100 results found for "ap-sum-polynomial" in Class 10.
C. (968)
शर्तों से (a=8) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{16}=968\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=8) and (d=7), so \(S_{16}=968\). Convert the given term and sum into two equations.
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C. (707)
शर्तों से (a=18) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{14}=707\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=18) and (d=5), so \(S_{14}=707\). Convert the given term and sum into two equations.
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C. (402)
शर्तों से (a=6) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{12}=402\)। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=6) and (d=5), so \(S_{12}=402\). Convert the given term and sum into two equations.
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If \(S_n=4n^2-n\) is the sum of an arithmetic progression, what is the sum of the first (12) terms?
B. (564)
दिए गए सूत्र में (n=12) रखने पर \(S_{12}=564\) मिलता है। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=12) in the given formula gives \(S_{12}=564\). Exam tip: directly substitute (n) in the given \(S_n\).
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C. (2295)
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
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C. (35)
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
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C. (3000)
\(a_{21}+a_{40}=a_1+a_{60}=300\), इसलिए (20) पदों का योग (3000) है। सममित पदों का योग बराबर होता है। / \(a_{21}+a_{40}=a_1+a_{60}=300\), so the sum of (20) terms is (3000). Sums of symmetric terms are equal in an AP.
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If the sum of an AP is \(S_n=8n^2-3n\), find the sum from the (51)st term to the (70)th term.
D. (19140)
आवश्यक योग \(S_{70}-S_{50}=19140\) है। \(S_n\) दिए होने पर सीमा-योग सीधे घटाव से निकालें। / The required sum is \(S_{70}-S_{50}=19140\). When \(S_n\) is given, find a range sum directly by subtraction.
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B. (34)
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
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B. (2100)
\(a_{11}+a_{30}=a_1+a_{40}=210\), इसलिए (20) पदों का योग (2100) है। सममित पदों का योग बराबर होता है। / \(a_{11}+a_{30}=a_1+a_{40}=210\), so the sum of (20) terms is (2100). Sums of symmetric terms are equal in an AP.
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If the sum of an AP is \(S_n=6n^2+n\), find the sum from the (31)st term to the (45)th term.
D. (6765)
आवश्यक योग \(S_{45}-S_{30}=6765\) है। \(S_n\) दिए होने पर range sum सीधे घटाव से निकालें। / The required sum is \(S_{45}-S_{30}=6765\). When \(S_n\) is given, find a range sum directly by subtraction.
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D. (32)
\(4160=\frac{n}{2}\times260\) से (n=32) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(4160=\frac{n}{2}\times260\), (n=32). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
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If the sum of an AP is \(S_n=7n^2-4n\), find the sum from the (21)st term to the (30)th term.
A. (3460)
आवश्यक योग \(S_{30}-S_{20}=3460\) है। \(S_n\) दिए होने पर range sum सीधे घटाव से निकालें। / The required sum is \(S_{30}-S_{20}=3460\). When \(S_n\) is given, find a range sum directly by subtraction.
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D. (24)
\(1800=\frac{n}{2}\times150\) से (n=24) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(1800=\frac{n}{2}\times150\), (n=24). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
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D. (1089)
योग \(S_{20}-S_{11}=1089\) होगा। (12)वें से शुरू होने पर (11) पदों तक का योग घटाना होता है। / The sum is \(S_{20}-S_{11}=1089\). When starting from the (12)th term, subtract the sum up to (11) terms.
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C. (100)
छठे से दसवें पदों का योग (145-45=100) है। कुल योग में से पहले भाग का योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is (145-45=100). Subtract the first part from the total sum.
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C. (135)
सातवें से बारहवें पदों का योग \(S_{12}-S_6=135\) है। बीच के पदों का योग कुल योगों के अंतर से निकालें। / The sum of the (7)th to (12)th terms is \(S_{12}-S_6=135\). Find the sum of middle terms by subtracting partial sums.
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C. (13)
\(a_1=S_1=9\) और \(a_2=S_2-S_1=13\) इसलिए (d=4) और (a+d=13)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) से शुरुआत करें। / \(a_1=S_1=9\) and \(a_2=S_2-S_1=13\), so (d=4) and (a+d=13). Exam tip: start with \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
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A. 2
x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ मिलता है, वही बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं। यहाँ दिए बिंदुओं के अनुसार शून्यक x=4 (स्पर्श) और x=-2 (कटान) हैं। इसलिए उनका साधारण योग 4+(-2)=2 होता है। नोट: 'स्पर्श' का अर्थ उस शून्यक की गुणांकता (multiplicity) सम (even) हो सकती है; यदि आप गुणांकता के साथ योग कर रहे हों और x=4 द्विगुणक हो तो 4+4+(-2)=6 बनता, इसलिए विकल्प 6 उसी त्रुटि से आता है। परीक्षा टिप: बिना गुणांकता बताये सामान्यतः शून्यकों के मानों का सीधा योग लें और स्पर्श बिंदु को भी शून्यक मानें। / Points where the graph meets the x-axis are the polynomial's zeroes. Here the zeroes are x=4 (touches) and x=-2 (crosses), so their simple sum is 4+(-2)=2. Note: a "touch" usually means the root has even multiplicity; if you summed roots with multiplicity and x=4 were a double root you would get 4+4+(-2)=6, which is why option 6 is a plausible but incorrect interpretation. Exam tip: unless multiplicities are specified, add the x-coordinates of the intercepts (count touching points as roots).
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A. (r+s+t)
शून्यक पहले निर्देशांक (r), (s), (t) हैं। टिप: प्रतीकात्मक बिंदुओं में भी पहला निर्देशांक पढ़ें। / The zeroes are the first coordinates (r), (s), (t). Tip: read the first coordinate even in symbolic points.
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C. 0
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
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How many real zeros does the constant polynomial \(p(x)=5\) have?
A. शून्यZero
स्थिर बहुपद \(p(x)=5\) का ग्राफ रेखा \(y=5\) है जो \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। वास्तविक शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ \(p(x)=0\)। यहाँ \(5=0\) सम्भव नहीं है, इसलिए कोई भी वैसा \(x\) नहीं मिलेगा। इसीलिए वास्तविक शून्यक की संख्या शून्य है। निकटतम विचलन जैसे “एक” गलत है क्योंकि इससे तर्क यह होगा कि किसी विशेष \(x\) पर बहुपद शून्य होगा — पर ऐसा कोई समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य देखने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) लगा कर हल करें; यदि स्थिर मान शून्य नहीं है तो शून्यक नहीं होंगे। / The graph of the constant polynomial \(p(x)=5\) is the horizontal line \(y=5\), parallel to the x-axis. Real zeros are values of \(x\) for which \(p(x)=0\). Since the equation \(5=0\) has no solution, there is no real \(x\) with \(p(x)=0\). Therefore the number of real zeros is zero. The distractor “one” is incorrect because it assumes some \(x\) makes the polynomial zero, which is impossible here. Exam tip: To check zeros, set \(p(x)=0\) — for nonzero constants this immediately shows there are none.
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If \(p(x)\) is the zero polynomial, which statement about its graph is correct?
A. आलेख केवल x-अक्ष हैThe graph is the x-axis itself
शून्य बहुपद का अर्थ है कि सभी x के लिए \(p(x)=0\)। अतः आलेख उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनका स्थानाङ्क \((x,0)\) है — यही x-अक्ष है। विकल्प C गलत है क्योंकि "x-अक्ष के ऊपर" होने का अर्थ \(y>0\) होगा, जो यहाँ सत्य नहीं है; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=0\) है और विकल्प D का तर्क सीधे विरुद्ध है (आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है)। परीक्षण सुझाव: शून्य बहुपद हमेशा स्थायी 0 देता है, इसका ग्राफ हमेशा x-अक्ष ही होगा। / The zero polynomial means \(p(x)=0\) for every real x, so its graph is the set of points \((x,0)\) — i.e. the x-axis. Option C is wrong because "above the x-axis" implies \(y>0\), which is not true here; option B is incorrect because the y-axis is the vertical line \(x=0\); option D contradicts the definition since the graph actually coincides with the x-axis. Exam tip: remember zero polynomial = constant 0, graph = x-axis.
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If the polynomial is given by \\(p(x)=5\\), which statement about its graph is correct?
C. यह \\(x\\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटताIt is parallel to the x-axis and does not intersect it
यदि \\(p(x)=5\\), तो बहुपद एक स्थिर (constant) है और उसका आलेख क्षैतिज रेखा \\(y=5\\) होता है। इस रेखा का y-मान कभी \\0\\ नहीं होगा, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है और यह \\(x\\)-अक्ष को नहीं काटती। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि वे कम से कम एक ऐसा x मान मान लेते हैं जिसके लिए \\(p(x)=0\\ होना चाहिए, जो असंभव है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि उसका अर्थ होता कि हर x पर \\(p(x)=0\\, जो \\(p(x)=5\\) से विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: कोई भी गैर-शून्य स्थिर बहुपद (degree 0) का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / For \\(p(x)=5\\) the polynomial is a nonzero constant, so its graph is the horizontal line \\(y=5\\). Since y never equals \\0\\, the graph does not meet the x-axis and there are no real zeros. Options A and B would require at least one x with \\(p(x)=0\\, which is impossible here; option D wrongly asserts \\(p(x)=0\\ for every x. Exam tip: a nonzero constant polynomial has degree \\0\\ and no real roots (zeros).
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D. (10)
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
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D. (4)
बराबर आकार के दो खंडों के योगों का अंतर (225d) है इसलिए (d=4)। परीक्षा में समान लंबाई वाले खंडों की तुलना तेज तरीका है। / The difference between the sums of two equal blocks is (225d), so (d=4). Exam tip: comparing equal-length blocks is a fast method.
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B. (5)
दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए \(d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}\) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से \(d=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें। / The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
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A. (705)
दिए गए सूत्र में (n=15) रखने पर (S_{15}=3(15)2+2(15)=705)। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=15) gives (S_{15}=3(15)2+2(15)=705). Exam tip: when \(S_n\) is given directly, substitute (n) first.
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B. (24)
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में पहले समीकरण को सरल वर्ग समीकरण में बदलें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) gives (n=24). Exam tip: first reduce the equation to a simple quadratic.
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In the AP \(4,11,18,\ldots\), what is the sum from the (25)th term to the (60)th term?
A. (10602)
आवश्यक योग \(S_{60}-S_{24}=10602\) है। बीच के पदों का योग निकालते समय ठीक पिछले पद तक का योग घटाएँ। / The required sum is \(S_{60}-S_{24}=10602\). For a middle range, subtract the sum up to the term just before it.
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In the AP \(25,33,41,\ldots\), find the sum from the (40)th term to the (70)th term.
B. (14167)
आवश्यक योग \(S_{70}-S_{39}=14167\) है। दी गई सीमा से ठीक पहले तक का योग घटाना न भूलें। / The required sum is \(S_{70}-S_{39}=14167\). Do not forget to subtract the sum just before the given range.
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C. (1067)
आवश्यक योग \(S_{22}-S_{11}=1067\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से मिलता है। / The required sum is \(S_{22}-S_{11}=1067\). The sum of consecutive terms is found by subtracting partial sums.
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In the AP \(8,14,20,\ldots\), what is the sum from the (18)th term to the (36)th term?
A. (3116)
आवश्यक योग \(S_{36}-S_{17}=3116\) है। बीच के पदों का योग निकालने के लिए पिछले आंशिक योग को घटाएँ। / The required sum is \(S_{36}-S_{17}=3116\). To find a middle block sum, subtract the previous partial sum.
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In the AP \(18,25,32,\ldots\), find the sum from the (30)th term to the (55)th term.
A. (8021)
आवश्यक योग \(S_{55}-S_{29}=8021\) है। दी गई सीमा से ठीक पहले तक का योग घटाना न भूलें। / The required sum is \(S_{55}-S_{29}=8021\). Do not forget to subtract the sum just before the given range.
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If in an AP \(S_{18}=810\) and \(S_9=270\), what is the sum from the (10)th term to the (18)th term?
D. (540)
आवश्यक योग \(S_{18}-S_9=540\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से मिलता है। / The required sum is \(S_{18}-S_9=540\). The sum of consecutive terms is found by subtracting partial sums.
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In the AP \(3,10,17,\ldots\), what is the sum from the (15)th term to the (32)nd term?
B. (2889)
मांगा गया योग \(S_{32}-S_{14}=2889\) है। बीच के पदों का योग निकालने के लिए पिछले आंशिक योग को घटाएँ। / The required sum is \(S_{32}-S_{14}=2889\). To find a middle block sum, subtract the previous partial sum.
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In the AP \(12,17,22,\ldots\), find the sum from the (21)st term to the (40)th term.
A. (3190)
आवश्यक योग \(S_{40}-S_{20}=3190\) है। दी गई सीमा से ठीक पहले तक का योग घटाना न भूलें। / The required sum is \(S_{40}-S_{20}=3190\). Do not forget to subtract the sum just before the given range.
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In the AP \(6,10,14,\ldots\), what is the sum from the (4)th term to the (25)th term?
B. (1320)
यह योग \(S_{25}-S_3=1320\) है। (4)वें पद से शुरू होने पर पहले (3) पदों का योग घटाएँ। / This sum is \(S_{25}-S_3=1320\). When starting from the (4)th term, subtract the sum of the first (3) terms.
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If the sum of zeroes is (-4) and product is (7), which is the monic quadratic polynomial?
A. \(x^2+4x+7\)
\(मोनिक द्विघात (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) होता है। इसलिए (x-2-(-4)x+7=x-2+4x+7) है। \(/ A monic quadratic is (x^2-(\)sum)x+product\(). Hence (x^2-(-4)x+7=x^2+4x+7).\)
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Which polynomial has zeroes with sum \(5\sqrt{2}\) and product (12)?
A. \(x^2-5\sqrt{2}x+12\)
बहुपद \(x^2-Sx+P\) होता है। यहाँ \(S=5\sqrt{2}\) और (P=12) हैं। / The polynomial is \(x^2-Sx+P\). Here \(S=5\sqrt{2}\) and (P=12).
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A. 3
ग्राफ के शून्यक x = 7 और x = -4 हैं। स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है (समान्यतः सम घातांक — multiplicity — पर स्पर्श होता है), इसलिए शून्यकों का योग 7 + (−4) = 3 है। विकल्प B (11) तब होता यदि दोनों मानों का परस्पर संकेत न लिया जाता; विकल्प D (−3) केवल संकेत उल्टा करने पर मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ का स्पर्श बिंदु भी शून्यक माना जाता — केवल स्पर्श या क्रॉस होने से उसके मान में कोई बदलाव नहीं आता, केवल घातांक (multiplicity) बदलता है। / The zeros are x = 7 and x = −4. A touching point still gives a zero (typically with even multiplicity), so the sum is 7 + (−4) = 3. Option B (11) would arise if you added absolute values 7 + 4 ignoring the sign; option D (−3) is the negative of the correct sum. Exam tip: count a touching point as a root — touching vs crossing affects multiplicity (shape), not the x-value of the zero.
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A. 2
स्पर्श करने और काटने दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक होने का संकेत हैं; इसलिए शून्यक x-निर्देशांक 5 और -3 हैं। उन दोनों का योग 5 + (−3) = 2 है। नज़दीकी ग़लत विकल्प पर टिप्पणी: −2 केवल साइन में उलट है जबकि 8 और −8 गणना‑त्रुटि या परिमाणों का जोड़ है। परीक्षा की युक्ति: किसी बिंदु पर स्पर्श भी शून्यक माना जाता है; शून्यक की मानों को सीधे जोड़ें। / Both touching and crossing at the x-axis indicate roots; the roots (x-coordinates) are 5 and −3. Their sum is 5 + (−3) = 2. Note on distractors: −2 is a sign error, while 8 or −8 result from arithmetic or absolute-value mistakes. Exam tip: A touching point is still a root—use the x-coordinates of the intercepts to find the sum of zeros unless multiplicities are explicitly counted.
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A. 3
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
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B. 4
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
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If the graph cuts the x-axis at the points (-5, 0) and (2, 0), what is the sum of the zeroes?
A. -3
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x‑मान ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक −5 और 2 हैं, अतः उनका योग (−5)+2 = −3। विकल्प B (3) उस स्थिति में गलत होगा जब केवल मानों का चिह्न उल्टा ले लिया गया हो; विकल्प C (7) तब आता है जब मात्र परिमाणों को जोड़ा गया हो (|−5|+|2|), अतः वे गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं से सीधे x‑समन्वय लें और जोड़ें। / The x-coordinates of the points where the graph meets the x-axis are the zeroes. Here the zeroes are −5 and 2, so the sum is (−5)+2 = −3. Option B (3) would be a sign error; option C (7) corresponds to adding absolute values (|−5|+|2|) and is therefore incorrect. Exam tip: directly take the x-values of the intercepts as the roots and add them.
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What is the graph of the zero polynomial \(p(x)=0\)?
A. पूरा x-अक्षThe entire x-axis
शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक वास्तविक x के लिए y का मान 0 होगा। इसलिए ग्राफ उन सभी बिंदुओं का समूह है जो रूप में हैं \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) — अर्थात् पूरा x-अक्ष। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष के बिंदु \((0,y)\) का सामान्य रूप y=0 नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि अनगिनत बिंदु मौजूद हैं (हर x पर y=0)। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल मूल बिंदु नहीं बल्कि हर x पर बिंदु मौजूद हैं। परीक्षा टिप: जब किसी बहुपद को शून्य बताया जाए तो याद रखें वह "पहचान के बराबर शून्य" है यानी हर x पर y=0। / The zero polynomial \(p(x)=0\) yields y=0 for every real x, so its graph is the set \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\), i.e. the entire x-axis. Option B is incorrect because the y-axis consists of points \((0,y)\), not points with y=0. Option C is wrong because there are infinitely many points (one for each x). Option D is wrong because the graph is not just the origin but all points with y=0. Exam tip: For an identically zero polynomial check values for all x — the graph will be the horizontal line y=0 (the x-axis).
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B. तीनThree
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
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C. चतुर्थ घात बहुपदFourth degree polynomial
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
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In which situation will (-6) be a zero of a polynomial?
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटेThe graph cuts the x-axis at (-6, 0)
किसी संख्या a का बहुपद में शून्यक होने का अर्थ है p(a)=0। यदि (-6) शून्यक है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटेगा क्योंकि उस x के लिए y का मान 0 होगा। विकल्प B का अर्थ है p(0) = -6 (x = 0 पर y = -6) — शून्य नहीं। विकल्प C में चिन्ह गलत है (+6), और विकल्प D में y = 6 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक की पहचान के लिए हमेशा देखिए कि किस x पर y = 0 होता है। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If (-6) is a zero, the graph meets the x-axis at (-6, 0) because the y-value there is 0. Option B means p(0) = -6 (y ≠ 0 at x=0). Option C has the wrong sign (+6 instead of -6). Option D gives y = 6 at x = -6, so not a root. Exam tip: zeros correspond specifically to x-intercepts (points where y = 0).
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In the zero polynomial \(p(x)=0\), what is every \(x\)-value called?
A. शून्यकroot (zero of the polynomial)
शून्य बहुपद की परिभाषा ऐसी बहुपद के लिए है जिसका मान हर \(x\) पर \(0\) होता है। इसलिए हर वास्तविक संख्या उस बहुपद का शून्यक (root) होती है। गलत विकल्पों में से विशेषकर "कोई शून्यक नहीं" गलत है क्योंकि वह स्थिति सीधा विरोध करती है — शून्य बहुपद की मान हर जगह शून्य है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को 'identically zero' कहा जाता है और इसकी हर संख्या शून्यक होती है; इसे दूसरे बहुपदों के शून्य (isolated roots) से अलग समझें। / By definition the zero (identically zero) polynomial satisfies \(p(x)=0\) for every \(x\), so every number is a root (zero) of the polynomial. Distractors are wrong: for example "not a root" is false because the polynomial equals \(0\) at every \(x\). Exam tip: remember the zero polynomial is identically zero and therefore has infinitely many roots (every value of \(x\)); this is a special case when discussing degree and roots.
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A. शून्यZero
यदि बहुपद का रूप \(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
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If \(p(0)=4\), is \(0\) a zero (root) of the polynomial \(p(x)\)?
A. नहींNo
किसी भी संख्या a के लिए वह शून्यक तभी होगी जब \(p(a)=0\)। यहाँ हम a=0 पर देखते हैं: दिया है \(p(0)=4\), जो कि शून्य नहीं है; इसलिए 0 शून्यक नहीं है। विकल्प C सामान्य शर्त सही बताता है (यदि स्थायी पद = \(p(0)\) शून्य हो तो 0 शून्यक होगा), पर दिया हुआ मान इसका उल्टा दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए शून्यक की परिभाषा एक समान रहती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रत्याशित शून्यक a के लिए सीधे बहुपद में a रखकर \(p(a)\) की गणना करें — यदि परिणाम 0 आया तभी वह शून्यक है। / A number a is a root of a polynomial exactly when \(p(a)=0\). Here for a=0 we have \(p(0)=4\), which is not zero, so 0 is not a root. Option C describes the correct general condition (the constant term equals \(p(0)\) must be zero), but given \(p(0)=4\) that condition is not met. Option D is incorrect because root-criterion does not depend on the polynomial being linear. Exam tip: To test if x=a is a root, substitute a into \(p(x)\) and check whether the value equals 0.
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If \(p(6)=0\), at which point does the polynomial graph intersect the x-axis?
A. (6,0)
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
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If the graph of a polynomial crosses the x-axis at (0,0), what is one zero of the polynomial?
A. 0
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
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B. (1840)
वांछित योग \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\) है। परीक्षा में (m)वें से (n)वें तक का योग \(S_n-S_{m-1}\) होता है। / The required sum is \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\). Exam tip: the sum from the (m)th to (n)th term is \(S_n-S_{m-1}\).
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A. (544)
\(t_5=64\) और \(t_{20}=4\) हैं इसलिए योग (\frac{16}{2}(64+4)=544) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_5=64\) and \(t_{20}=4\), so the sum is (\frac{16}{2}(64+4)=544). Exam tip: count the selected terms correctly.
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An arithmetic progression has (29) terms and its middle term is (48). What is the sum of all terms?
A. (1392)
विषम संख्या पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें। / For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.
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B. ( -8 )
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
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D. (720)
(S_n=3n(31-n)) है और (n=15) या (n=16) पर अधिकतम (720) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / (S_n=3n(31-n)), and the maximum (720) occurs at (n=15) or (n=16). Exam tip: check integer values near the vertex.
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What is the sum of natural numbers from (1) to (140) that are not divisible by (7)?
A. (8400)
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
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B. (11)
चुने गए (12) पदों का योग (6(2a+245)=1602) देता है इसलिए (a=11)। परीक्षा में चयनित भाग को अलग समान्तर श्रेणी मानें। / The selected (12) terms give (6(2a+245)=1602), so (a=11). Exam tip: treat the selected part as a separate AP.
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D. (1100)
दो समीकरणों से (a=-2) और (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{20}=1100\)। परीक्षा में पदों के योग को (a) और (d) में बदलें। / The two equations give (a=-2) and (d=6), so \(S_{20}=1100\). Exam tip: convert term sums into (a) and (d).
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What is the sum of the multiples of (11) from (44) to (297)?
A. (4092)
यह समान्तर श्रेणी \(44,55,\ldots,297\) है जिसमें (24) पद हैं। परीक्षा में पहले पदों की संख्या निकालें। / This is the AP \(44,55,\ldots,297\) with (24) terms. Exam tip: find the number of terms first.
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B. (34)
(S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) धनात्मक होने पर अधिकतम (n=34) है। परीक्षा में असमानता हल करके पूर्णांक सीमा लें। / (S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) is positive up to (n=34). Exam tip: solve the inequality and then take the integer limit.
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A. (2470)
\(t_8=67\), \(t_{26}=193\) और कुल (19) पद हैं इसलिए योग (2470) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_8=67\), \(t_{26}=193\), and there are (19) terms, so the sum is (2470). Exam tip: count the selected terms correctly.
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C. (205)
\(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1854-1649=205\) है। परीक्षा में किसी पद के लिए लगातार दो योग घटाएं। / \(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1854-1649=205\). Exam tip: subtract two consecutive sums to find a term.
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A. (931)
दो पदों से (d=5) और (a=4) मिलता है इसलिए \(S_{19}=931\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें। / The two terms give (d=5) and (a=4), so \(S_{19}=931\). Exam tip: find (a) and (d) first.
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An arithmetic progression has (31) terms and the middle term is (44). What is the sum of all terms?
B. (1364)
विषम पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें। / For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.
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D. (1600)
\(t_6=50\) और \(t_{25}=126\) हैं इसलिए योग (\frac{20}{2}(50+126)=1760) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_6=50\) and \(t_{25}=126\), so the sum is (\frac{20}{2}(50+126)=1760). Exam tip: count the selected terms correctly.
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C. (23)
समीकरण (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) से (n=23) है। परीक्षा में \(S_n\) और \(t_n\) दोनों अलग लिखें। / The equation (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) gives (n=23). Exam tip: write \(S_n\) and \(t_n\) separately.
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What is the sum of natural numbers from (1) to (150) that are not divisible by (6)?
B. (9450)
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
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D. (901)
योग (S_n=n(103-3n)) है और (n=17) पर अधिकतम (901) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / The sum is (S_n=n(103-3n)), and the maximum (901) occurs at (n=17). Exam tip: check integer values near the vertex.
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D. (17)
(\frac{n}{2}[16+5(n-1)]=775) हल करने पर (n=17) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक पूर्णांक मूल चुनें। / Solving (\frac{n}{2}[16+5(n-1)]=775) gives (n=17). Exam tip: choose the positive integer root.
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What is the sum of numbers divisible by (12) between (75) and (255)?
C. (2592)
पद \(84,96,\ldots,252\) हैं और कुल (15) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(84,96,\ldots,252\), making (15) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
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C. (810)
वांछित योग \(S_{20}-S_{10}=1120-310=810\) है। परीक्षा में बीच के पदों के लिए कुल योगों का अंतर लें। / The required sum is \(S_{20}-S_{10}=1120-310=810\). Exam tip: use the difference of cumulative sums for middle terms.
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A. (1176)
दो पदों से (d=5) और (a=6) मिलता है इसलिए \(S_{21}=1176\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें। / The two terms give (d=5) and (a=6), so \(S_{21}=1176\). Exam tip: find (a) and (d) first.
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C. (179)
\(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1692-1513=179\) है। परीक्षा में किसी पद के लिए लगातार दो योग घटाएं। / \(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1692-1513=179\). Exam tip: subtract two consecutive sums to find a term.
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A. (1150)
दो समीकरणों से (a=10) और (d=5) मिलते हैं। परीक्षा में पदों के योग को (a) और (d) में बदलें। / The two equations give (a=10) and (d=5). Exam tip: convert term sums into (a) and (d).
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What is the sum of the multiples of (7) from (21) to (210)?
D. (3234)
यह समान्तर श्रेणी \(21,28,\ldots,210\) है जिसमें (28) पद हैं। परीक्षा में पहले पदों की संख्या निकालें। / This is the AP \(21,28,\ldots,210\) with (28) terms. Exam tip: find the number of terms first.
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C. (35)
(S_n=\frac{n}{2}(247-7n)) धनात्मक होने पर अधिकतम (n=35) है। परीक्षा में असमानता हल करके पूर्णांक सीमा लें। / (S_n=\frac{n}{2}(247-7n)) is positive up to (n=35). Exam tip: solve the inequality and then take the integer limit.
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D. (1328)
यह योग (16) पदों का है जिसमें \(t_5=38\) और \(t_{20}=128\) हैं। परीक्षा में बीच के पदों का योग छोटे भाग के रूप में निकालें। / This is the sum of (16) terms with \(t_5=38\) and \(t_{20}=128\). Exam tip: treat the required middle part as a smaller AP.
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C. (199)
\(a_{25}=S_{25}-S_{24}=199\) है। परीक्षा में किसी पद के लिए लगातार दो योग घटाएं। / \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=199\). Exam tip: subtract two consecutive sums to get a term.
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D. (837)
दो पदों से (d=5) और (a=4) मिलता है इसलिए \(S_{18}=837\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें। / The two terms give (d=5) and (a=4), so \(S_{18}=837\). Exam tip: find (a) and (d) first.
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B. (155)
\(a_{20}=S_{20}-S_{19}=1580-1425=155\) है। परीक्षा में पद निकालने के लिए दो लगातार योग घटाएं। / \(a_{20}=S_{20}-S_{19}=1580-1425=155\). Exam tip: subtract two consecutive sums to find a term.
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C. (620)
वांछित योग \(S_{20}-S_{10}=840-220=620\) है। परीक्षा में बीच के पदों का योग कुल योगों के अंतर से निकालें। / The required sum is \(S_{20}-S_{10}=840-220=620\). Exam tip: find sums of middle terms by subtracting cumulative sums.
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A. (510)
इन पदों से (d=4) और (a=6) मिलता है इसलिए \(S_{15}=510\)। परीक्षा में दो पदों का अंतर लेकर पहले (d) निकालें। / The two terms give (d=4) and (a=6), so \(S_{15}=510\). Exam tip: first find (d) from the difference of two given terms.
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C. (98)
(999=9(13+l)) से (l=98) मिलता है। परीक्षा में (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) सबसे छोटा तरीका है। / From (999=9(13+l)), (l=98). Exam tip: (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is the shortest method here.
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C. (57)
पहले (n=13) मिलता है और अंतिम पद (5+12(4)=53) नहीं बल्कि \(S_n\) की जांच से (n=17) तथा अंतिम पद (69) नहीं आता इसलिए विकल्पों में सही गणना (n=13) पर (53) है। परीक्षा में योग और अंतिम पद दोनों की दोबारा जांच करें। / Solving gives (n=13), so the last term is (5+12(4)=53). Exam tip: verify both the sum and the last term after finding (n).
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C. (11)
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से (516=6(a+75)) इसलिए (a=11)। परीक्षा में अंतिम पद दिया हो तो (a+l) वाला सूत्र तेज होता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), (516=6(a+75)), so (a=11). Exam tip: when the last term is given, use the (a+l) form.
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C. (980)
दो पदों से (d=4) और (a=3) मिलता है इसलिए \(S_{20}=980\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें फिर योग लगाएं। / From the two terms (d=4) and (a=3). Hence \(S_{20}=980\); exam tip: find (a) and (d) before applying the sum formula.
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The (n)th term of an AP is \(a_n=7n-4\). Find the sum of the first (80) terms.
C. (22360)
पहला पद (3) और (80)वाँ पद (556) है, इसलिए योग (22360) है। \(a_n\) से पहला और अंतिम पद निकालना आसान तरीका है। / The first term is (3), and the (80)th term is (556), so the sum is (22360). Finding the first and last terms from \(a_n\) is an easy method.
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B. (1485)
शर्त से (6+13d=3(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{30}=1485\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+13d=3(6+3d)), so (d=3) and \(S_{30}=1485\). Convert the term condition into an equation first.
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A. (5850)
दो पदों से (d=6) और (a=-2) मिलते हैं, इसलिए \(S_{45}=5850\) है। पहले (a,d) निकालकर योग सूत्र लगाएँ। / From the two terms, (d=6) and (a=-2), so \(S_{45}=5850\). First find (a,d), then apply the sum formula.
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If \(S_n=4n^2+3n\), find the sum from the (61)st term to the (90)th term.
A. (18090)
आवश्यक योग \(S_{90}-S_{60}=18090\) है। दिए गए \(S_n\) में सीमाओं के अनुसार सीधे घटाव करें। / The required sum is \(S_{90}-S_{60}=18090\). With given \(S_n\), subtract directly according to the limits.
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In the AP \(-40,-31,-22,\ldots\), what is the sum from the (25)th term to the (60)th term?
B. (12006)
मांगा गया योग \(S_{60}-S_{24}=12006\) है। (25)वें पद से शुरू होने पर (24) पदों तक का योग घटाएँ। / The required sum is \(S_{60}-S_{24}=12006\). When starting from the (25)th term, subtract the sum up to (24) terms.
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Find the sum of all three-digit numbers that leave remainder (7) when divided by (13).
D. (38157)
संख्याएँ \(111,124,\ldots,995\) हैं और उनका योग (38157) है। शेष वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(111,124,\ldots,995\), and their sum is (38157). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
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How many first terms of the AP \(11,20,29,\ldots\) have sum (3973)?
B. (29)
(\frac{n}{2}[22+9(n-1)]=3973) हल करने पर (n=29) मिलता है। पदों की संख्या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Solving (\frac{n}{2}[22+9(n-1)]=3973) gives (n=29). The number of terms must be a positive integer.
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If the sum of an AP is \(S_n=5n^2-4n\), find the (35)th term.
C. (341)
(35)वाँ पद \(S_{35}-S_{34}=341\) है। एक पद पाने के लिए \(S_n-S_{n-1}\) लगाएँ। / The (35)th term is \(S_{35}-S_{34}=341\). To get one term, use \(S_n-S_{n-1}\).
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In an AP, \(S_{10}=310\) and \(S_{20}=920\). Find the sum from the (21)st term to the (30)th term.
B. (910)
दिए गए योगों से AP मिलती है और \(S_{30}-S_{20}=910\) होता है। आगे के खंड का योग निकालने से पहले (a,d) तय करें। / The given sums determine the AP, and \(S_{30}-S_{20}=910\). Before finding a later block sum, determine (a,d).
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Find the sum of all numbers divisible by (19) from (200) to (1200).
A. (37259)
पहला गुणज (209), अंतिम (1197) और (53) पद हैं, इसलिए योग (37259) है। सीमा के अंदर पहला गुणज सही चुनें। / The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
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