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\(P(t)=80-5t\) में \(t\) का घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(-5\) गुणांक बताता है कि हर एक समय-इकाई पर राशि 5 घटती है। \(80+5t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(P(t)=80-5t\), the power of \(t\) is 1, so it is linear. The coefficient \(-5\) means the quantity falls by 5 per time unit. \(80+5t\) represents growth, not decay. Exam tip: for linear decay, check for a negative coefficient of \(t\).
A. समय बढ़ने पर समान समयांतरालों में राशि समान मात्रा से घटती है।
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर राशि में समान कमी होती है, इसलिए ग्राफ की ढाल स्थिर ऋणात्मक रहती है। विकल्प B घातीय क्षय है, क्योंकि उसमें हर बार आधी राशि बचती है। परीक्षा टिप: स्थिर ऋणात्मक ढाल को रैखिक क्षय पहचानें। / In linear decay, the quantity decreases by an equal amount in equal time intervals, so its graph has a constant negative slope. Option B shows exponential decay because the quantity is halved each time. Exam tip: a constant negative slope indicates linear decay.
दोनों मॉडल बराबर होने के लिए \(64+9t=184-6t\) रखें। \(6t\) को बाईं ओर लाने पर \(15t=120\) मिलता है, इसलिए \(t=8\)। \(t=7\) निकट विकल्प है, लेकिन उस समय दोनों मॉडलों के मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: एक रैखिक मॉडल बढ़ रहा और दूसरा घट रहा हो, तो उनके व्यंजकों को बराबर रखकर \(t\) हल करें। / For the models to be equal, set \(64+9t=184-6t\). Moving \(6t\) to the left gives \(15t=120\), so \(t=8\). Although \(t=7\) is a close distractor, the two model values are not equal at that time. Exam tip: when one linear model increases and the other decreases, equate their expressions and solve for \(t\).
समानता के लिए \(75+8t=219-10t\) रखें। \(10t\) को बाईं ओर लाने पर \(18t=144\) मिलता है, अतः \(t=8\)। \(t=6\) रखने पर दोनों व्यंजकों के मान समान नहीं होते, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी गलत है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजकों को बराबर करने पर \(t\) वाले पदों को एक ही ओर पहले एकत्र करें। / For equality, set \(75+8t=219-10t\). Moving \(10t\) to the left gives \(18t=144\), so \(t=8\). Substituting \(t=6\) does not give equal values, so it is incorrect despite being a close distractor. Exam tip: When equating linear expressions, collect all terms containing \(t\) on one side first.
दिया है कि \(f(x)=a+15x\) और \(f(4)=112\)। अतः \(a+15(4)=112\), यानी \(a+60=112\), इसलिए \(a=52\)। अब \(f(11)=52+15(11)=52+165=217\)। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प 232 तब मिलता यदि वृद्धि को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया \(x\)-मान रखें। / Given \(f(x)=a+15x\) and \(f(4)=112\), we get \(a+15(4)=112\). Thus, \(a+60=112\), so \(a=52\). Now \(f(11)=52+15(11)=52+165=217\). Hence, option B is correct. The value 232 can result from incorrectly adding the growth term. Exam tip: first find the unknown constant using the given function value, then substitute the required value of \(x\).
दिया है कि \(g(x)=b-13x\)। \(g(5)=116\) रखने पर \(b-13(5)=116\), अर्थात \(b-65=116\)। इसलिए \(b=181\)। अब \(g(12)=181-13(12)=181-156=25\)। अतः सही उत्तर 25 है। 38 जैसे विकल्प में घटाव की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन मान से अज्ञात नियतांक \(b\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(x\)-मान रखें। / Given \(g(x)=b-13x\), use \(g(5)=116\): \(b-13(5)=116\), so \(b-65=116\) and hence \(b=181\). Now \(g(12)=181-13(12)=181-156=25\). Therefore, 25 is correct. A value such as 38 results from an incorrect subtraction. Exam tip: first find the unknown constant \(b\) using the given function value, then substitute the required value of \(x\).
\(y=18-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) 3 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। \(18-3x^2\) में घात 2 होने से संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) में \(b<0\) ह्रास बताता है। / In \(y=18-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). This is linear decay at a constant rate. \(18-3x^2\) is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: in \(y=a+bx\), \(b<0\) indicates decay.
\(P(0)=240\) होने के लिए स्थिर पद 240 होना चाहिए और क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए \(-12t\) सही है। \(240-12t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल में चर की घात 1 जाँचें। / For \(P(0)=240\), the constant term must be 240. Uniform decay requires a negative slope, so \(-12t\) is correct. \(240-12t^2\) is not linear. Exam tip: in a linear model, the variable has power 1.
रैखिक बहुपद \(p(x)=ax+b\) में x को 1 बढ़ाने पर p(x) में \(a\) का परिवर्तन होता है। यहाँ \(a=-3\) है, इसलिए मान हर चरण में 3 घटता है। \(-3x^2+11\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(p(x)=ax+b\), increasing x by 1 changes p(x) by \(a\). Here \(a=-3\), so the value falls by 3 each step. \(-3x^2+11\) is not linear. Exam tip: a negative coefficient of x indicates linear decay.
\(12-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर राशि 2 घटती है। \(12-2x^2\) में कमी स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(12-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so the quantity decreases by 2 for every increase of 1 in x. In \(12-2x^2\), the decrease is not constant. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative coefficient of x.
दिया है: \(C(t)=55+kt\)। अतः \(C(12)=55+12k\) और \(C(5)=55+5k\)। इसलिए \(C(12)-C(5)=(55+12k)-(55+5k)=7k\)। चूँकि यह अंतर 105 है, \(7k=105\), इसलिए \(k=15\)। विकल्प 21 लेने पर अंतर \(7\times21=147\) आता, जो दिया गया 105 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद 55 कट जाता है। / Given \(C(t)=55+kt\), we have \(C(12)=55+12k\) and \(C(5)=55+5k\). Thus, \(C(12)-C(5)=(55+12k)-(55+5k)=7k\). Since this difference is 105, \(7k=105\), so \(k=15\). If \(k=21\), the difference would be \(7\times21=147\), not 105. Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term 55 cancels out.
दिया है \(D(t)=340-kt\)। अतः \(D(6)=340-6k\) और \(D(14)=340-14k\)। इसलिए \(D(6)-D(14)=(340-6k)-(340-14k)=8k\)। अब \(8k=128\), अतः \(k=16\)। विकल्प \(14\) समयों का अंतर है, दर \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर लेते समय कोष्ठक लगाकर ऋण चिह्नों का ध्यान रखें। / Given \(D(t)=340-kt\), we have \(D(6)=340-6k\) and \(D(14)=340-14k\). Hence, \(D(6)-D(14)=(340-6k)-(340-14k)=8k\). Since \(8k=128\), \(k=16\). The value \(14\) is a time input, not the rate \(k\). Exam tip: while subtracting linear expressions, use brackets to handle negative signs correctly.
यहाँ इनपुटों का अंतर
(x+7)-(x-2)=9
है। रैखिक फलन A(x)=52+9x में x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर मान 9 बढ़ता है। इसलिए 9 इकाई के अंतर के लिए मानों का अंतर 9×9=81 होगा। 72 लेने पर इनपुट का अंतर 8 मानना पड़ेगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में स्थिर पद 52 घटाव करने पर समाप्त हो जाता है; केवल x का गुणांक और इनपुटों का अंतर देखें। / The difference between the inputs is
(x+7)-(x-2)=9
. In the linear function A(x)=52+9x, the value increases by 9 for every increase of 1 in x. Therefore, for an input difference of 9, the difference in function values is 9×9=81. Choosing 72 would incorrectly treat the input difference as 8. Exam tip: in differences of a linear function, the constant term 52 cancels; use the coefficient of x and the difference between the inputs.
\(x=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान देता है, इसलिए वह 500 होना चाहिए। \(x\) का गुणांक \(-12\) स्थिर ह्रास दर्शाता है। \(x^2\) वाला पद रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में ढाल ऋणात्मक होती है। / At \(x=0\), the constant term gives the initial value, so it must be 500. The coefficient \(-12\) shows a constant decrease. A term containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: linear decay always has a negative slope.
दिया है कि \(P(t)=p+16t\)। पहले \(P(4)=125\) रखने पर \(p+16(4)=125\), अतः \(p=61\) मिलता है। अब \(P(s)=221\) से \(61+16s=221\), इसलिए \(16s=160\) और \(s=10\)। विकल्प 12 लेने पर मान \(61+16(12)=253\) आता है, जो 221 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक मॉडल में पहले अज्ञात स्थिरांक \(p\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से चर निकालें। / Given \(P(t)=p+16t\), use \(P(4)=125\): \(p+16(4)=125\), so \(p=61\). Now \(P(s)=221\) gives \(61+16s=221\). Hence \(16s=160\) and \(s=10\). For example, \(s=12\) would give \(61+16(12)=253\), not 221. Exam tip: In a linear model, find the unknown constant \(p\) first and then use the second condition to find the variable.
दिया है: R(t)=r-18t। पहले R(3)=166 रखने पर r-18(3)=166, अर्थात r-54=166 और r=220 मिलता है। अब R(s)=40 रखने पर 220-18s=40। इसलिए 18s=180, अतः s=10। विकल्प 9 लेने पर R(9)=58 होगा, 40 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद r ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे रखकर चर हल करें। / Given R(t)=r-18t. Substituting R(3)=166 gives r-18(3)=166, so r-54=166 and r=220. Now, using R(s)=40, we get 220-18s=40. Thus, 18s=180 and s=10. If s=9, then R(9)=58, not 40. Exam tip: first find the constant r from one condition, then substitute it into the second condition to solve for the variable.
प्रति चरण 12 की वृद्धि का अर्थ है कि रैखिक व्यंजक में \(x\) का गुणांक \(12\) होना चाहिए। मान लें \(y=a+12x\)। शर्त \(y(6)=101\) रखने पर \(a+12\times6=101\), अतः \(a=29\)। इसलिए \(y=29+12x\) सही है। विकल्प C में \(y(6)=101\) तो मिलता है, लेकिन उसका गुणांक \(-12\) है, इसलिए वह वृद्धि नहीं बल्कि कमी दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले ढाल/परिवर्तन-दर का चिह्न जाँचें, फिर दिया हुआ मान रखकर स्थिरांक ज्ञात करें। / An increase of 12 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(12\). Let \(y=a+12x\). Using \(y(6)=101\), we get \(a+12\times6=101\), so \(a=29\). Hence, \(y=29+12x\) is correct. Option C does give \(y(6)=101\), but its coefficient is \(-12\), so it represents decay rather than growth. Exam tip: first check the sign of the rate of change, then substitute the given value to find the constant term.
प्रति चरण 16 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-16\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-16x\) मानते हैं। शर्त \(y(5)=78\) रखने पर \(a-16(5)=78\), इसलिए \(a=158\) मिलता है। अतः \(y=158-16x\) सही विकल्प है। विकल्प A में स्थिरांक 78 है, इसलिए \(y(5)=-2\) आता है, 78 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को समीकरण में रखकर विकल्प को तुरंत जाँचें। / A decrease of 16 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-16\). So write the equation as \(y=a-16x\). Using \(y(5)=78\), we get \(a-16(5)=78\), hence \(a=158\). Therefore, \(y=158-16x\) is correct. In option A, the constant is 78, so \(y(5)=-2\), not 78. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each likely equation to check the condition quickly.
शर्त है कि \(M(t)=N(t)+24\)। अतः \(95+6t=203-6t+24\), यानी \(12t=132\), इसलिए \(t=11\)। जाँच करने पर \(M(11)=161\) और \(N(11)=137\) हैं; अंतर \(24\) है। \(t=10\) पर अंतर केवल \(12\) होगा। परीक्षा टिप: “से 24 अधिक” को हमेशा \(M-N=24\) लिखें। / The required condition is \(M(t)=N(t)+24\). Thus, \(95+6t=203-6t+24\), so \(12t=132\) and \(t=11\). Checking: \(M(11)=161\) and \(N(11)=137\), giving a difference of \(24\). At \(t=10\), the difference is only \(12\). Exam tip: translate “24 more than” as \(M-N=24\).
“17 अधिक” का अर्थ है \(A(t)=B(t)+17\)। अतः \(280-13t=65+5t+17\), जिससे \(198=18t\) और \(t=11\) प्राप्त होता है। \(t=10\) रखने पर अंतर 35 होता है, 17 नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” वाले प्रश्नों में पहले दोनों राशियों का अंतर लिखें। / “17 more” means \(A(t)=B(t)+17\). Therefore, \(280-13t=65+5t+17\), which gives \(198=18t\) and hence \(t=11\). Substituting \(t=10\) gives a difference of 35, not 17. Exam tip: In “more than” questions, first write the difference between the two quantities.
किसी राशि को \(P(x)=a+bx\) से दर्शाया गया है, जहाँ \(x\) बढ़ने पर राशि में रैखिक परिवर्तन होता है। रैखिक क्षय के लिए \(b\) के बारे में कौन-सी शर्त आवश्यक है?
\(x\) में 1 की वृद्धि पर \(P(x+1)-P(x)=b\) होता है। क्षय में राशि घटती है, इसलिए यह अंतर ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात \(b<0\)। \(b=0\) स्थिर राशि दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(b\) को परिवर्तन की दर मानें। / When \(x\) rises by 1, \(P(x+1)-P(x)=b\). In decay, the quantity must decrease, so this change is negative and \(b<0\). A value of \(b=0\) represents no change. Exam tip: read \(b\) as the rate of change.
दिया है कि \(G(4)=G(13)+144\), अतः \(G(4)-G(13)=144\)। अब \(G(4)=320-4r\) और \(G(13)=320-13r\) हैं। इसलिए \((320-4r)-(320-13r)=9r=144\)। अतः \(r=16\)। विकल्प 18 तब मिलता जब समयांतराल को गलत लिया जाए; यहाँ \(13-4=9\) है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन-मूल्यों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(G(4)=G(13)+144\), we get \(G(4)-G(13)=144\). Now \(G(4)=320-4r\) and \(G(13)=320-13r\). Hence \((320-4r)-(320-13r)=9r=144\), so \(r=16\). Option 18 can result from using an incorrect time difference; here \(13-4=9\). Exam tip: taking the difference of function values cancels the constant term in a linear function.
दिया है: \(P(n)=a+30n\)। \(P(5)=260\) रखने पर \(a+30(5)=260\), अर्थात \(a+150=260\), इसलिए \(a=110\)। अब \(P(13)=110+30(13)=110+390=500\)। अतः सही उत्तर 500 है। 470 लेने पर 13 के स्थान पर वृद्धि की दर या प्रारम्भिक मान का सही उपयोग नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अचर \(a\) ज्ञात करें, फिर मांगे गए \(n\) का मान रखें। / Given \(P(n)=a+30n\). Using \(P(5)=260\), we get \(a+30(5)=260\), so \(a+150=260\) and hence \(a=110\). Therefore, \(P(13)=110+30(13)=110+390=500\). Thus, 500 is correct. A value such as 470 results from not applying the growth rate or the initial value correctly. Exam tip: first find the constant \(a\) from the given condition, then substitute the required value of \(n\).
दिया है कि \(V(y)=c-4200y\)। \(V(4)=53200\) रखने पर \(c-4200\times4=53200\), इसलिए \(c=70000\)। अब \(V(11)=70000-4200\times11=23800\)। अतः सही उत्तर 23800 है। 28000 जैसी निकट विकल्प-त्रुटि तब हो सकती है जब मूल्यह्रास के वर्षों या गुणन में गलती हो। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(c\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-4200y\). Using \(V(4)=53200\), we get \(c-4200\times4=53200\), so \(c=70000\). Now \(V(11)=70000-4200\times11=23800\). Therefore, 23800 is correct. A nearby option such as 28000 can result from using an incorrect number of years or making an arithmetic error in the depreciation term. Exam tip: first find the constant \(c\) from the given value, then substitute the required value of \(y\).
दिया है \(y=56+8x\) और शर्त है \(y=15x\)। इसलिए \(56+8x=15x\)। दोनों पक्षों से \(8x\) घटाने पर \(56=7x\) मिलता है, अतः \(x=8\)। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए \(x=7\) लेने पर \(y=112\), जबकि \(15x=105\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर रैखिक समीकरण हल करें। / Given \(y=56+8x\) and the condition \(y=15x\), we equate the two expressions: \(56+8x=15x\). Subtracting \(8x\) from both sides gives \(56=7x\), so \(x=8\). Hence, option C is correct. For instance, if \(x=7\), then \(y=112\) but \(15x=105\), so it does not satisfy the condition. Exam tip: equate the two expressions for the same variable and solve the resulting linear equation.
दिया है \(y=255-14x\) और शर्त है कि \(y=3x\)। इसलिए \(255-14x=3x\), अतः \(255=17x\) और \(x=15\)। \(x=17\) जैसे निकट विकल्प पर \(y=17\) होता है, जबकि \(3x=51\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों दिए गए व्यंजकों को बराबर रखकर एक रैखिक समीकरण बनाइए। / Given \(y=255-14x\) and the condition \(y=3x\), set the two expressions equal: \(255-14x=3x\). Thus, \(255=17x\), so \(x=15\). For the nearby option \(x=17\), \(y=17\) but \(3x=51\), so it does not satisfy the condition. Exam tip: equate the two expressions and solve the resulting linear equation.
दिया है \(L(t)=7t+41\)। अतः \(t\) के स्थान पर \(6t\) रखने पर \(L(6t)=7(6t)+41=42t+41\) और \(2t\) रखने पर \(L(2t)=7(2t)+41=14t+41\) मिलता है। इसलिए \(L(6t)-L(2t)=(42t+41)-(14t+41)=28t\)। \(42t\) केवल \(L(6t)\) का एक भाग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलनों के अंतर में दोनों व्यंजकों पर कोष्ठक लगाकर घटाएँ, ताकि स्थिर पदों के चिह्न सही रहें। / Given \(L(t)=7t+41\), substitute \(6t\) for \(t\): \(L(6t)=7(6t)+41=42t+41\). Similarly, \(L(2t)=7(2t)+41=14t+41\). Therefore, \(L(6t)-L(2t)=(42t+41)-(14t+41)=28t\). \(42t\) is part of \(L(6t)\), not the difference. Exam tip: Use brackets while subtracting function values so that constant terms and signs are handled correctly.
दिया है \(K(t)=350-10t\)। अतः \(K(3t)=350-10(3t)=350-30t\) और \(K(7t)=350-10(7t)=350-70t\)। इसलिए \(K(3t)-K(7t)=(350-30t)-(350-70t)=40t\)। विकल्प \(70t\) केवल \(K(7t)\) में घटने वाला पद है, दोनों मानों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलन में \(3t\) या \(7t\) रखने पर पूरे इनपुट को \(t\) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। / Given \(K(t)=350-10t\), we get \(K(3t)=350-10(3t)=350-30t\) and \(K(7t)=350-10(7t)=350-70t\). Therefore, \(K(3t)-K(7t)=(350-30t)-(350-70t)=40t\). The term \(70t\) occurs in \(K(7t)\), but it is not the difference between the two function values. Exam tip: when the input is \(3t\) or \(7t\), substitute the complete input in place of \(t\).
दिया है: \(Y(x)=a+10x\)। अतः \(Y(5)=a+50\) और \(Y(11)=a+110\)। इसलिए \(Y(5)+Y(11)=2a+160=250\)। इससे \(2a=90\), अतः \(a=45\)। विकल्प 55 लेने पर योग 270 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Y(x)=a+10x\), we get \(Y(5)=a+50\) and \(Y(11)=a+110\). Hence, \(Y(5)+Y(11)=2a+160=250\). Therefore, \(2a=90\), so \(a=45\). If 55 were used, the sum would be 270, not 250. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value separately before adding the results.
दिया है कि \(Z(x)=b-15x\)। अतः \(Z(4)=b-60\) और \(Z(8)=b-120\)। इसलिए \(Z(4)+Z(8)=2b-180\)। अब \(2b-180=160\) रखने पर \(2b=340\), इसलिए \(b=170\)। विकल्प 180 लेने पर योग 180 आएगा, 160 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-15x\), we get \(Z(4)=b-60\) and \(Z(8)=b-120\). Hence, \(Z(4)+Z(8)=2b-180\). Using \(2b-180=160\), we obtain \(2b=340\), so \(b=170\). For example, choosing 180 would make the sum 180, not 160. Exam tip: substitute each given value of \(x\) into the function separately before adding the results.
दोनों बहुपद बराबर होने के लिए \(60+9x=14x-10\) होगा। पदों को व्यवस्थित करने पर \(70=5x\) मिलता है, इसलिए \(x=14\) है। उदाहरण के लिए \(x=14\) रखने पर दोनों का मान \(186\) आता है। \(x=13\) निकट का विकल्प है, पर इस पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: समानता वाले प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पद एक ही ओर लाएँ। / For the two polynomials to be equal, \(60+9x=14x-10\). Rearranging gives \(70=5x\), so \(x=14\). Substituting \(x=14\) gives \(186\) for both polynomials. \(x=13\) is a close distractor, but the two values are not equal there. Exam tip: In equality questions, equate the expressions and collect the variable terms on one side.
p(x)=q(x) रखने पर 330-18x=78+3x मिलता है। दोनों पक्षों से 78 घटाने पर 252-18x=3x, अर्थात 252=21x। इसलिए x=12 है। \(x=14\) रखने पर दोनों व्यंजकों के मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: x वाले पदों को एक पक्ष में और स्थिर पदों को दूसरे पक्ष में लाकर हल करें। / Putting p(x)=q(x) gives 330-18x=78+3x. Subtracting 78 from both sides gives 252-18x=3x, so 252=21x. Hence, x=12. If \(x=14\), the values of the two expressions are not equal. Exam tip: collect the x-terms on one side and constants on the other before solving.
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक परिवर्तन की दर (ढाल) बताता है। यहाँ ढाल \(k-11\) है। रेखीय वृद्धि के लिए यह ढाल धनात्मक होनी चाहिए: \(k-11>0\), इसलिए \(k>11\)। \(k=11\) होने पर ढाल शून्य होगी और \(y=90\) स्थिर रहेगा, इसलिए वह वृद्धि नहीं है। परीक्षा टिप: वृद्धि, ह्रास या स्थिरता जानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) gives the rate of change (slope). Here the slope is \(k-11\). For linear growth, this slope must be positive: \(k-11>0\), so \(k>11\). If \(k=11\), the slope is zero and \(y=90\) remains constant, so there is no growth. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify growth, decay, or a constant value.
दिया गया व्यंजक \(y=410-(k-8)x=410+(8-k)x\) है। रेखीय क्षय के लिए \(x\) का गुणांक (ढाल) ऋणात्मक होना चाहिए। अतः \(8-k<0\), जिससे \(k>8\) प्राप्त होता है। \(k=8\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है; जबकि \(k<8\) पर ढाल धनात्मक होकर रेखीय वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / The expression can be written as \(y=410-(k-8)x=410+(8-k)x\). For linear decay, the coefficient of \(x\) (the slope) must be negative. Thus, \(8-k<0\), which gives \(k>8\). When \(k=8\), the slope is zero and the value remains constant; when \(k<8\), the slope is positive, giving linear growth. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
यहां (R(0)=140) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=18) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=140) is directly the initial value. The difference gives (m=18), but the initial value remains the same.
A. हर \(s\) के लिए दी गई शर्त सत्य है/The given condition is true for every \(s\)
Explanation
Simple Explanation
\(S(6)=s-13\times6=s-78\) और \(S(15)=s-13\times15=s-195\) हैं। अतः \(S(6)-S(15)=(s-78)-(s-195)=117\) मिलता है। यहाँ \(s\) के पद कट जाते हैं, इसलिए शर्त हर \(s\) के लिए सत्य है। \(s=117\) या \(s=13\) जैसी कोई विशेष शर्त आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: दो फलनों के मानों का अंतर लेते समय समान स्थिर पदों के कटने की जाँच करें। / \(S(6)=s-13\times6=s-78\) and \(S(15)=s-13\times15=s-195\). Therefore, \(S(6)-S(15)=(s-78)-(s-195)=117\). The terms containing \(s\) cancel, so the condition is true for every value of \(s\). No particular value such as \(s=117\) or \(s=13\) is required. Exam tip: when subtracting function values, check whether common parameter terms cancel.
अंतर ज्ञात करें: \(B(t)-A(t)=(111+15t)-(72+8t)=39+7t\)। यहाँ \(t\) का गुणांक 7 है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 7 बढ़ता है। 39 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए 39 वाला विकल्प गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों के अंतर की परिवर्तन-दर उनके \(t\) के गुणांकों का अंतर होती है। / Find the difference: \(B(t)-A(t)=(111+15t)-(72+8t)=39+7t\). The coefficient of \(t\) is 7, so the difference increases by 7 whenever \(t\) increases by 1. Here, 39 is the initial difference, not the rate of increase; therefore, the option involving 39 is incorrect. Exam tip: The rate of change of the difference of two linear expressions equals the difference of their \(t\)-coefficients.
A. प्रत्येक चरण में \(11\) बढ़ता है/It increases by \(11\) each step
Explanation
Simple Explanation
\(C(t)-D(t)=(390-11t)-(270-22t)=120+11t\)। अतः \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर \(11\) बढ़ता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में ऋणात्मक ढाल मान ली गई है, जबकि \(-11-(-22)=+11\) होता है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / \(C(t)-D(t)=(390-11t)-(270-22t)=120+11t\). Thus, for every increase of 1 in \(t\), the difference increases by \(11\), so option A is correct. Option B incorrectly treats the resulting rate as negative; \(-11-(-22)=+11\). Exam tip: while subtracting linear expressions, change the sign of every term in the second bracket.
\(y=50-3x\) में \(x\) का घात 1 है और उसका गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(y=50-3x^2\) में ह्रास रैखिक नहीं, द्विघात है। परीक्षा टिप: घात 1 और ऋणात्मक गुणांक पहचानें। / In \(y=50-3x\), the degree of \(x\) is 1 and its coefficient is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every 1-unit increase in \(x\). \(y=50-3x^2\) is quadratic, not linear. Exam tip: identify degree 1 with a negative coefficient.
\(y=120-8x\) में x का गुणांक \(-8\) है, इसलिए x के 1 बढ़ने पर y 8 घटता है। \(120+8x\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) में b की ऋणात्मकता क्षय बताती है। / In \(y=120-8x\), the coefficient of x is \(-8\), so y falls by 8 when x rises by 1. \(120+8x\) represents growth. Exam tip: in \(y=a+bx\), a negative b indicates linear decay.
दिया है \(f(x)=12x+50\)। इसलिए \(f(5x)=60x+50\) तथा \(f(2x)=24x+50\)। अतः \(f(5x)-f(2x)=(60x+50)-(24x+50)=36x\)। अब \(36x=180\) से \(x=5\) मिलता है। \(x=4\) रखने पर मान केवल \(144\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले फलन में दिए गए इनपुट को प्रतिस्थापित करें, फिर समान स्थिर पदों को सावधानी से घटाएँ। / Given \(f(x)=12x+50\), we get \(f(5x)=60x+50\) and \(f(2x)=24x+50\). Therefore, \(f(5x)-f(2x)=(60x+50)-(24x+50)=36x\). Setting this equal to \(180\) gives \(36x=180\), so \(x=5\). If \(x=4\), the value is only \(144\), so it is not correct. Exam tip: substitute each input into the function first, then subtract carefully; identical constant terms cancel out.
दिया है \(g(x)=420-14x\)। अतः \(g(2x)=420-28x\) और \(g(6x)=420-84x\) होगा। इसलिए \(g(2x)-g(6x)=(420-28x)-(420-84x)=56x\)। अब \(56x=224\) रखने पर \(x=4\) मिलता है। \(x=3\) लेने पर मान केवल \(168\) आता है, इसलिए वह निकटतम विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: फलन में \(2x\) या \(6x\) रखने से पहले हर \(x\) को उसी इनपुट से गुणा करें। / Given \(g(x)=420-14x\), we get \(g(2x)=420-28x\) and \(g(6x)=420-84x\). Hence, \(g(2x)-g(6x)=(420-28x)-(420-84x)=56x\). Setting \(56x=224\) gives \(x=4\). For \(x=3\), the expression equals only \(168\), so the nearest distractor is not correct. Exam tip: when substituting \(2x\) or \(6x\) into a function, multiply every occurrence of \(x\) by that input.
यह एक रैखिक फलन है। 7 और 19 का मध्य मान \(\frac{7+19}{2}=13\) है, इसलिए \(P(7)+P(19)=2P(13)\)। जाँच के लिए, \(P(7)=146\), \(P(19)=242\), अतः उनका योग \(388\) है; जबकि \(P(13)=194\) और \(2\times194=388\)। \(P(12)\) निकट का विकल्प है, पर 12 दिए गए दो समयों का मध्य नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के फलनों का औसत, उनके इनपुटों के मध्य बिंदु पर फलन के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 7 and 19 is \(\frac{7+19}{2}=13\), so \(P(7)+P(19)=2P(13)\). Checking directly, \(P(7)=146\) and \(P(19)=242\), giving a sum of \(388\); also, \(P(13)=194\) and \(2\times194=388\). \(P(12)\) is a close distractor, but 12 is not the midpoint of the two given inputs. Exam tip: for a linear function, the average of two function values equals the function value at the midpoint of their inputs.
यह एक रैखिक फलन है। 6 और 18 का मध्य मान 12 है, इसलिए रैखिक फलन के लिए Q(6)+Q(18)=2Q(12) होता है। जाँच के लिए, Q(6)=348 और Q(18)=204, अतः योग 552 है। साथ ही Q(12)=276, इसलिए 2Q(12)=552। Q(11) मध्य मान नहीं है, इसलिए वह सही नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के फलनों का योग उनके मध्य इनपुट के फलन के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 6 and 18 is 12, so for a linear function, Q(6)+Q(18)=2Q(12). Checking directly, Q(6)=348 and Q(18)=204, giving a sum of 552. Also, Q(12)=276, so 2Q(12)=552. Q(11) is not the midpoint, so it cannot be correct. Exam tip: For a linear function, the sum of the values at two inputs equals twice the value at their midpoint.
यहाँ x में परिवर्तन 17 - 9 = 8 है। रैखिक व्यंजक y = 220 + ax में y का परिवर्तन aΔx होता है, इसलिए 8a = 144। अतः a = 144/8 = 18, इसलिए विकल्प C सही है। 16 लेने पर y में वृद्धि केवल 128 होती। परीक्षा टिप: स्थिर पद 220 परिवर्तन की गणना में शामिल नहीं होता। / The change in x is 17 - 9 = 8. In the linear expression y = 220 + ax, the change in y is aΔx, so 8a = 144. Hence, a = 144/8 = 18, making option C correct. If a were 16, the increase in y would be only 128. Exam tip: the constant term 220 does not affect the change in y.
यहाँ x का परिवर्तन \(16-8=8\) है। समीकरण \(y=420-bx\) में x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, b इकाई घटता है। अतः 8 इकाई के लिए कुल कमी \(8b\) होगी। दिया है \(8b=152\), इसलिए \(b=152/8=19\)। विकल्प 18 लेने पर कमी \(8\times18=144\) होती, जो 152 नहीं है। परीक्षा में कुल परिवर्तन को x के अंतर से भाग देकर b ज्ञात करें। / The change in x is \(16-8=8\). In \(y=420-bx\), y decreases by b units for every 1-unit increase in x. Therefore, over 8 units, the total decrease is \(8b\). Given \(8b=152\), we get \(b=152/8=19\). If b were 18, the decrease would be \(8\times18=144\), not 152. Exam tip: divide the total change in y by the change in x to find the rate b.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+8\)। अतः \(70+9t=118+5t+8\), जिससे \(4t=56\) और \(t=14\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(t=14\) है। निकटतम विकल्प \(t=13\) पर दोनों फलनों का अंतर केवल \(4\) होगा, \(8\) नहीं। परीक्षा टिप: “से 8 अधिक” को हमेशा दूसरे व्यंजक में \(+8\) जोड़कर समीकरण बनाइए। / The condition is \(A(t)=B(t)+8\). Thus, \(70+9t=118+5t+8\), which gives \(4t=56\) and hence \(t=14\). Therefore, \(t=14\) is correct. At the closest distractor, \(t=13\), the difference between the functions is only \(4\), not \(8\). Exam tip: Translate “8 more than” as adding \(+8\) to the second expression before forming the equation.
“\(C(t)\), \(D(t)\) से 18 कम” का अर्थ है \(C(t)=D(t)-18\)। अतः \(350-14t=80+4t-18\), जिससे \(288=18t\) और \(t=16\) प्राप्त होता है। जाँच करने पर \(C(16)=126\) तथा \(D(16)=144\) है; इसलिए \(C(16)\), \(D(16)\) से 18 कम है। \(t=15\) पर दोनों मान बराबर होते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से कम” वाले प्रश्न में छोटे मान को बड़े मान में से अंतर घटाकर लिखें। / The statement “\(C(t)\) is 18 less than \(D(t)\)” means \(C(t)=D(t)-18\). Thus, \(350-14t=80+4t-18\), giving \(288=18t\) and hence \(t=16\). Checking, \(C(16)=126\) and \(D(16)=144\), so \(C(16)\) is 18 less than \(D(16)\). At \(t=15\), the two values are equal, so it is not correct. Exam tip: for “less than by” questions, subtract the stated difference from the larger quantity.
योग ((a+27)+(a+63)+(a+99)=3a+189) है। (3a+189=279) से (a=30) नहीं बल्कि विकल्प (A) है। / The sum is ((a+27)+(a+63)+(a+99)=3a+189). From (3a+189=279), (a=30), so option (A) is correct.
योग ((b-40)+(b-72)+(b-104)=3b-216) है। (3b-216=288) से (b=168) नहीं बल्कि विकल्प (D) है। / The sum is ((b-40)+(b-72)+(b-104)=3b-216). From (3b-216=288), (b=168), so option (D) is correct.
