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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने का प्रमाण शुरू करते समय \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के अंत में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?

While proving \(\sqrt{3}\) irrational by contradiction, we assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion at the end of the proof establishes the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: पहले \(p\) की विभाज्यता सिद्ध करें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). On writing \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) too. This contradicts coprimality. Tip: prove divisibility of \(p\) before substituting.

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Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: पहले \(p\) की विभाज्यता सिद्ध करें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). On writing \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) too. This contradicts coprimality. Tip: prove divisibility of \(p\) before substituting.