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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को विरोधाभास तक पहुँचाता है?

In a proof by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) leads to the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(3\mid p^2\) होने पर, 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(3\mid q\) भी। दोनों का 3 से विभाज्य होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम अवश्य लिखें। / Since \(3\mid p^2\) and 3 is prime, \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: state the prime-factor property explicitly.

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विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को विरोधाभास तक पहुँचाता है? / In a proof by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) leads to the contradiction?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.. Explanation: \(3\mid p^2\) होने पर, 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(3\mid q\) भी। दोनों का 3 से विभाज्य होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम अवश्य लिखें। / Since \(3\mid p^2\) and 3 is prime, \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: state the prime-factor property explicitly.