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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहाभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। इस मान्यता को असंगत सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा गुण निर्णायक है?

Suppose \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. Which of the following properties is crucial for proving that this assumption is contradictory?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. यदि \(p^2\) सम है, तो \(p\) भी सम है।If \(p^2\) is even, then \(p\) is even.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। गुण A से \(p=2k\) होगा; रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है। यह सहाभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: वर्ग की समता से मूल संख्या की समता पहचानें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. By A, \(p=2k\); substitution gives \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: use the parity property of a square.

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Correct Answer: A. यदि \(p^2\) सम है, तो \(p\) भी सम है। / If \(p^2\) is even, then \(p\) is even.. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। गुण A से \(p=2k\) होगा; रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है। यह सहाभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: वर्ग की समता से मूल संख्या की समता पहचानें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. By A, \(p=2k\); substitution gives \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: use the parity property of a square.