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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(3q^2=p^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, इसलिए विरोधाभास मिल गया।” उसके तर्क में कमी को कौन-सा कथन सही ढंग से बताता है?

A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, to prove that \(\sqrt{3}\) is irrational. After obtaining \(3q^2=p^2\), the student says, “\(p\) is divisible by 3, so a contradiction has been reached.” Which statement correctly identifies the gap in the argument?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. विरोधाभास के लिए \(p=3k\) रखकर यह भी सिद्ध करना आवश्यक है कि \(q\) 3 से विभाज्य हैTo get a contradiction, one must put \(p=3k\) and also prove that \(q\) is divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यही सह-अभाज्यता के विरुद्ध विरोधाभास है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाइए। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) is divisible by 3. On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show divisibility of both integers.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(3q^2=p^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, इसलिए विरोधाभास मिल गया।” उसके तर्क में कमी को कौन-सा कथन सही ढंग से बताता है? / A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, to prove that \(\sqrt{3}\) is irrational. After obtaining \(3q^2=p^2\), the student says, “\(p\) is divisible by 3, so a contradiction has been reached.” Which statement correctly identifies the gap in the argument?

Correct Answer: A. विरोधाभास के लिए \(p=3k\) रखकर यह भी सिद्ध करना आवश्यक है कि \(q\) 3 से विभाज्य है / To get a contradiction, one must put \(p=3k\) and also prove that \(q\) is divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यही सह-अभाज्यता के विरुद्ध विरोधाभास है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाइए। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) is divisible by 3. On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show divisibility of both integers.