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A symmetric extension keeps all given pairs and adds only the missing reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,4)) is ((4,2)), and it is missing, while other unequal pairs already have reverses.
Step 3
Exam Tip
For the smallest extension, add only the compulsory reverse pairs. चरण 1: सममित विस्तार में दिए गए सभी युग्म बने रहते हैं और जिनके उल्टे नहीं हैं, वे जोड़े जाते हैं। चरण 2: ((2,4)) का उल्टा ((4,2)) अनुपस्थित है, जबकि बाकी गैर-समान युग्मों के उल्टे मौजूद हैं। चरण 3: सबसे छोटा विस्तार पूछे जाने पर केवल आवश्यक उल्टे युग्म ही जोड़ें।
Reflexivity forces all diagonal pairs to be included.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, we choose from (n(n-1)/2) unordered off-diagonal pair groups, so the count is \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
When reflexivity is fixed, do not count diagonal choices separately. चरण 1: स्वतुल्य होने से सभी विकर्ण युग्म निश्चित रूप से संबंध में होंगे। चरण 2: सममितता में केवल (n(n-1)/2) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों को चुनना होता है, इसलिए संख्या \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\) होगी। चरण 3: स्वतुल्य शर्त होने पर विकर्ण युग्मों के लिए अलग चुनाव नहीं बचता।
No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses. चरण 1: कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। चरण 2: अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। चरण 3: सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं।
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
A symmetric relation can have a subset that does not contain all reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) is symmetric, but \(S=\{(1,2)\}\) is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Do not assume that every property passes to subsets. चरण 1: बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने-आप नहीं रहते। चरण 2: उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) सममित है, लेकिन \(S=\{(1,2)\}\) सममित नहीं है। चरण 3: उपसमुच्चय वाले प्रश्न में यह न मानें कि सभी गुण नीचे चले जाते हैं।
A. (R-S) हमेशा सममित होगा/(R-S) will always be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\), and since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\), which is false.
Step 3
Exam Tip
In difference proofs, handle membership and non-membership together. चरण 1: यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\) होगा। चरण 2: (R) सममित है इसलिए \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता, जो असत्य है। चरण 3: अंतर वाले प्रमाण में शामिल और अनुपस्थित दोनों शर्तों को साथ जाँचें।
For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric. चरण 1: उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। चरण 2: (R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। चरण 3: यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा।
If (a+b=0), then after swapping the order, (b+a=0) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In sum-based rules, the order does not change the sum, so symmetry is often easier to detect. चरण 1: यदि (a+b=0), तो क्रम बदलने पर (b+a=0) भी सत्य होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी है। चरण 3: योग वाले नियम में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता जल्दी पहचानी जा सकती है।
A. क्योंकि (2-1>0), लेकिन (1-2>0) नहीं है/Because (2-1>0), but (1-2>0) is not true
Step 1
Concept
One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
\((2,1)\in R\) because (2-1>0), but \((1,2)\notin R\) because (1-2<0).
Step 3
Exam Tip
In inequality relations, reversing the order may change the sign. चरण 1: सममितता टूटने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी होता है। चरण 2: \((2,1)\in R\) है क्योंकि (2-1>0), लेकिन \((1,2)\notin R\) क्योंकि (1-2<0)। चरण 3: असमानता वाले संबंधों में दिशा बदलते ही चिन्ह बदल सकता है।
The pairs are ((1,3),(3,1),(2,4),(4,2)), so the total is (4).
Step 3
Exam Tip
In absolute value relations, remember to count both directions. चरण 1: (|a-b|=2) के लिए संभव युग्म खोजें। चरण 2: युग्म ((1,3),(3,1),(2,4),(4,2)) मिलते हैं, इसलिए कुल (4) युग्म हैं। चरण 3: परम मान वाले संबंध में दोनों दिशाएँ गिनना न भूलें।
To check symmetry from a matrix, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=m_{21}=1\), \(m_{13}=m_{31}=1\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
If entries on both sides of the main diagonal match, the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) देखना होता है। चरण 2: \(m_{12}=m_{21}=1\), \(m_{13}=m_{31}=1\), और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। चरण 3: विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ समान हों तो संबंध सममित होता है।
Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices. चरण 1: (4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। चरण 2: गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। चरण 3: विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें।
Symmetry forces ((2,1),(3,2),(4,3)), making (6) off-diagonal pairs in total.
Step 3
Exam Tip
For a minimum count, do not add extra diagonal or unrelated pairs. चरण 1: दिए गए तीनों युग्म गैर-विकर्ण हैं। चरण 2: सममितता के कारण ((2,1),(3,2),(4,3)) भी होने जरूरी हैं, इसलिए कुल (6) गैर-विकर्ण युग्म हो जाते हैं। चरण 3: न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त विकर्ण या अन्य युग्म न जोड़ें।
In inverse-relation questions, identify \(R^{-1}\) first. चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\) होगा। चरण 3: उल्टे संबंध के प्रश्नों में पहले \(R^{-1}\) की पहचान करें।
\(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\). चरण 1: \(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। चरण 2: \(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। चरण 3: किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है।
To make (R) symmetric, every pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
\(R^{-1}\) provides exactly those reverse pairs, so \(R\cup R^{-1}\) contains all required pairs.
Step 3
Exam Tip
When the word smallest appears, reject options that add unnecessary pairs. चरण 1: (R) को सममित बनाने के लिए हर युग्म का उल्टा जोड़ना पड़ता है। चरण 2: \(R^{-1}\) यही उल्टे युग्म देता है, इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सभी आवश्यक युग्म रखता है। चरण 3: सबसे छोटा शब्द देखकर अनावश्यक अतिरिक्त युग्म जोड़ने वाले विकल्प हटाएँ।
This means every pair of (R) has its reverse in (R), so (R) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Inclusion statements such as \(R\subseteq R^{-1}\) are useful for proving symmetry. चरण 1: \(R\cap R^{-1}=R\) से \(R\subseteq R^{-1}\) मिलता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि (R) के हर युग्म का उल्टा भी (R) में है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: सममितता सिद्ध करने में \(R\subseteq R^{-1}\) और \(R^{-1}\subseteq R\) जैसी समावेशन भाषा मदद करती है।
In a relation matrix, symmetry requires \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=0\) but \(m_{21}=1\), so the relation is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
One mismatched pair of matrix entries is enough to break symmetry. चरण 1: आव्यूह में सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=0\) लेकिन \(m_{21}=1\), इसलिए संबंध सममित नहीं है। चरण 3: एक भी असमान जोड़ी मिल जाए तो सममितता टूट जाती है।
In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is always even because they appear in reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If there are (3) diagonal pairs out of (10), the off-diagonal count is (7), which is not even.
Step 3
Exam Tip
Checking parity of total and diagonal counts is a fast exam method. चरण 1: सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या हमेशा सम होती है क्योंकि वे उल्टे जोड़ों में आते हैं। चरण 2: कुल (10) युग्मों में यदि (3) विकर्ण हों, तो गैर-विकर्ण (7) होंगे, जो सम नहीं है। चरण 3: कुल युग्म और विकर्ण युग्म की सम-विषम जाँच तेज तरीका है।
Swapping (a) and (b) in \(a^2+b^2=25\) gives \(b^2+a^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
The value does not change, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Rules based on sums of squares are often directly symmetric. चरण 1: \(a^2+b^2=25\) में (a) और (b) की जगह बदलने पर \(b^2+a^2=25\) मिलता है। चरण 2: योग का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: वर्गों के योग वाले नियमों में सममितता अक्सर सीधे दिखती है।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Equality remains true when the two sides are interchanged. चरण 1: \(a^2-b^2=0\) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबरी में दोनों तरफ अदला-बदली करने से सत्यता नहीं बदलती।
A. \((3,1)\in R\), पर \((1,3)\notin R\)/\((3,1)\in R\), but \((1,3)\notin R\)
Step 1
Concept
For ((3,1)), (3=1+2) is true, so the pair belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For the reverse ((1,3)), (1=3+2) is false.
Step 3
Exam Tip
In direction-dependent rules, always test the reverse pair separately. चरण 1: ((3,1)) के लिए (3=1+2) सत्य है, इसलिए यह संबंध में है। चरण 2: उल्टे युग्म ((1,3)) के लिए (1=3+2) असत्य है। चरण 3: दिशा-निर्भर नियमों में उल्टा युग्म अलग से जाँचना जरूरी है।
The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
Off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups.
Step 3
Exam Tip
The total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: गैर-विकर्ण युग्म उल्टे जोड़ों में आते हैं, इसलिए उनके समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) होते हैं।
In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is even.
Step 2
Why this answer is correct
Since the total is (5), the number of diagonal pairs must be odd. With (3) elements, possible diagonal counts are at most (3), so (1) is possible.
Step 3
Exam Tip
Apply parity first, then check the maximum limit. चरण 1: सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या सम होती है। चरण 2: कुल (5) युग्म हैं, इसलिए विकर्ण युग्मों की संख्या विषम होनी चाहिए। (A) में अधिकतम (3) विकर्ण युग्म हो सकते हैं, इसलिए (1) संभव है। चरण 3: पहले सम-विषम नियम लगाएँ, फिर अधिकतम सीमा देखें।
A. (T=R) और इसलिए (T) सममित है/(T=R), so (T) is symmetric
Step 1
Concept
Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(R\cup R^{-1}=R\), and \(R\subseteq T\subseteq R\) gives (T=R).
Step 3
Exam Tip
In inclusion-based questions, simplify the relation expressions first. चरण 1: (R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\) होगा। चरण 2: अतः \(R\cup R^{-1}=R\), और \(R\subseteq T\subseteq R\) से (T=R) मिलता है। चरण 3: समावेशन वाले प्रश्न में पहले दिए गए संबंधों को सरल करें।
If ((a,b)) is in this complement and ((b,a)) were in (R), symmetry of (R) would force \((a,b)\in R\), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
The complement of a symmetric relation is symmetric. चरण 1: \(A\times A-R\) में वे युग्म हैं जो (R) में नहीं हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) इस पूरक में है और ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो असंभव है। चरण 3: सममित संबंध का पूरक भी सममित रहता है।
One off-diagonal pair group means ((a,b)) and ((b,a)) together.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore one group gives two ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
In symmetric relations, count off-diagonal selections as groups, not single pairs. चरण 1: एक गैर-विकर्ण जोड़ी समूह का अर्थ है ((a,b)) और ((b,a)) दोनों साथ। चरण 2: इसलिए एक समूह से दो क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 3: सममित संबंध में गैर-विकर्ण चयन को समूह के रूप में गिनें, अकेले युग्म के रूप में नहीं।
A. यदि \((4,1)\in R\) होता तो \((1,4)\in R\) भी होता, इसलिए \((4,1)\notin R\)/If \((4,1)\in R\), then \((1,4)\in R\), so \((4,1)\notin R\)
Step 1
Concept
In a symmetric relation, \((4,1)\in R\) would force \((1,4)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \((1,4)\notin R\), ((4,1)) cannot be in (R).
Step 3
Exam Tip
In symmetric relations, absence of an off-diagonal pair also implies absence of its reverse. चरण 1: सममितता में \((4,1)\in R\) होने पर उसका उल्टा \((1,4)\in R\) होना चाहिए। चरण 2: पर \((1,4)\notin R\) दिया है, इसलिए ((4,1)) भी नहीं हो सकता। चरण 3: सममित संबंध में किसी गैर-विकर्ण युग्म की अनुपस्थिति उसके उल्टे की अनुपस्थिति भी बताती है।
\(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
For same-remainder relations, check the reversed order mentally. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेषफल है। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, तो (b) और (a) का भी समान ही होगा। चरण 3: समान शेषफल वाले संबंध को सममित मानने से पहले उल्टा क्रम सोचें।
Test one pair for symmetry. ((2,1)) belongs because \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse ((1,2)) would require \(1\equiv 4 \pmod{5}\), which is false.
Step 3
Exam Tip
Modular relations with a multiplier do not always survive reversal. चरण 1: सममितता जाँचने के लिए एक युग्म लें। ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\)। चरण 2: उल्टा ((1,2)) जाँचने पर \(1\equiv 4 \pmod{5}\) असत्य है। चरण 3: गुणक वाले शेषफल संबंधों में उल्टा क्रम हमेशा वही नियम पूरा नहीं करता।
Two off-diagonal ordered pairs mean one reverse-pair group; with (3) elements, there are \(\binom{3}{2}=3\) such groups.
Step 3
Exam Tip
Total possibilities are \(3\cdot3=9\). चरण 1: एक विकर्ण युग्म चुनने के (3) तरीके हैं। चरण 2: दो गैर-विकर्ण क्रमित युग्मों का अर्थ है एक उल्टा जोड़ी समूह; (3) अवयवों में ऐसे समूह \(\binom{3}{2}=3\) हैं। चरण 3: कुल तरीके \(3\cdot3=9\) होंगे।
The difference of two symmetric relations is also symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Both (R-S) and (S-R) are symmetric, and the union of symmetric relations is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Break a complex operation into smaller relation operations. चरण 1: दो सममित संबंधों का अंतर भी सममित होता है। चरण 2: (R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे, और सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। चरण 3: जटिल संक्रिया को छोटे भागों में तोड़कर गुण जाँचें।
\(\Delta\) contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of such a pair is the same pair, so \(\Delta\) is symmetric and \(R\cap\Delta\) remains symmetric.
Step 3
Exam Tip
The diagonal relation is always easy to handle in symmetry questions. चरण 1: \(\Delta\) में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: ऐसे युग्मों का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए \(\Delta\) सममित है और \(R\cap\Delta\) भी सममित रहेगा। चरण 3: विकर्ण संबंध को सममितता में हमेशा विशेष रूप से आसान मानें।
A. (R) सममित हो सकता है/(R) can still be symmetric
Step 1
Concept
Symmetry only says that every existing pair must have its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
It does not require diagonal pairs like ((a,a)) to be present.
Step 3
Exam Tip
Treat symmetry and reflexivity as separate properties. चरण 1: सममितता केवल यह कहती है कि हर मौजूद युग्म का उल्टा मौजूद हो। चरण 2: इसके लिए ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्मों का होना जरूरी नहीं है। चरण 3: सममितता और स्वतुल्यता को अलग-अलग गुण समझें।
A. ((a,a)), यदि (a) और (b) वही अवयव हैं जिनसे ((a,b)) दिया है/((a,a)), for the same (a) and (b) in the given pair
Step 1
Concept
From \((a,b)\in R\), symmetry gives \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, ((a,b)) and ((b,a)) imply \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
This conclusion applies to the involved elements, not automatically to every element of the set. चरण 1: \((a,b)\in R\) और सममितता से \((b,a)\in R\) होगा। चरण 2: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,a)) से \((a,a)\in R\) मिलता है। चरण 3: यह निष्कर्ष केवल जुड़े हुए अवयवों के लिए है, पूरे समुच्चय के हर अवयव के लिए नहीं।
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases. चरण 1: सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। चरण 2: विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। चरण 3: दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें।
If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of such relations is \(2^4\). चरण 1: सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। चरण 2: केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। चरण 3: इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है।
If (xy>0), then (yx>0) because the product does not change when order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((x,y)\in R\) implies \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In product-based conditions, check whether swapping changes the value. चरण 1: यदि (xy>0), तो (yx>0) भी होगा क्योंकि गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर \((y,x)\in R\) भी होगा। चरण 3: गुणनफल आधारित नियमों में क्रम बदलने का असर ध्यान से देखें।
A. \((2,1)\in R\), पर \((1,2)\notin R\)/\((2,1)\in R\), but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) belongs to the relation because \(2=2\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse ((1,2)) does not belong because \(1\ne2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample proves that the relation is not symmetric. चरण 1: ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2=2\cdot1\)। चरण 2: उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1\ne2\cdot2\)। चरण 3: एक सही प्रतिउदाहरण पूरे संबंध को असममित सिद्ध कर देता है।
A. \(R^2\) हमेशा सममित होगा/\(R^2\) will always be symmetric
Step 1
Concept
Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), so \(R^2\) equals its inverse.
Step 3
Exam Tip
For powers of relations, the inverse relation rule is very useful. चरण 1: (R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। चरण 2: (\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), इसलिए \(R^2\) अपने उल्टे के बराबर है। चरण 3: किसी संबंध का वर्ग लेते समय उल्टे संबंध का नियम बहुत उपयोगी होता है।
Powers of a symmetric relation remain symmetric. चरण 1: (R) सममित होने से \(R^{-1}=R\)। चरण 2: (\(R^3\)^{-1}=\(R\circ R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}\circ R^{-1}=R-3)। चरण 3: किसी सममित संबंध की घातें भी सममित रहती हैं।
The symmetry condition applies only to pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so there is no violation of symmetry.
Step 3
Exam Tip
Such empty conditions are treated as true in mathematics. चरण 1: सममितता की शर्त केवल मौजूद युग्मों पर लागू होती है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त टूटने का मौका ही नहीं है। चरण 3: खाली शर्तों को गणित में सत्य माना जाता है।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, then ((b,a)) is also definitely present.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is one of the simplest examples of a symmetric relation. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) इसमें है, तो ((b,a)) भी अवश्य इसमें होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध सममितता की जाँच में सबसे सरल उदाहरण है।
Each off-diagonal pair group contributes (2) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) groups give (6) off-diagonal pairs, and with (2) diagonal pairs the total is (8).
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between pair groups and actual ordered pairs. चरण 1: हर गैर-विकर्ण जोड़ी समूह से (2) क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 2: (3) समूहों से (6) गैर-विकर्ण युग्म और (2) विकर्ण युग्म मिलाकर कुल (8) युग्म होंगे। चरण 3: समूहों और वास्तविक क्रमित युग्मों में अंतर याद रखें।
In such questions, first convert the condition into a familiar inequality. चरण 1: (\min(a,b)=a) का अर्थ है \(a\le b\)। चरण 2: ((1,2)) संबंध में है, लेकिन ((2,1)) संबंध में नहीं है। चरण 3: छिपी हुई असमानता पहचानना ऐसे प्रश्नों में जरूरी है।
A. यह सार्वत्रिक और सममित है/It is universal and symmetric
Step 1
Concept
(\max(a,b)=\max(b,a)) is true for all real (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation contains every ordered pair, making it universal.
Step 3
Exam Tip
A universal relation is always symmetric because every reverse pair is present. चरण 1: (\max(a,b)=\max(b,a)) हर वास्तविक (a,b) के लिए सत्य है। चरण 2: इसलिए संबंध सभी युग्मों को रखता है, यानी यह सार्वत्रिक संबंध है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है क्योंकि सभी उल्टे युग्म भी मौजूद होते हैं।
यदि \(R={(a,b):a\) और (b) के बीच की दूरी (5) से कम है(}) वास्तविक संख्याओं पर है, तो इसे प्रतीकों में \(R=\{(a,b):|a-b|<5\}\) लिखा जाता है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
Distance-based relations do not have direction, so they are often symmetric. चरण 1: दूरी की शर्त में (|a-b|=|b-a|) होता है। चरण 2: यदि (|a-b|<5), तो (|b-a|<5) भी होगा। चरण 3: दूरी आधारित संबंधों में दिशा नहीं होती, इसलिए वे अक्सर सममित होते हैं।
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध में ((1,2),(2,1),(3,4),(4,3)) हैं और कोई अन्य गैर-विकर्ण युग्म नहीं है, तो गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या कितनी है?
In symmetric counting, reverse pairs are not counted as separate groups. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) मिलकर एक जोड़ी समूह बनाते हैं। चरण 2: ((3,4)) और ((4,3)) दूसरा जोड़ी समूह बनाते हैं। चरण 3: सममित गिनती में उल्टे युग्मों को अलग समूह नहीं माना जाता।
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
The larger relation (S) may contain additional pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If an extra pair is added without its reverse, (S) may fail to be symmetric.
Step 3
Exam Tip
A property need not pass upward to every superset relation. चरण 1: बड़े संबंध (S) में अतिरिक्त युग्म जोड़े जा सकते हैं। चरण 2: यदि कोई अतिरिक्त युग्म अपने उल्टे के बिना जुड़ जाए, तो (S) सममित नहीं रहेगा। चरण 3: अधिसंबंध में गुण ऊपर जाना जरूरी नहीं होता।
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the relation is symmetric, but it is not reflexive because ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not require every diagonal pair to be present. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, और विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होते हैं। चरण 2: इसलिए संबंध सममित है, पर ((3,3)) नहीं होने से यह स्वतुल्य नहीं है। चरण 3: सममितता में हर विकर्ण युग्म का होना जरूरी नहीं है।
\(R^{-1}\subseteq R\) means all pairs of the inverse relation are contained in (R).
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R^{-1}\), so by inclusion \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Inclusion of inverse relations is a quick way to prove symmetry. चरण 1: \(R^{-1}\subseteq R\) का अर्थ है कि (R) के उल्टे संबंध के सभी युग्म (R) में हैं। चरण 2: यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R^{-1}\), और समावेशन से \((b,a)\in R\) होगा। चरण 3: सममितता सिद्ध करने में उल्टे संबंध का समावेशन तेज विधि है।
