+5=365).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाएँ। / For common remainder questions, subtract the remainder first.
हर बार शेष (0) का अर्थ है कि संख्या सभी दी गई संख्याओं से विभाजित होगी। / Remainder (0) means the number is divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(75=3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(75=3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For the smallest such number, use LCM.
शेषफल (5) हटाने पर संख्याएँ (132), (180), और (252) मिलती हैं। / Subtract the remainder (5) from each number to get (132), (180), and (252).
Step 2
Why this answer is correct
इनका महत्तम समापवर्तक निकालें। \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), इसलिए समान भाग \(2^2\times 3=12\) है। / Find their HCF. \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), so the common part is \(2^2\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले प्रश्न में पहले शेषफल घटाएँ। / In same-remainder problems, subtract the remainder first.
दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। / Check the squares of the given remainders.
Step 2
Why this answer is correct
\(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। / \(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें। / Write possible remainders without repeating them.
