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एक (a+b) भुजा वाले वर्ग में यदि (a) वाली पट्टी और (b) वाली पट्टी की चौड़ाइयाँ बदल दी जाएँ पर कुल भुजा वही रहे, तो कौन-सा क्षेत्रफल संबंध अपरिवर्तित रहेगा?
भागों का क्रम बदलने से कुल क्षेत्रफल नहीं बदलता। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था को समान क्षेत्रफल मानें। / Changing the order of parts does not change total area. In exams, treat rearrangement as equal area.
दोनों आयत (7x) और (7x) हैं, इसलिए कुल (14x) है। परीक्षा में दोनों समान पट्टियाँ गिनें। / The two rectangles are (7x) and (7x), so the total is (14x). In exams, count both equal strips.
\(81=9^2\) और \(18m=2\cdot m\cdot9\) है। परीक्षा में कोने के वर्गमूल से भुजा पहचानें। / \(81=9^2\) and \(18m=2\cdot m\cdot9\). In exams, identify the side using the square root of the corner.
भुजाएँ (4y) और (5) हैं, इसलिए बीच का घटा पद \(2\cdot4y\cdot5=40y\) है। परीक्षा में वर्गमूल लेकर पट्टियाँ बनाएं। / The side parts are (4y) and (5), so the subtracted middle term is \(2\cdot4y\cdot5=40y\). In exams, use square roots to form strips.
धनात्मक (11r) और ऋणात्मक (11r) बराबर क्षेत्रफल के कारण कटते हैं। परीक्षा में विपरीत चिन्ह वाले समान आयत देखें। / Positive (11r) and negative (11r) cancel because their areas are equal. In exams, look for equal rectangles with opposite signs.
छोटा कोना \(36=6^2\) और बड़ा वर्ग (25a-2=(5a)2) है। परीक्षा में क्षेत्रफल से भुजा निकालें। / The small corner is \(36=6^2\) and the large square is (25a-2=(5a)2). In exams, derive side lengths from areas.
दो रैखिक पट्टियाँ (8x) और (15x) हैं और कोना \(8\times15=120\) है। परीक्षा में रैखिक पट्टियों से भुजाएँ पढ़ें। / The two linear strips are (8x) and (15x), and the corner is \(8\times15=120\). In exams, read sides from the linear strips.
मॉडल में दो (2x) गुणा (3) आयत होते हैं, इसलिए मध्य पद (12x) है। परीक्षा में एक पट्टी पर नहीं रुकें। / The model has two (2x) by (3) rectangles, so the middle term is (12x). In exams, do not stop at one strip.
दो पट्टियाँ \(5t\cdot2\) और \(5t\cdot2\) हैं, इसलिए कुल (20t) घटता है। परीक्षा में दोनों पट्टियाँ शामिल करें। / The two strips are \(5t\cdot2\) and \(5t\cdot2\), so total (20t) is subtracted. In exams, include both strips.
भाग \(2a^2\), (-6a), (5a) और (-15) हैं, इसलिए रैखिक पद (-a) है। परीक्षा में ऋण आयतों को सही जोड़ें। / The parts are \(2a^2\), (-6a), (5a) and (-15), so the linear term is (-a). In exams, add negative rectangles correctly.
धनात्मक और ऋणात्मक टाइलों का अंतर (7x) बचाता है। परीक्षा में चिह्नित टाइलों को बीजगणितीय जोड़ की तरह लें। / Positive and negative tiles leave a difference of (7x). In exams, treat signed tiles as algebraic addition.
टाइल मॉडल में स्थिर कोना दोनों स्थिर पदों के गुणन से बनता है: \((-4)\times 9=-36\)। इसलिए ऋणात्मक स्थिर टाइलों का मान \(-36\) होगा। \(13\) और \(-13\) मध्य पद के गुणांकों \(-4\) तथा \(9\) के जोड़ से जुड़े हैं, स्थिर कोने से नहीं। परीक्षा टिप: द्विपदों के गुणन में स्थिर पद पाने के लिए केवल स्थिर पदों का गुणन करें। / In a signed tile model, the constant corner is formed by multiplying the two constant terms: \((-4)\times 9=-36\). Therefore, the constant tiles give \(-36\). The values \(13\) and \(-13\) relate to adding the coefficients \(-4\) and \(9\), not to the constant corner. Exam tip: to find the constant term in a product of binomials, multiply only the constant terms.
किसी वर्गाकार क्षेत्र मॉडल में एक बड़ा वर्ग चार भागों में बाँटा गया है: एक भाग का क्षेत्रफल \(x^2\), दो समान आयतों का क्षेत्रफल \(xy\) प्रत्येक और एक छोटे वर्ग का क्षेत्रफल \(y^2\) है। यह मॉडल किस बीजीय सर्वसमिका को दर्शाता है?
बड़े वर्ग की भुजा \(x+y\) है, इसलिए उसका क्षेत्रफल \((x+y)^2\) होगा। भागों के क्षेत्रफल जोड़ें: \(x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2\)। परीक्षा में दो \(xy\) आयतों को गिनना न भूलें। / The large square has side \(x+y\), so its area is \((x+y)^2\). Adding its parts gives \(x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2\). Exam tip: always count both \(xy\) rectangles.
कुल हटाई गई पट्टियाँ (14y) हैं, इसलिए प्रत्येक (7y) है। परीक्षा में कुल मध्य पद को दो बराबर भागों में बाँटें। / The total removed strips are (14y), so each is (7y). In exams, divide the middle term into two equal parts.
एक मिश्रित आयत \(2m\cdot3n=6mn\) है और ऐसे दो आयत होते हैं। परीक्षा में मिश्रित आयतों को दोगुना करें। / One mixed rectangle is \(2m\cdot3n=6mn\), and there are two such rectangles. In exams, double the mixed rectangles.
पहचान \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) में \(x=3a\) और \(y=2b\) रखने पर \((3a-2b)^2=(3a)^2-2(3a)(2b)+(2b)^2=9a^2-12ab+4b^2\) मिलता है। दृश्य मॉडल में दो आयताकार भागों का कुल क्षेत्रफल \(12ab\) घटता है, जबकि कोने का \(4b^2\) भाग दो बार घटने की भरपाई करता है। विकल्प A में मध्य पद का गुणांक गलत है। परीक्षा टिप: \((x-y)^2\) में मध्य पद हमेशा ऋणात्मक होता है और उसमें 2 अवश्य आता है। / Using \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\), with \(x=3a\) and \(y=2b\), we get \((3a-2b)^2=(3a)^2-2(3a)(2b)+(2b)^2=9a^2-12ab+4b^2\). In a visual area model, the two rectangular parts together contribute \(12ab\) to be subtracted, while the corner \(4b^2\) is added back because it was removed twice. Option A has an incorrect coefficient of the middle term. Exam tip: in \((x-y)^2\), the middle term is always negative and includes a factor of 2.
(4x-2=(2x)2) और (25y-2=(5y)2) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को दो संयुग्म भुजाओं में लिखें। / (4x-2=(2x)2) and (25y-2=(5y)2). In exams, write difference of squares as two conjugate sides.
कुल अंतर (4ab) है, इसलिए चार समान आयतों में प्रत्येक (ab) होगा। परीक्षा में कुल क्षेत्रफल को समान भागों में बाँटें। / The total difference is (4ab), so each of the four equal rectangles is (ab). In exams, divide total area into equal parts.
वर्ग हटाने पर केवल छह मिश्रित आयत बचते हैं। परीक्षा में उन्हें (2xy+2yz+2zx) के रूप में जोड़ें। / After removing the squares, only six mixed rectangles remain. In exams, add them as (2xy+2yz+2zx).
शेष दो आयत (ab) और (ab) हैं। परीक्षा में वर्गों के अतिरिक्त बचे आयतों को जोड़ें। / The remaining two rectangles are (ab) and (ab). In exams, add the rectangles left after the squares.
( (a+b)2 ) में \(a^2+b^2\) के साथ दो (ab) आयत अतिरिक्त होते हैं। परीक्षा में अंतर को छूटे आयतों से देखें। / ( (a+b)2 ) has two extra (ab) rectangles along with \(a^2+b^2\). In exams, view the difference as missing rectangles.
दोनों विस्तार घटाने पर (4x-(-4x)=8x) बचता है। परीक्षा में विपरीत मध्य पदों का अंतर लें। / On subtracting the two expansions, (4x-(-4x)=8x) remains. In exams, take the difference of opposite middle terms.
रैखिक टाइल (4x) और (-2x) हैं, इसलिए कुल (2x) है। परीक्षा में चिह्नित रैखिक टाइलों को जोड़ें। / The linear tiles are (4x) and (-2x), so the total is (2x). In exams, add signed linear tiles.
\(1\cdot6=6\) और \(2\cdot3=6\), इसलिए (x+6x) समूह से ((2x+1)(x+3)) बनता है। परीक्षा में मध्य पद विभाजन को क्षेत्रफल समूह से जाँचें। / \(1\cdot6=6\) and \(2\cdot3=6\), so grouping (x+6x) gives ((2x+1)(x+3)). In exams, verify the middle split by area grouping.
इन भुजाओं से भाग \(3x^2\), (9x), (x) और (3) मिलते हैं। परीक्षा में चारों भागों को जोड़कर जाँचें। / These sides give parts \(3x^2\), (9x), (x) and (3). In exams, check by adding all four parts.
अंतर ((x+6+x+2)(x+6-x-2)= (2x+8)\cdot4=8x+32) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / The difference is ((x+6+x+2)(x+6-x-2)= (2x+8)\cdot4=8x+32). In exams, use difference of squares.
क्षेत्रफल अंतर ((x+5)2-(x-1)2=12x+24) है। परीक्षा में बाहरी और अंदरूनी वर्ग का अंतर लें। / The area difference is ((x+5)2-(x-1)2=12x+24). In exams, subtract inner square from outer square.
क्षेत्रफल समान और एक भुजा समान है, इसलिए दूसरी भुजा भी (a+b) होगी। परीक्षा में समान क्षेत्रफल और समान भुजा से निष्कर्ष निकालें। / Area is unchanged and one side is unchanged, so the other side is also (a+b). In exams, infer using equal area and equal side.
रंगहीन क्षेत्र दो (3x) पट्टियाँ हैं, इसलिए (6x=30) और (x=5)। परीक्षा में रंगहीन पट्टियों को मध्य पद से जोड़ें। / The uncolored area is two (3x) strips, so (6x=30) and (x=5). In exams, connect uncolored strips to the middle term.
\((x-4)^2=81\) से \(x-4=9\) और \(x=13\) मिलता है। परीक्षा में भुजा को धनात्मक लंबाई मानें। / From \((x-4)^2=81\), \(x-4=9\) and \(x=13\). In exams, treat the side as a positive length.
पहला क्षेत्र \(x^2+7x+10\) और दूसरा \(x^2+7x+12\) है। परीक्षा में समान रैखिक पद होने पर स्थिर अंतर देखें। / The first area is \(x^2+7x+10\) and the second is \(x^2+7x+12\). In exams, when linear terms match, compare constants.
( (x+5)2=x-2+10x+25 ) और ( (x+2)(x+8)=x-2+10x+16 ) है। परीक्षा में समान (x) पदों को काटकर स्थिर भाग तुलना करें। / ( (x+5)2=x-2+10x+25 ) and ( (x+2)(x+8)=x-2+10x+16 ). In exams, cancel equal (x) terms and compare constants.
यह सीधे ( (x+k)2 ) के चार भाग दिखाता है। परीक्षा में (2kx) को दो (kx) पट्टियों के रूप में देखें। / It directly shows the four parts of ( (x+k)2 ). In exams, view (2kx) as two (kx) strips.
दो (kx) पट्टियाँ घटती हैं और \(k^2\) कोना वापस जुड़ता है। परीक्षा में (-2kx) से (x-k) पहचानें। / Two (kx) strips are subtracted and the \(k^2\) corner is added back. In exams, identify (x-k) from (-2kx).
दो समान आयतों को जोड़ने से (2xy) बनता है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था से क्षेत्रफल नहीं बदलता। / Combining two equal rectangles gives (2xy). In exams, rearrangement does not change area.
तीन मिश्रित जोड़ियों में (ca) जोड़ी भी दो बार आती है। परीक्षा में सभी जोड़ी संयोजन पूरे करें। / Among the three mixed pairs, the (ca) pair also appears twice. In exams, complete all pair combinations.
( (x+4)2=x-2+8x+16 ), कोना हटाने पर \(x^2+8x\) बचता है। परीक्षा में हटाए गए भाग को घटाएँ। / ( (x+4)2=x-2+8x+16 ), so removing the corner leaves \(x^2+8x\). In exams, subtract the removed part.
दो मिश्रित आयतों का कुल \(2\cdot2x\cdot7=28x\) है। परीक्षा में गुणांक सहित मध्य क्षेत्रफल निकालें। / The total of two mixed rectangles is \(2\cdot2x\cdot7=28x\). In exams, find middle area with coefficients.
B. दो ऋणात्मक पट्टियों का कुल (-12x)/Total (-12x) from two negative strips
Explanation
Simple Explanation
रैखिक भाग (-5x) और (-7x) हैं, जिनका योग (-12x) है। परीक्षा में दोनों ऋणात्मक पट्टियाँ जोड़ें। / The linear parts are (-5x) and (-7x), whose sum is (-12x). In exams, add both negative strips.
(-5+(-7)=-12) और ((-5)(-7)=35) है। परीक्षा में दो ऋणात्मक स्थिर भागों का गुणन धनात्मक होता है। / (-5+(-7)=-12) and ((-5)(-7)=35). In exams, product of two negative constants is positive.
D. \(b^2\) को वापस न जोड़ना/Not adding \(b^2\) back
Explanation
Simple Explanation
कोने का \(b^2\) भाग दो बार हट जाता है, इसलिए उसे वापस जोड़ना जरूरी है। परीक्षा में अधिक घटाव ठीक करें। / The corner \(b^2\) is removed twice, so it must be added back. In exams, correct over-subtraction.
विस्तारों का अंतर (x-2+2kx+k-2-\(x^2-2kx+k^2\)=4kx) है। परीक्षा में समान वर्ग पद काटें। / The difference of expansions is (x-2+2kx+k-2-\(x^2-2kx+k^2\)=4kx). In exams, cancel equal square terms.
दोनों में (x-2+(a+b)x) समान है, स्थिर भागों का अंतर ( \frac{(a+b)2}{4}-ab=\frac{(a-b)2}{4} ) है। परीक्षा में समान भाग हटाकर बचा क्षेत्रफल देखें। / Both have (x-2+(a+b)x) common, and the constant difference is ( \frac{(a+b)2}{4}-ab=\frac{(a-b)2}{4} ). In exams, remove common parts and compare remaining area.
