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A. यदि \(1+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से 1 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, जो असंभव है।/If \(1+\sqrt{2}\) were rational, subtracting 1 would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(1+\sqrt{2}\) परिमेय है। परिमेय संख्याओं के घटाव का परिणाम परिमेय होता है, इसलिए \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। यह \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / Assume \(1+\sqrt{2}\) is rational. Rational numbers are closed under subtraction, so \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) would be rational. This contradicts the known irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: adding or subtracting a rational number cannot make an irrational number rational.
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है। / Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है। / The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है। / Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
A. \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(n\) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम होती हैं। \(12=2^2\times3\) में 3 की घात विषम है, इसलिए \(\sqrt{12}\) अपरिमेय है। केवल सम या अभाज्य होना पर्याप्त नहीं; पहले पूर्ण वर्ग जाँचें। / Every prime exponent in a perfect square is even. In \(12=2^2\times3\), 3 has an odd exponent, so \(\sqrt{12}\) is irrational. Being even or prime alone is insufficient; first check whether the number is a perfect square.
मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहाभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। इस मान्यता को असंगत सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा गुण निर्णायक है?
A. यदि \(p^2\) सम है, तो \(p\) भी सम है।/If \(p^2\) is even, then \(p\) is even.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। गुण A से \(p=2k\) होगा; रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है। यह सहाभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: वर्ग की समता से मूल संख्या की समता पहचानें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. By A, \(p=2k\); substitution gives \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: use the parity property of a square.
B. यदि \(2+\sqrt{3}\) परिमेय हो, तो उसमें से 2 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो असंभव है।/If \(2+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 2 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(2+\sqrt{3}\) परिमेय है। 2 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय निकलेगा, जो इसकी अपरिमेयता के विरुद्ध है। टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / Assume \(2+\sqrt{3}\) is rational. Subtracting 2 then makes \(\sqrt{3}\) rational, contradicting its irrationality. Tip: adding a rational number cannot make an irrational number rational.
A. ताकि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हों/So that \(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप में \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होते हैं। \(2q^2=p^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में यही विरोधाभास लिखें। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) are coprime. From \(2q^2=p^2\), \(p\) is even and then \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: state this contradiction clearly.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) विरोधाभास को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2s^2\) में अतिरिक्त (2) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
चूँकि 3 अभाज्य है, \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), अतः \(3\mid b\) भी होगा, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड देखें। / Since 3 is prime, \(3\mid a^2\) implies \(3\mid a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: use prime divisibility carefully.
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास तक पहुँचने के लिए आवश्यक है?
A. \(3\) से \(p^2\) विभाज्य है, इसलिए \(p\) से भी \(3\) विभाज्य है।/Since \(p^2\) is divisible by \(3\), \(p\) is also divisible by \(3\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः अभाज्य गुणनखंड के गुण के कारण \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में \(p=3k\) का प्रतिस्थापन अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), so the prime-factor property gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly substitute \(p=3k\).
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
A. अनंत दशमलव प्रसार मात्र से अपरिमेयता सिद्ध नहीं होती; आवर्ती अनंत दशमलव भी परिमेय हो सकते हैं।/An infinite decimal expansion alone does not prove irrationality; recurring infinite decimals can be rational.
Explanation
Simple Explanation
अनंत दशमलव प्रसार अपरिमेयता का पर्याप्त प्रमाण नहीं है, क्योंकि \(0.333\ldots=\frac13\) परिमेय है। \(\sqrt{3}\) के लिए मानें \(\frac pq\) सरलतम रूप में है और विभाज्यता से विरोधाभास प्राप्त करें। परीक्षा टिप: अनावर्ती दशमलव पर ध्यान दें। / An infinite decimal is not sufficient evidence: \(0.333\ldots=\frac13\) is rational. To prove \(\sqrt{3}\) irrational, assume \(\frac pq\) is in lowest terms and derive a divisibility contradiction. Exam tip: distinguish recurring from non-recurring decimals.
A. यह सुनिश्चित करना कि \(p\) और \(q\) दोनों सम नहीं हो सकते/To ensure that \(p\) and \(q\) cannot both be even
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप में \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होते हैं। प्रमाण में दोनों सम निकलें तो 2 उनका सामान्य गुणनखंड होगा, जो विरोधाभास है; दोनों विषम होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप का अर्थ सह-अभाज्य याद रखें। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) are coprime. If the proof shows both are even, 2 becomes a common factor, giving a contradiction; they need not both be odd. Exam tip: lowest terms means coprime.
B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है/\(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(p,q)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(n\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(m,n)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरू कर दोनों सम होने का विरोधाभास निकाला जाता है। यही सही क्रम है। / The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने का प्रमाण शुरू करते समय \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के अंत में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: पहले \(p\) की विभाज्यता सिद्ध करें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). On writing \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) too. This contradicts coprimality. Tip: prove divisibility of \(p\) before substituting.
A. यह सदैव अपरिमेय होता है/It is always irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(r\sqrt{3}=q\) परिमेय होता, तो \(r\ne0\) होने से \(\sqrt{3}=q/r\) भी परिमेय होता; यह विरोधाभास है। अतः A सही है। टिप: अशून्य परिमेय गुणक से अपरिमेयता बनी रहती है। / If \(r\sqrt{3}=q\) were rational, then since \(r\ne0\), \(\sqrt{3}=q/r\) would also be rational, a contradiction. Thus A is correct. Tip: a non-zero rational multiplier preserves irrationality.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने पर \(3\mid p^2\) से कौन-सा तात्कालिक निष्कर्ष निकलता है?
3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(3\mid p^2\) होने पर \(3\mid p\) अवश्य होगा। चरण: \(p=3k\) रखने पर आगे \(3\mid q\) मिलता है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग पर विभाज्यता याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) necessarily implies \(3\mid p\). Step: put \(p=3k\); the proof later gives \(3\mid q\), contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisor property for a square.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है, अतः 3, \(a\) को विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य विभाज्यता नियम अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so the prime-divisibility property gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(3\mid b\) too, contradicting coprimality. In exams, state the prime-divisibility step clearly.
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड का नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule.
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
एक विद्यार्थी कहता है, “शून्येतर परिमेय संख्या \(a\) के लिए \(a\sqrt{3}\) परिमेय हो सकता है।” इस कथन की त्रुटि को कौन-सा तर्क सही ढंग से स्पष्ट करता है?
A. यदि \(a\sqrt{3}\) परिमेय हो, तो \(a\) से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है।/If \(a\sqrt{3}\) were rational, dividing by \(a\) would make \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(a\sqrt{3}\) परिमेय है और \(a\ne0\) परिमेय है। तब \(\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा में शून्येतर होने की शर्त अवश्य जाँचें। / Assume \(a\sqrt{3}\) is rational, where \(a\ne0\) is rational. Then \(\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) would be rational, contradicting its irrationality. Exam tip: always check that division is by a non-zero number.
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से आया। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को विरोधाभास तक पहुँचाता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid p^2\) होने पर, 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(3\mid q\) भी। दोनों का 3 से विभाज्य होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम अवश्य लिखें। / Since \(3\mid p^2\) and 3 is prime, \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: state the prime-factor property explicitly.
A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही तर्क \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) है। / A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
(a) सम होना जरूरी मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (a) और (b) दोनों सम होने से आता है। / (a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
(p) का (3) से विभाज्य होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास तब है जब (q) भी (3) से विभाज्य हो। / (p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें/While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी पंक्ति है। / Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
3 एक अभाज्य संख्या है। \(n^2=n\times n\) में 3 का गुणनखंड होने पर यूक्लिड की विभाज्यता-लेम्मा से \(3\mid n\) मिलता है। \(9\mid n\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड का नियम अवश्य लिखें। / Since 3 is prime, \(3\mid n^2=n\times n\) implies \(3\mid n\) by Euclid’s lemma. It does not necessarily imply \(9\mid n\). Exam tip: state the prime-divisor lemma before applying it in the contradiction proof.
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास प्रमाण में पहले मानते हैं कि \(\sqrt{2}=p/q\) परिमेय है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इससे \(p\) और \(q\) दोनों सम सिद्ध होते हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। अतः प्रारम्भिक परिमेयता की मान्यता गलत है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलने पर उसी प्रारम्भिक मान्यता को असत्य घोषित करें। / In a contradiction proof, we assume that \(\sqrt{2}=p/q\) is rational, where \(p\) and \(q\) are coprime integers. The argument shows that both \(p\) and \(q\) must be even, contradicting their being coprime. Hence the original assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: A contradiction rejects the initial assumption, not the statement being proved.
A. यदि \(q\sqrt{3}\) परिमेय है, तो उसे शून्येतर परिमेय \(q\) से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है।/If \(q\sqrt{3}\) is rational, dividing it by the non-zero rational \(q\) makes \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(q\sqrt{3}\) परिमेय है और \(q\ne0\) परिमेय है। तब \(\sqrt{3}=\frac{q\sqrt{3}}{q}\) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: शून्येतर परिमेय से भाग देने पर परिमेयता बनी रहती है। / Assume \(q\sqrt{3}\) is rational, with \(q\ne0\) rational. Then \(\sqrt{3}=\frac{q\sqrt{3}}{q}\) would be rational, contradicting the irrationality of \(\sqrt{3}\). Exam tip: division by a non-zero rational preserves rationality.
A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं/Assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए \(\sqrt{3}\) को सरलतम भिन्न \(p/q\) मानते हैं। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) और फिर \(q\) को विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सरलतम रूप’ अवश्य लिखें। / For contradiction, write \(\sqrt{3}\) as the lowest-term fraction \(p/q\). From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\) and then \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा/Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। अंतिम विरोधाभास के लिए (v) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी के तर्क में क्या त्रुटि है?
B. \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है; इसलिए \(p\) तथा \(q\) सह-अभाज्य नहीं हो सकते।/On putting \(p=2k\), \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even; hence \(p\) and \(q\) cannot be coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखते हैं। तब \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग की समता से संख्या की समता निष्कर्षित करें। / If \(p\) is even, write \(p=2k\). Then \(4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. Thus both have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.
A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है/It only keeps the fraction defined
Explanation
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अंतिम विरोधाभास (\gcd(x,y)=1) और दोनों सम होने से आता है। \(y\neq0\) केवल परिभाषा की शर्त है। / The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(3q^2=p^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, इसलिए विरोधाभास मिल गया।” उसके तर्क में कमी को कौन-सा कथन सही ढंग से बताता है?
A. विरोधाभास के लिए \(p=3k\) रखकर यह भी सिद्ध करना आवश्यक है कि \(q\) 3 से विभाज्य है/To get a contradiction, one must put \(p=3k\) and also prove that \(q\) is divisible by 3
Explanation
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\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यही सह-अभाज्यता के विरुद्ध विरोधाभास है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाइए। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) is divisible by 3. On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show divisibility of both integers.
