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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा विरोधाभास प्राप्त होता है?

Suppose \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which contradiction follows from this assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है, अतः 3, \(a\) को विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य विभाज्यता नियम अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so the prime-divisibility property gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(3\mid b\) too, contradicting coprimality. In exams, state the prime-divisibility step clearly.

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मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा विरोधाभास प्राप्त होता है? / Suppose \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which contradiction follows from this assumption?

Correct Answer: A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं. Explanation: \(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है, अतः 3, \(a\) को विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य विभाज्यता नियम अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so the prime-divisibility property gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(3\mid b\) too, contradicting coprimality. In exams, state the prime-divisibility step clearly.