Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर \(a\in A\) के लिए (a+a=2a) सम है/For every \(a\in A\), (a+a=2a) is even
Step 1
Concept
To check reflexivity, put ((a,a)) into the relation condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) is even for every integer, so every self-pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In condition-based questions, test self-pairs first. चरण 1: स्वतुल्यता जांचने के लिए ((a,a)) को सम्बन्ध की शर्त में रखते हैं। चरण 2: (a+a=2a) हर पूर्णांक के लिए सम होता है, इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में आएगा। चरण 3: परीक्षा में शर्त आधारित प्रश्नों में पहले अपने-आप वाले युग्म जांचें।
(0) is not odd, so no self-pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
If self-pairs are missing, the relation is not reflexive. चरण 1: अपने-आप वाले युग्म के लिए (a-b=a-a=0) होगा। चरण 2: (0) विषम नहीं है, इसलिए कोई ((a,a)) इस शर्त को पूरा नहीं करता। चरण 3: यदि अपने-आप वाले युग्म छूट जाएं, तो सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं होता।
A. क्योंकि हर सदस्य अपने-आप को विभाजित करता है/Because every element divides itself
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Every given positive number divides itself, so \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In divisibility relations, first check self-division. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर \(a\in A\) पर ((a,a)) चाहिए। चरण 2: हर दी गई धनात्मक संख्या अपने-आप को विभाजित करती है, इसलिए \((a,a)\in R\) होगा। चरण 3: विभाज्यता में अपने-आप से विभाजन को तुरंत जांचें।
Every number is equal to itself, so \(a\le a\) is true.
Step 3
Exam Tip
Relations based on \(\le\) are easily checked for reflexivity. चरण 1: \(a\le b\) में अपने-आप वाला युग्म रखने पर \(a\le a\) मिलता है। चरण 2: हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\le a\) सत्य है। चरण 3: \(\le\) से बने सम्बन्ध को स्वतुल्यता के लिए आसानी से पहचानें।
A. किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है/(a<a) is not true for any (a)
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (b=a) in (a<b) gives (a<a), which is never true.
Step 3
Exam Tip
Strict inequality relations are usually not reflexive. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए ((a,a)) का सम्बन्ध में होना जरूरी है। चरण 2: शर्त (a<b) में (b=a) रखने पर (a<a) मिलता है, जो कभी सत्य नहीं होता। चरण 3: कड़े असमानता वाले सम्बन्ध आम तौर पर स्वतुल्य नहीं होते।
With (4) elements, total ordered pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
(4) self-pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
The number of reflexive relations is \(2^{12}\). चरण 1: (4) सदस्यों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। चरण 2: स्वतुल्यता के लिए (4) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: स्वतंत्र युग्मों के चुनाव से संख्या \(2^{12}\) होगी।
For (A), the required self-pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The first two are present, but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
The minimum fix is to add the missing self-pair. चरण 1: (A) के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जरूरी हैं। चरण 2: पहले दो युग्म दिए हैं, पर ((3,3)) नहीं है। चरण 3: न्यूनतम सुधार में केवल छूटा हुआ अपने-आप वाला युग्म जोड़ें।
\(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
The common self-pairs are ((a,a)) and ((c,c)), but ((b,b)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Missing one self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: \(R\cap S\) में केवल वे युग्म होंगे जो दोनों में समान हैं। चरण 2: समान युग्म ((a,a)) और ((c,c)) हैं, लेकिन ((b,b)) नहीं है। चरण 3: एक अपने-आप वाला युग्म छूटने से सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं रहता।
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
A pair common to both relations belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
Hence all self-pairs remain in the intersection. चरण 1: (R) और (S) दोनों में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो युग्म दोनों में हैं, वे \(R\cap S\) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म प्रतिच्छेद में भी रहेंगे।
A. \(R\cup S\) स्वतुल्य होगा/\(R\cup S\) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) already contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
Taking a union does not remove pairs of (R).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup S\) is also reflexive. चरण 1: (R) में हर अपने-आप वाला युग्म पहले से मौजूद है। चरण 2: संघ लेने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि बने रहते हैं। चरण 3: इसलिए \(R\cup S\) भी स्वतुल्य होगा।
Since (R) has all self-pairs, \(R^{-1}\) also has them.
Step 3
Exam Tip
The inverse of a reflexive relation is reflexive. चरण 1: उल्टे सम्बन्ध में ((a,a)) अपने-आप ही ((a,a)) रहता है। चरण 2: (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए \(R^{-1}\) में भी रहेंगे। चरण 3: स्वतुल्य सम्बन्ध का उल्टा भी स्वतुल्य होता है।
Reflexive closure is obtained by adding missing self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((3,3)) is missing, so only one pair is added.
Step 3
Exam Tip
The total number of pairs becomes (4+1=5). चरण 1: स्वतुल्य आवरण में सभी छूटे हुए अपने-आप वाले युग्म जोड़े जाते हैं। चरण 2: यहां ((3,3)) छूटा है, इसलिए केवल एक युग्म जोड़ेगा। चरण 3: कुल युग्म (4+1=5) होंगे।
With four elements, all four self-pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) is absent, so a required pair is missing.
Step 3
Exam Tip
In reflexivity, no self-pair may be missing. चरण 1: चार सदस्य होने पर चारों अपने-आप वाले युग्म चाहिए। चरण 2: ((2,2)) नहीं है, इसलिए एक जरूरी युग्म छूट गया। चरण 3: स्वतुल्यता में कोई भी अपने-आप वाला युग्म गायब नहीं होना चाहिए।
A. हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है/\(a^2=a^2\) is true for every (a)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a) in the condition.
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(a^2=a^2\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
In equality-based conditions, check the self-case first. चरण 1: स्वतुल्यता में (b=a) रखकर शर्त जांचते हैं। चरण 2: तब \(a^2=a^2\) मिलता है, जो हर सदस्य के लिए सत्य है। चरण 3: बराबरी वाली शर्तों में अपने-आप वाला मामला पहले देखें।
Extra pairs such as ((-1,1)) do not affect reflexivity. चरण 1: हर \(a\in A\) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य होता है। चरण 2: इसलिए ((-1,-1),(0,0),(1,1)) सभी (R) में होंगे। चरण 3: अतिरिक्त युग्म जैसे ((-1,1)) होना स्वतुल्यता को नहीं बदलता।
A. हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है/\(a\equiv a \pmod{2}\) is true for every (a)
Step 1
Concept
For reflexivity, compare any element with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Since (a-a=0), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
In congruence relations, remember that an element is congruent to itself. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए किसी भी सदस्य की तुलना उसी सदस्य से करें। चरण 2: (a-a=0), इसलिए \(a\equiv a \pmod{2}\) हर (a) के लिए सत्य है। चरण 3: समशेषता वाले सम्बन्धों में अपने-आप समशेष होना याद रखें।
A. क्योंकि सभी (a) के लिए (a+a=4) सत्य नहीं है/Because (a+a=4) is not true for all (a)
Step 1
Concept
Reflexivity requires all ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) satisfies the condition, but ((1,1)) and ((3,3)) do not.
Step 3
Exam Tip
One self-pair is not enough. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी चाहिए। चरण 2: ((2,2)) तो शर्त पूरी करता है, पर ((1,1)) और ((3,3)) नहीं करते। चरण 3: केवल एक अपने-आप वाला युग्म काफी नहीं होता।
The smallest element in (A) is (1), so \(2a\ge 2\) is true for every element.
Step 3
Exam Tip
In inequality conditions, start with the smallest element. चरण 1: अपने-आप वाले युग्म में (a+b=2a) होगा। चरण 2: (A) में सबसे छोटा सदस्य (1) है, इसलिए \(2a\ge 2\) हर सदस्य के लिए सत्य है। चरण 3: सीमाओं वाले प्रश्न में सबसे छोटे सदस्य से जांच शुरू करें।
A. ((0,0)) शर्त पूरी नहीं करता/((0,0)) does not satisfy the condition
Step 1
Concept
Reflexivity needs self-pairs for (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
For ((0,0)), (0+0=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
One failed self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए (0,1,2) तीनों के अपने-आप वाले युग्म चाहिए। चरण 2: ((0,0)) पर (0+0=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। चरण 3: एक भी असफल अपने-आप वाला युग्म सम्बन्ध को स्वतुल्य नहीं रहने देता।
A. पहचान सम्बन्ध और स्वतुल्य सम्बन्ध/Identity relation and reflexive relation
Step 1
Concept
(R) contains the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
It contains only those self-pairs, so it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is always reflexive. चरण 1: (R) में हर सदस्य का अपने-आप वाला युग्म है। चरण 2: इसमें केवल वही अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए यह पहचान सम्बन्ध है। चरण 3: पहचान सम्बन्ध हमेशा स्वतुल्य होता है।
The smallest reflexive relation has (5) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
The difference is (25-5=20). चरण 1: न्यूनतम स्वतुल्य सम्बन्ध में (5) अपने-आप वाले युग्म होंगे। चरण 2: सार्वत्रिक सम्बन्ध में \(5^2=25\) युग्म होंगे। चरण 3: अंतर (25-5=20) होगा।
A reflexive relation on a set with (3) elements must have (3) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Total pairs are (5), so extra pairs are (5-3=2).
Step 3
Exam Tip
Subtract compulsory self-pairs from the total. चरण 1: (3) सदस्यों वाले समुच्चय पर स्वतुल्यता के लिए (3) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल युग्म (5) हैं, इसलिए अतिरिक्त युग्म (5-3=2) होंगे। चरण 3: कुल से अनिवार्य अपने-आप वाले युग्म घटाएं।
To be not reflexive, at least one self-pair must be absent.
Step 3
Exam Tip
The maximum possible number is (16-1=15). चरण 1: \(A\times A\) में कुल \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 2: स्वतुल्य न होने के लिए कम से कम एक अपने-आप वाला युग्म अनुपस्थित होना चाहिए। चरण 3: अधिकतम संख्या (16-1=15) होगी।
For a self-pair, (|a-a|=0), which satisfies \(0\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
A condition true for every self-pair gives reflexivity. चरण 1: किसी भी दो संख्याओं के लिए (|a-b|) ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|=0), जो \(0\ge 0\) को पूरा करता है। चरण 3: ऐसी शर्त जो हर अपने-आप वाले युग्म पर सत्य हो, स्वतुल्यता देती है।
A. अपने-आप वाले युग्म में (|a-a|=0) होता है/In a self-pair, (|a-a|=0)
Step 1
Concept
For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), but the condition requires (>0).
Step 3
Exam Tip
So no self-pair belongs to this relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए ((a,a)) जांचते हैं। चरण 2: (|a-a|=0), लेकिन शर्त (>0) मांगती है। चरण 3: इसलिए कोई अपने-आप वाला युग्म इस शर्त में नहीं आएगा।
Therefore ((1,1),(2,2),(3,3)) all belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
In relations based on a shared property, check the self-pair first. चरण 1: कोई भी संख्या अपने साथ समान सम-विषमता रखती है। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी सम्बन्ध में होंगे। चरण 3: समान गुण पर बने सम्बन्ध में अपने-आप वाला युग्म अवश्य देखें।
A. हर (a) के लिए (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है/For every (a), (a-a=0), which is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
For a self-pair, (a-a=0), which is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Hence every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: समशेषता में \(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) (3) से विभाज्य है। चरण 2: अपने-आप के लिए (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में है।
In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
In (S), the condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore both relations are reflexive. चरण 1: (R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है। चरण 2: (S) में (a=b) होने से सभी अपने-आप वाले युग्म आते हैं। चरण 3: इसलिए दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं।
Since (R) is reflexive, all these pairs are also in (R).
Step 3
Exam Tip
Thus the identity relation is a subset of any reflexive relation. चरण 1: \(I_A\) में (A) के सभी अपने-आप वाले युग्म होते हैं। चरण 2: (R) स्वतुल्य है, इसलिए ये सभी युग्म (R) में भी हैं। चरण 3: इसलिए पहचान सम्बन्ध स्वतुल्य सम्बन्ध का उपसमुच्चय होता है।
Since \(R\subseteq S\), every pair of (R) is also in (S).
Step 3
Exam Tip
Hence (S) also contains all self-pairs and is reflexive. चरण 1: (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से (R) के सभी युग्म (S) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए (S) में भी सभी अपने-आप वाले युग्म रहेंगे।
Removing one required self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म थे। चरण 2: (T) बनाने में ((2,2)) हटा दिया गया। चरण 3: एक आवश्यक अपने-आप वाला युग्म हटते ही सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं रहता।
A. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है/Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
For reflexivity, only the condition on ((a,a)) needs to be checked.
Step 2
Why this answer is correct
For every (a), (a-a=0), and (0) is divisible by every positive integer.
Step 3
Exam Tip
Other unequal pairs may fail, but reflexivity can still hold. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए केवल ((a,a)) की शर्त जांचना जरूरी है। चरण 2: हर (a) के लिए (a-a=0), और (0) हर धनात्मक संख्या से विभाज्य माना जाता है। चरण 3: दूसरे अलग युग्म असफल हों, फिर भी स्वतुल्यता बनी रह सकती है।
Putting (b=a) gives \(a^2+a^2=2a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
Thus every ((a,a)) is in the relation, so (R) is reflexive. चरण 1: शर्त को अपने-आप वाले युग्म पर जांचें। चरण 2: (b=a) रखने पर \(a^2+a^2=2a^2\), जो सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में है और (R) स्वतुल्य है।
The identity relation is reflexive. चरण 1: ((a-b)2=0) तभी होता है जब (a=b)। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी मिलते हैं। चरण 3: पहचान सम्बन्ध भी स्वतुल्य होता है।
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2-a^2=0\)/Because \(a^2-a^2=0\) for every (a)
Step 1
Concept
To check reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(a^2-a^2=0\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
Equality-type conditions are satisfied when an element is compared with itself. चरण 1: स्वतुल्यता की जांच में (b=a) रखते हैं। चरण 2: तब \(a^2-a^2=0\) मिलता है, जो हर सदस्य के लिए सही है। चरण 3: अपनी ही संख्या से तुलना करने पर बराबरी वाली शर्त पूरी होती है।
Every number with itself satisfies either both even or both odd.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore all self-pairs of (1,2,3,4) are in (R).
Step 3
Exam Tip
A same-parity relation is reflexive. चरण 1: हर संख्या अपने साथ या तो दोनों सम या दोनों विषम की शर्त पूरी करती है। चरण 2: इसलिए (1,2,3,4) के सभी अपने-आप वाले युग्म (R) में हैं। चरण 3: समान सम-विषमता वाला सम्बन्ध स्वतुल्य होता है।
For ((3,3)), (3+3=6), which is not less than or equal to (5).
Step 3
Exam Tip
If one self-pair fails, the relation is not reflexive. चरण 1: अपने-आप वाले युग्मों पर शर्त जांचें। चरण 2: ((3,3)) पर (3+3=6), जो (5) से छोटा या बराबर नहीं है। चरण 3: एक अपने-आप वाला युग्म असफल हो तो सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं होता।
A. \(R^c\) स्वतुल्य नहीं है/\(R^c\) is not reflexive
Step 1
Concept
\(A\times A\) has ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
\(R^c\) contains only ((2,1)), because the self-pairs are already in (R).
Step 3
Exam Tip
Hence the complement relation is not reflexive. चरण 1: \(A\times A\) में ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)) हैं। चरण 2: \(R^c\) में केवल ((2,1)) बचेगा, क्योंकि अपने-आप वाले युग्म (R) में हैं। चरण 3: इसलिए पूरक सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है।
A. \(R^c\) स्वतुल्य नहीं है/\(R^c\) is not reflexive
Step 1
Concept
The complement of \(A\times A\) inside \(A\times A\) is the empty relation.
Step 2
Why this answer is correct
On a non-empty (A), the empty relation has no self-pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not reflexive. चरण 1: \(A\times A\) का पूरक \(A\times A\) के भीतर रिक्त सम्बन्ध होता है। चरण 2: अरिक्त (A) पर रिक्त सम्बन्ध में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए वह स्वतुल्य नहीं होगा।
A number compared with itself leaves the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every self-pair is in the relation, including ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder questions, self-pairs are guaranteed. चरण 1: किसी संख्या को स्वयं से मिलाने पर शेष समान ही होगा। चरण 2: इसलिए हर अपने-आप वाला युग्म सम्बन्ध में होगा, जिनमें ((2,2)) भी है। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्न में अपने-आप वाले युग्म निश्चित मानें।
One failed element is enough to disprove reflexivity. चरण 1: अपने-आप वाले युग्म में योग (2a) होगा। चरण 2: (a=1) पर (2a=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: एक सदस्य पर असफलता दिखाकर स्वतुल्यता न होना सिद्ध किया जा सकता है।
Therefore all three self-pairs belong to (R). चरण 1: अपने-आप वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 2: प्रत्येक में योग (2a) है, जो (2) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए तीनों अपने-आप वाले युग्म (R) में होंगे।
The second condition may add pairs, but reflexivity remains safe. चरण 1: शर्त (a=b) हर अपने-आप वाले युग्म को शामिल कर देती है। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी (R) में हैं। चरण 3: दूसरी शर्त अतिरिक्त युग्म दे सकती है, लेकिन स्वतुल्यता सुरक्षित रहती है।
For ((1,1)), \(a\ne b\) is false and (a=2) is also false.
Step 2
Why this answer is correct
So ((1,1)) does not belong to (R).
Step 3
Exam Tip
Missing one self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: ((1,1)) के लिए \(a\ne b\) असत्य है और (a=2) भी असत्य है। चरण 2: इसलिए ((1,1)) (R) में नहीं आएगा। चरण 3: एक अपने-आप वाला युग्म न होने से सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है।
The condition becomes \(a\le a+1\), which is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
In such questions, substituting (b=a) is the direct method. चरण 1: अपने-आप वाले युग्म के लिए (b=a) रखें। चरण 2: तब शर्त \(a\le a+1\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में (b=a) रखना सबसे सीधा तरीका है।
The condition becomes \(a+1\le a\), which is false for every number.
Step 3
Exam Tip
So no self-pair is included and (R) is not reflexive. चरण 1: अपने-आप वाले युग्म के लिए (b=a) रखें। चरण 2: शर्त \(a+1\le a\) बनती है, जो किसी संख्या के लिए सत्य नहीं है। चरण 3: इसलिए कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं आएगा और (R) स्वतुल्य नहीं है।
For a self-pair, \(ab=a^2\), which is greater than (0) for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
In product conditions, check \(a^2\) for reflexivity. चरण 1: (A) के सभी सदस्य धनात्मक हैं। चरण 2: अपने-आप वाले युग्म में \(ab=a^2\), जो हर \(a\in A\) के लिए (0) से बड़ा है। चरण 3: गुणन वाली शर्त में \(a^2\) देखकर स्वतुल्यता जांचें।
A. ((0,0)) पर \(0\cdot 0>0\) सत्य नहीं है/For ((0,0)), \(0\cdot 0>0\) is not true
Step 1
Concept
Reflexivity requires the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
For (0), the pair ((0,0)) gives product (0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
Be careful with product conditions when zero is in the set. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर सदस्य का अपने-आप वाला युग्म चाहिए। चरण 2: (0) के लिए ((0,0)) पर गुणनफल (0) है, जो (0) से बड़ा नहीं है। चरण 3: शून्य वाले समुच्चय में गुणन शर्त सावधानी से जांचें।
In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), which is even.
Step 2
Why this answer is correct
In (S), putting ((a,a)) gives (a-a=0), which is even.
Step 3
Exam Tip
Both relations contain all self-pairs. चरण 1: (R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो सम है। चरण 2: (S) में ((a,a)) रखने पर (a-a=0), जो सम है। चरण 3: दोनों में सभी अपने-आप वाले युग्म मौजूद होंगे।
A. कम से कम (4), अधिक से अधिक (16)/Minimum (4), maximum (16)
Step 1
Concept
Reflexivity requires four self-pairs, so the minimum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The maximum relation is \(A\times A\), which has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Count compulsory pairs and total pairs separately. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए चार अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए न्यूनतम (4) है। चरण 2: अधिकतम सम्बन्ध \(A\times A\) होगा, जिसमें \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 3: न्यूनतम और अधिकतम दोनों के लिए अनिवार्य और कुल युग्म अलग-अलग गिनें।
