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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास स्थापित करता है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest terms and \(p^2=3q^2\) is obtained, which conclusion establishes the contradiction in the proof of irrationality?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड का नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास स्थापित करता है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest terms and \(p^2=3q^2\) is obtained, which conclusion establishes the contradiction in the proof of irrationality?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड का नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule.