Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है/\(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है / \(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3). Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य है।
Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(9k^2=3n^2\Rightarrow n^2=3k^2\). Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है।
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए / Because (q) must also be proved divisible by (3). The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है।
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / Because (n) must also be proved divisible by (3). Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है।
D. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge3) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge3) cannot both hold. Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता/Because the square relation does not directly give such a linear relation
Step 1
Concept
From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता / Because the square relation does not directly give such a linear relation. From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
Step 3
Exam Tip
\(r^2=2s^2\) से केवल \(r^2\) सम और फिर (r) सम मिलता है। सही कदम (r=2t) है।
A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी/The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form
Step 1
Concept
If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी / The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form. If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य है तो भिन्न घटेगी। यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) विरोधाभास को समझाता है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2s^2\) में अतिरिक्त (2) विरोध का कारण बनता है।
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण बनता है।
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है।
A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है/\(a^2\) should be odd, but \(2b^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है / \(a^2\) should be odd, but \(2b^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is clearly even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। पर \(2b^2\) स्पष्ट रूप से सम है।
A. \(r^2\) विषम होना चाहिए पर \(2s^2\) सम है/\(r^2\) should be odd, but \(2s^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2s^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(r^2\) विषम होना चाहिए पर \(2s^2\) सम है / \(r^2\) should be odd, but \(2s^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2s^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2s^2\) हमेशा सम होता है।
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Step 1
Concept
If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible. If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है।
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Step 1
Concept
If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible. If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है।
D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\) / While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\). If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) का गुणनखंड है तो (\gcd(a,b)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\) / While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\). If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है।
B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है / \(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है/\(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है / \(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction. \(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(q\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(p,q)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction. \(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(n\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(m,n)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction. The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
Step 3
Exam Tip
मानक प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरू कर दोनों सम होने का विरोधाभास निकाला जाता है। यही सही क्रम है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\). For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है।
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become even. Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता।
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become even. Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(r,s)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता।
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become divisible by (3). Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है।
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become divisible by (3). Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है।
A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start. Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है।
A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start. Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है।
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं / Because initially (p,q) are coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है।
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं / Because initially (m,n) are coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है।
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए वही मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से आया। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3). If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Step 1
Concept
A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q). A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही तर्क \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) है।
(a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) सम है / (a) is even. (a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
Step 3
Exam Tip
(a) सम होना जरूरी मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (a) और (b) दोनों सम होने से आता है।
(p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3). (p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p) का (3) से विभाज्य होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास तब है जब (q) भी (3) से विभाज्य हो।
A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें/While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें / While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1). Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी पंक्ति है।
C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें/Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें / Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1). The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त ही अंतिम विरोधाभास बनाती है। परीक्षा में इसे शुरुआत में जरूर लिखें।
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए विपरीत कथन यानी अपरिमेयता सही है।
A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है/Later (s) is also found divisible by (2)
Step 1
Concept
After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है / Later (s) is also found divisible by (2). After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
Step 3
Exam Tip
(r=2t) के बाद \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) भी सम होता है और सरलतम रूप टूटता है।
A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा/Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold
Step 1
Concept
In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा / Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold. In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है।
First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (u) (3) से विभाज्य है / (u) is divisible by (3). First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। अंतिम विरोधाभास के लिए (v) भी (3) से विभाज्य चाहिए।
C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3)
Step 1
Concept
Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य / \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3). Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले (m) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (n) के लिए निष्कर्ष प्रतिस्थापन के बाद आता है।
A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है/It only keeps the fraction defined
Step 1
Concept
The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है / It only keeps the fraction defined. The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास (\gcd(x,y)=1) और दोनों सम होने से आता है। \(y\neq0\) केवल परिभाषा की शर्त है।
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकती।
