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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास तक पहुँचने के लिए आवश्यक है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is necessary to reach a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(3\) से \(p^2\) विभाज्य है, इसलिए \(p\) से भी \(3\) विभाज्य है।Since \(p^2\) is divisible by \(3\), \(p\) is also divisible by \(3\).

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः अभाज्य गुणनखंड के गुण के कारण \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में \(p=3k\) का प्रतिस्थापन अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), so the prime-factor property gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly substitute \(p=3k\).

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विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास तक पहुँचने के लिए आवश्यक है? / While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is necessary to reach a contradiction?

Correct Answer: A. \(3\) से \(p^2\) विभाज्य है, इसलिए \(p\) से भी \(3\) विभाज्य है। / Since \(p^2\) is divisible by \(3\), \(p\) is also divisible by \(3\).. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः अभाज्य गुणनखंड के गुण के कारण \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में \(p=3k\) का प्रतिस्थापन अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), so the prime-factor property gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly substitute \(p=3k\).