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शेष क्षेत्रफल \(a^2-b^2\) होता है और उसका आयत रूप ((a+b)(a-b)) है। परीक्षा में कटे भाग को पुनर्व्यवस्थित करके भुजाएं पहचानें। / The remaining area is \(a^2-b^2\), and its rectangle form is ((a+b)(a-b)). In exams identify sides after rearranging the cut part.
(4x-2=(2x)2), (9y-2=(3y)2), और मध्य पद ऋणात्मक है। परीक्षा में चिन्ह को टाइल के रंग या दिशा से जोड़ें। / (4x-2=(2x)2), (9y-2=(3y)2), and the middle term is negative. In exams connect the sign with tile color or direction.
मध्य पद ((4+9)x=13x) है इसलिए (p=13) है। परीक्षा में आयत मॉडल में पट्टियों का योग मध्य गुणांक देता है। / The middle term is ((4+9)x=13x), so (p=13). In exams the sum of strips in a rectangle model gives the middle coefficient.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में मध्य क्षेत्रफल (2ab) रूप से निकालें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\). In exams find the middle area of a perfect square using the (2ab) pattern.
(9m-2=(3m)2) और (25n-2=(5n)2), इसलिए वर्गों का अंतर बनता है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजाएं निकालें। / (9m-2=(3m)2) and (25n-2=(5n)2), so it forms a difference of squares. In exams first find the sides of both squares.
दो (5x) पट्टियां हटती हैं और (5) बाय (5) ओवरलैप वापस जुड़ता है। परीक्षा में घटाव वर्ग में अंतिम पद पट्टी की चौड़ाई का वर्ग होता है। / Two (5x) strips are removed and the (5) by (5) overlap is added back. In exams the last term in a subtraction square is the square of the strip width.
C. भुजाओं (2x+7) और (2x-7) वाला आयत/rectangle with sides (2x+7) and (2x-7)
Explanation
Simple Explanation
विपरीत चिन्ह वाले गुणनखंडों का मॉडल आयत होता है जिसका क्षेत्रफल \(4x^2-49\) है। परीक्षा में योग-अंतर रूप को आयत से जोड़ें। / Factors with opposite signs form a rectangle with area \(4x^2-49\). In exams connect the sum-difference form with a rectangle.
((2x+3)(3x+4)=6x-2+17x+12) है। परीक्षा में ग्रिड के चार गुणनफल मिलाकर जांचें। / ((2x+3)(3x+4)=6x-2+17x+12). In exams verify by adding the four grid products.
तीन वर्ग और छह आयत मिलकर \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) बनाते हैं। परीक्षा में हर आयत की जोड़ी गिनें। / Three squares and six rectangles make \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\). In exams count each pair of rectangles.
((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) और ((x+4)2=x-2+8x+16), इसलिए अंतर (-1) है। परीक्षा में पास-पास के आयत और वर्ग की तुलना विस्तार से करें। / ((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) and ((x+4)2=x-2+8x+16), so the difference is (-1). In exams compare nearby rectangles and squares by expansion.
\(49=7^2\) और \(-14x=-2\cdot x\cdot7\), इसलिए भुजा (x-7) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद और अंतिम पद दोनों देखें। / \(49=7^2\) and \(-14x=-2\cdot x\cdot7\), so the side is (x-7). In exams use both the middle term and the last term to identify a perfect square.
(5y+(-4y)=y) और (5y\cdot(-4y)=-20y-2), इसलिए भुजाएं (x+5y) और (x-4y) हैं। परीक्षा में चिन्ह सहित टाइलों का योग करें। / Since (5y+(-4y)=y) and (5y\cdot(-4y)=-20y-2), the sides are (x+5y) and (x-4y). In exams add tiles with signs.
कोना ((2q)2=4q-2) और मध्य क्षेत्रफल (2\cdot5p\cdot(-2q)=-20pq) है। परीक्षा में कोने का क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक वर्ग हो सकता है। / The corner is ((2q)2=4q-2), and the middle area is (2\cdot5p\cdot(-2q)=-20pq). In exams the corner area can remain a positive square.
((2x+3)(4x+5)) के खाने \(8x^2\), (10x), (12x), और (15) हैं। परीक्षा में ग्रिड में पंक्ति और स्तंभ गुणा करें। / The cells of ((2x+3)(4x+5)) are \(8x^2\), (10x), (12x), and (15). In exams multiply rows and columns in the grid.
दोनों विस्तार घटाने पर (4ab) बचता है। परीक्षा में समान \(a^2\) और \(b^2\) पद कट जाते हैं। / Subtracting the two expansions leaves (4ab). In exams the equal \(a^2\) and \(b^2\) terms cancel.
पहले (x-2+2xy+y-2=(x+y)2) है, फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में बड़े समूह को पहले पूर्ण वर्ग बनाएं। / First (x-2+2xy+y-2=(x+y)2), then \(z^2\) is subtracted. In exams first group the large part as a perfect square.
वर्ग मॉडल में \(2\cdot2x\cdot z=4xz\) और \(2\cdot3y\cdot z=6yz\) मिलता है। परीक्षा में तीन-भाग वर्ग में हर जोड़ी दो बार आती है। / The square model gives \(2\cdot2x\cdot z=4xz\) and \(2\cdot3y\cdot z=6yz\). In exams each pair appears twice in a three-part square.
कोना \(k^2=81\) देता है और (2kx=18x), इसलिए (k=9) है। परीक्षा में दोनों संकेत मिलाकर स्थिर भुजा तय करें। / The corner gives \(k^2=81\), and (2kx=18x), so (k=9). In exams use both clues to fix the constant side.
(16x-2=(4x)2), (25y-2=(5y)2), और मध्य पद \(-2\cdot4x\cdot5y\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के तीनों भाग जांचें। / (16x-2=(4x)2), (25y-2=(5y)2), and the middle term is \(-2\cdot4x\cdot5y\). In exams check all three parts of a perfect square.
((3x+4)(x-5)=3x-2-15x+4x-20=3x-2-11x-20) है। परीक्षा में धन और ऋण टाइलों को अलग-अलग जोड़ें। / ((3x+4)(x-5)=3x-2-15x+4x-20=3x-2-11x-20). In exams add positive and negative tiles separately.
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)), इसलिए ऊंचाई (x-y) हो तो लंबाई (x+y) है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्थित आयत की दूसरी भुजा पहचानें। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), so if the height is (x-y), the length is (x+y). In exams identify the other side of the rearranged rectangle.
((x+2y)2-(x-y)2=6xy+3y-2) है। परीक्षा में दोनों वर्ग फैलाकर समान पद काटें। / ((x+2y)2-(x-y)2=6xy+3y-2). In exams expand both squares and cancel equal terms.
पूरे क्षेत्रफल ((a+b)2) में से रंगीन \(2ab+b^2\) हटाने पर \(a^2\) बचता है। परीक्षा में रंगीन और बिना रंग भागों का योग पूरा वर्ग होता है। / From the total area ((a+b)2), removing the shaded \(2ab+b^2\) leaves \(a^2\). In exams shaded and unshaded parts add to the whole square.
D. (x) बाय (x) वर्ग से (8) बाय (8) वर्ग हटाना/remove an (8) by (8) square from an (x) by (x) square
Explanation
Simple Explanation
हटा हुआ छोटा वर्ग (64) है और शेष भाग पुनर्व्यवस्थित होकर ((x-8)(x+8)) बनता है। परीक्षा में अंतर और वर्ग-अंतर के मॉडल अलग रखें। / The removed small square is (64), and the remaining part rearranges into ((x-8)(x+8)). In exams keep difference and square-difference models distinct.
((3x+5)(4x-1)=12x-2-3x+20x-5=12x-2+17x-5) है। परीक्षा में क्रॉस पट्टियों का योग मध्य पद देता है। / ((3x+5)(4x-1)=12x-2-3x+20x-5=12x-2+17x-5). In exams the sum of cross strips gives the middle term.
अंतर ((p+q)2-(p-q)2=4pq) है। परीक्षा में बाहरी और अंदरूनी वर्गों का अंतर निकालें। / The difference is ((p+q)2-(p-q)2=4pq). In exams subtract the inner square from the outer square.
\(6\cdot7=42\) और (6+7=13), इसलिए पट्टियां (6x) और (7x) हैं। परीक्षा में कोने और मध्य दोनों शर्तें साथ मिलाएं। / Since \(6\cdot7=42\) and (6+7=13), the strips are (6x) and (7x). In exams match both the corner and the middle conditions.
यह ((2x)2-32=4x-2-9) है। परीक्षा में समान केंद्र और विपरीत दूरी वाले आयत को वर्गों का अंतर मानें। / It is ((2x)2-32=4x-2-9). In exams treat a rectangle with same center and opposite offset as a difference of squares.
(2y+(-3y)=-y) और (2y\cdot(-3y)=-6y-2) है। परीक्षा में ऋणात्मक टाइलों का योग सावधानी से करें। / Here (2y+(-3y)=-y) and (2y\cdot(-3y)=-6y-2). In exams add negative tiles carefully.
D. दो (ab) आयत हमेशा बराबर होते हैं/the two (ab) rectangles are always equal
Explanation
Simple Explanation
दोनों आयतों की भुजाएं (a) और (b) हैं इसलिए वे बराबर क्षेत्रफल (ab) रखते हैं। परीक्षा में घुमे हुए आयत का क्षेत्रफल नहीं बदलता। / Both rectangles have sides (a) and (b), so they have equal area (ab). In exams a rotated rectangle keeps the same area.
दोनों में \(x^2+8x\) समान है और केवल (16-15=1) का अंतर है। परीक्षा में समान भाग काटकर तुलना करें। / Both have \(x^2+8x\) common, and the only difference is (16-15=1). In exams cancel common parts while comparing.
D. भुजा (7a-5b) वाला वर्ग/square with side (7a-5b)
Explanation
Simple Explanation
मध्य पद \(-2\cdot7a\cdot5b=-70ab\) है इसलिए भुजा (7a-5b) है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह पहचान को तय करता है। / The middle term is \(-2\cdot7a\cdot5b=-70ab\), so the side is (7a-5b). In exams the sign of the middle term fixes the identity.
ग्रिड में मध्य आयत (7x) और (8x) होते हैं जिनका योग (15x) है। परीक्षा में अलग पट्टियां पहले लिखें फिर जोड़ें। / The middle rectangles in the grid are (7x) and (8x), whose sum is (15x). In exams write separate strips first and then add them.
क्षेत्रफल अंतर (12x) है जो चार (3x) पट्टियों के बराबर है। परीक्षा में सममित वर्गों के अंतर में चार समान पट्टियां सोचें। / The area difference is (12x), equal to four (3x) strips. In exams think of four equal strips in the difference of symmetric squares.
((2x-5)(x+3)=2x-2+6x-5x-15=2x-2+x-15) है। परीक्षा में विपरीत चिन्ह वाली पट्टियां घटकर मध्य पद बनाती हैं। / ((2x-5)(x+3)=2x-2+6x-5x-15=2x-2+x-15). In exams strips with opposite signs subtract to form the middle term.
पहले (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), फिर \(c^2\) घटता है। परीक्षा में समूह बनाकर वर्गों का अंतर लगाएं। / First (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), then \(c^2\) is subtracted. In exams group first and then apply difference of squares.
सीमा क्षेत्रफल ((x+4)2-(x-4)2=16x) है। परीक्षा में बाहरी माइनस अंदरूनी वर्ग का उपयोग करें। / The border area is ((x+4)2-(x-4)2=16x). In exams use outer square minus inner square.
खाने \(3x^2\), (6x), (-5x), और (-10) हैं जिनका योग \(3x^2+x-10\) है। परीक्षा में हर खाने का चिन्ह शामिल करें। / The cells are \(3x^2\), (6x), (-5x), and (-10), whose sum is \(3x^2+x-10\). In exams include the sign of every cell.
पूर्ण मॉडल में दो (xy) आयत होते हैं, एक छोड़ने पर \(x^2+xy+y^2\) मिलता है। परीक्षा में मध्य पद के दो भाग हमेशा जांचें। / The full model has two (xy) rectangles, so missing one gives \(x^2+xy+y^2\). In exams always check the two parts of the middle term.
(a) वर्ग में दो (ab) पट्टियां और \(b^2\) कोना जोड़कर ((a+b)2) बनता है। परीक्षा में जोड़ और हटाव मॉडल अलग पहचानें। / Adding two (ab) strips and a \(b^2\) corner to the (a) square forms ((a+b)2). In exams distinguish addition and removal models.
(25x-2=(5x)2) और \(1=1^2\), इसलिए भुजाएं (5x-1) और (5x+1) हैं। परीक्षा में वर्गमूल लेकर योग-अंतर बनाएं। / (25x-2=(5x)2) and \(1=1^2\), so the sides are (5x-1) and (5x+1). In exams take square roots and form sum-difference.
कुल मध्य क्षेत्रफल (14xy) है इसलिए प्रत्येक समान आयत (7xy) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग का मध्य भाग दो बराबर आयतों में बंटता है। / The total middle area is (14xy), so each equal rectangle is (7xy). In exams the middle part of a perfect square splits into two equal rectangles.
पहले (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2) बनता है, फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहले पहचानें। / First (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2), then \(z^2\) is subtracted. In exams identify the perfect-square trinomial first.
(6+(-5)=1) और (6\cdot(-5)=-30), इसलिए भुजाएं (x+6) और (x-5) हैं। परीक्षा में ऋण कोने के लिए विपरीत चिन्ह वाले स्थिर भाग लें। / Since (6+(-5)=1) and (6\cdot(-5)=-30), the sides are (x+6) and (x-5). In exams use constants with opposite signs for a negative corner.
A. ((101-99)(101+99))/difference of squares rectangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गों का अंतर ((101-99)(101+99)=2\cdot200=400) है। परीक्षा में बड़े वर्ग माइनस छोटे वर्ग को आयत में बदलें। / The difference of squares is ((101-99)(101+99)=2\cdot200=400). In exams turn larger square minus smaller square into a rectangle.
बचा क्षेत्र ((x+2)2-(x-2)2=8x) है। परीक्षा में कोने पर रखे छोटे वर्ग को घटाकर पट्टियां पाएं। / The remaining area is ((x+2)2-(x-2)2=8x). In exams subtract the corner square to get the strips.
हटाने के बाद (a) और (b) वाले भाग बचते हैं जो ((a+b)2) बनाते हैं। परीक्षा में बचे हुए छोटे क्षेत्रों को जोड़कर नया वर्ग पहचानें। / After removal, the parts involving (a) and (b) remain and make ((a+b)2). In exams add the remaining small regions to identify the new square.
((3x+2)(5x-4)) में खाने \(15x^2\), (-12x), (10x), और (-8) हैं। परीक्षा में क्रॉस क्षेत्रों का योग (-2x) देता है। / In ((3x+2)(5x-4)), the cells are \(15x^2\), (-12x), (10x), and (-8). In exams the sum of cross areas gives (-2x).
यह ((u+c)2-(u-c)2=4uc) है जहां (u=a+b), इसलिए क्षेत्रफल (4c(a+b)) है। परीक्षा में पूरे समूह (a+b) को एक भुजा मानें। / This is ((u+c)2-(u-c)2=4uc) where (u=a+b), so the area is (4c(a+b)). In exams treat the whole group (a+b) as one side.
