Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है/\(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य है। / Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है। / Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है। / The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है। / Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह (\gcd(p,q)=1) की शर्त से विरोधाभास है। / Both have common factor (3). This contradicts the condition (\gcd(p,q)=1).
A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता/Because the square relation does not directly give such a linear relation
Explanation
Simple Explanation
\(r^2=2s^2\) से केवल \(r^2\) सम और फिर (r) सम मिलता है। सही कदम (r=2t) है। / From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी/The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य है तो भिन्न घटेगी। यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है। / If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) विरोधाभास को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2s^2\) में अतिरिक्त (2) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) का गुणनखंड है तो (\gcd(a,b)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है/\(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(p,q)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(n\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(m,n)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरू कर दोनों सम होने का विरोधाभास निकाला जाता है। यही सही क्रम है। / The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(r,s)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है। / Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है। / Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से आया। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही तर्क \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) है। / A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
(a) सम होना जरूरी मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (a) और (b) दोनों सम होने से आता है। / (a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
(p) का (3) से विभाज्य होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास तब है जब (q) भी (3) से विभाज्य हो। / (p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें/While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी पंक्ति है। / Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें/Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त ही अंतिम विरोधाभास बनाती है। परीक्षा में इसे शुरुआत में जरूर लिखें। / The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए विपरीत कथन यानी अपरिमेयता सही है। / The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है/Later (s) is also found divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(r=2t) के बाद \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) भी सम होता है और सरलतम रूप टूटता है। / After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(x,y)=1) नहीं रह सकता। / If both are even, (2) is a common factor. Therefore (\gcd(x,y)=1) cannot hold.
A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा/Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। अंतिम विरोधाभास के लिए (v) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (n) के लिए निष्कर्ष प्रतिस्थापन के बाद आता है। / Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है/It only keeps the fraction defined
Explanation
Simple Explanation
अंतिम विरोधाभास (\gcd(x,y)=1) और दोनों सम होने से आता है। \(y\neq0\) केवल परिभाषा की शर्त है। / The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकती। / The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
