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A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में है/The reverse pair of every pair is also in the relation
Step 1
Concept
In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check reverse pairs for pairs with different elements. चरण 1: सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। चरण 3: परीक्षा में हर अलग-अलग तत्वों वाले युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें।
The reverse of ((3,4)) is ((4,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, add only the missing reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से एक-दूसरे के उल्टे हैं। चरण 2: ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) नहीं है, इसलिए वही जोड़ना जरूरी है। चरण 3: सममित बनाने में केवल उन युग्मों के उल्टे जोड़ें जो गायब हों।
Diagonal pairs ((a,a)) can be chosen independently, and there are (n) of them.
Step 2
Why this answer is correct
Non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks, giving (\frac{n(n-1)}{2}) blocks.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: विकर्ण युग्म ((a,a)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इनकी संख्या (n) है। चरण 2: अलग-अलग तत्वों वाले युग्म जोड़े में चुने जाते हैं, ऐसे जोड़ों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
\(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}=1024\), so the correct number is (1024). चरण 1: यहाँ (n=4) है। चरण 2: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 3: \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}=1024\), इसलिए सही संख्या (1024) है।
A. यह सममित नहीं है क्योंकि ((3,2)) अनुपस्थित है/It is not symmetric because ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present, but ((3,2)) is not present.
Step 3
Exam Tip
If even one required reverse pair is missing, the relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए संबंध के हर युग्म का उल्टा भी होना चाहिए। चरण 2: ((2,3)) दिया है, पर ((3,2)) नहीं दिया गया। चरण 3: एक भी जरूरी उल्टा युग्म न मिले तो संबंध सममित नहीं माना जाता।
A symmetric relation is identified by reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((5,8)) is present, ((8,5)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Remember that symmetry alone does not guarantee diagonal pairs. चरण 1: सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। चरण 2: ((5,8)) होने पर ((8,5)) होना अनिवार्य है। चरण 3: ध्यान रखें कि सममितता अपने-आप विकर्ण युग्मों की गारंटी नहीं देती।
In a symmetric relation, those reverse pairs already belong to the same relation.
Step 3
Exam Tip
Hence a useful test for symmetry is checking whether \(R^{-1}=R\). चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: सममित संबंध में उल्टे युग्म पहले से उसी संबंध में होते हैं। चरण 3: इसलिए सममितता जाँचने का अच्छा तरीका है कि \(R^{-1}=R\) है या नहीं।
For number-based relations, check whether the condition remains true after reversing the pair. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b) \in R\) से \((b,a) \in R\) मिलता है। चरण 3: संख्या-आधारित संबंधों में उल्टा करने पर शर्त बदलेगी या नहीं, यह जरूर जाँचें।
A. क्योंकि \(1\leq2\) है पर \(2\leq1\) नहीं है/Because \(1\leq2\) but \(2\leq1\) is false
Step 1
Concept
Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\leq2\) is true, so ((1,2)) is in the relation, but \(2\leq1\) is false.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to prove that a relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। चरण 2: \(1\leq2\) सही है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है, लेकिन \(2\leq1\) गलत है। चरण 3: एक प्रतिउदाहरण संबंध को असममित सिद्ध करने के लिए पर्याप्त होता है।
The condition for symmetry applies to every pair that is present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so there is no violation.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is considered symmetric. चरण 1: सममितता की शर्त हर मौजूद युग्म पर लगती है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में याद रखें कि रिक्त संबंध सममित माना जाता है।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, ((b,a)) is also certainly present.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is a direct example of a symmetric relation. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) इसमें है, तो ((b,a)) भी निश्चित रूप से इसमें होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध सममितता के लिए सबसे सीधा उदाहरण है।
The identity relation contains only such diagonal pairs, so each reverse pair is already present.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs never create a problem for symmetry. चरण 1: ((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। चरण 2: सर्वसम संबंध में केवल ऐसे ही विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए उल्टा युग्म अपने-आप मौजूद है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता में कभी समस्या नहीं बनाते।
To test symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
If \(M=M^T\), the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार समानता देखें। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। चरण 3: यदि \(M=M^T\), तो संबंध सममित होता है।
A. क्योंकि \(m_{12}\neq m_{21}\)/Because \(m_{12}\neq m_{21}\)
Step 1
Concept
For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\), but \(m_{21}=0\), so the equality fails.
Step 3
Exam Tip
In matrix-based questions, compare entries on both sides of the main diagonal. चरण 1: सममित संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=1\), लेकिन \(m_{21}=0\), इसलिए बराबरी टूट गई। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ।
A. हर तीर के साथ विपरीत दिशा का तीर भी हो/Every arrow has a reverse arrow
Step 1
Concept
In a directed graph, ((a,b)) is shown by an arrow from (a) to (b).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry requires the reverse arrow from (b) to (a).
Step 3
Exam Tip
In graph questions, carefully check every two-way pair. चरण 1: निर्देशित आरेख में ((a,b)) को (a) से (b) की ओर तीर से दिखाते हैं। चरण 2: सममितता के लिए (b) से (a) की ओर विपरीत तीर भी चाहिए। चरण 3: चित्र वाले प्रश्नों में हर दो-तरफा जोड़ी को ध्यान से जाँचें।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) being in the relation implies ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on commutative operations like addition or multiplication often give symmetry. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: जोड़ या गुणा जैसे अदला-बदली वाले नियम अक्सर सममितता देते हैं।
A. क्योंकि (a-b=3) से (b-a=3) नहीं मिलता/Because (a-b=3) does not imply (b-a=3)
Step 1
Concept
((a,b)) is in the relation when (a-b=3).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse pair ((b,a)) would require (b-a=3), which is not generally true.
Step 3
Exam Tip
For example, ((4,1)) is in the relation, but ((1,4)) is not. चरण 1: ((a,b)) संबंध में है जब (a-b=3) हो। चरण 2: उल्टा युग्म ((b,a)) तभी होगा जब (b-a=3), जो सामान्यतः सही नहीं है। चरण 3: जैसे ((4,1)) संबंध में है, पर ((1,4)) नहीं है।
Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so the non-diagonal pair is balanced.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not require all possible pairs; it only requires reverse pairs for the pairs present. चरण 1: विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म भी संतुलित हैं। चरण 3: सममितता के लिए हर संभव युग्म होना जरूरी नहीं, केवल मौजूद युग्मों के उल्टे होने चाहिए।
A. \(R\cap S\) भी सममित है/\(R\cap S\) is also symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R\cap S\), then it belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both.
Step 3
Exam Tip
Hence \((b,a) \in R\cap S\), so the intersection is symmetric. चरण 1: यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो यह (R) और (S) दोनों में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी (R) और (S) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए \((b,a) \in R\cap S\), अतः प्रतिच्छेद सममित है।
A. \(R\cup S\) भी सममित है/\(R\cup S\) is also symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R\cup S\), it belongs to at least one of the relations.
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, symmetry gives ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((b,a)) also belongs to \(R\cup S\), so the union is symmetric. चरण 1: यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह कम-से-कम एक संबंध में होगा। चरण 2: जिस संबंध में यह है, वहाँ सममितता के कारण ((b,a)) भी होगा। चरण 3: इसलिए ((b,a)) भी \(R\cup S\) में आएगा, अतः संघ सममित है।
A. यह हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
(R) may contain both reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) can remove only one of those pairs, breaking symmetry.
Step 3
Exam Tip
Be careful with difference of relations because symmetry is not always preserved. चरण 1: (R) में दोनों उल्टे युग्म हो सकते हैं। चरण 2: (S) उनमें से केवल एक युग्म हटा सकता है, जिससे सममितता टूट सकती है। चरण 3: संबंधों के अंतर में सावधानी रखें, क्योंकि गुण हमेशा सुरक्षित नहीं रहता।
The relation is already symmetric because every non-diagonal pair has its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
To make it reflexive, ((1,1),(2,2),(3,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
Check symmetry and reflexivity separately; do not mix the two properties. चरण 1: संबंध पहले से सममित है क्योंकि हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा मौजूद है। चरण 2: परावर्ती बनाने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जोड़ने होंगे। चरण 3: सममितता और परावर्तिता अलग-अलग जाँचें, दोनों को मिलाएँ नहीं।
Only ((3,4)) is missing its reverse ((4,3)), so one pair is needed. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पूरी जोड़ी है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,2)) भी पूरी जोड़ी है। चरण 3: केवल ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) नहीं है, इसलिए एक युग्म जोड़ना होगा।
A. \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) वास्तविक संख्याओं पर/\(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) on real numbers
Step 1
Concept
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also certainly true.
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Conditions based on equality are often symmetric, while inequalities or divisibility need separate checking. चरण 1: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी निश्चित रूप से सही है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) से ((b,a)) भी मिलता है। चरण 3: बराबरी पर आधारित शर्तें अक्सर सममित होती हैं, पर असमानता या विभाज्यता को अलग से जाँचें।
A. क्योंकि \(2\mid4\) है पर \(4\mid2\) नहीं है/Because \(2\mid4\) but \(4\nmid2\)
Step 1
Concept
Symmetry would require \(a\mid b\) to imply \(b\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid4\) is true, but \(4\nmid2\).
Step 3
Exam Tip
A small divisibility counterexample is very useful in exams. चरण 1: सममितता के लिए \(a\mid b\) से \(b\mid a\) मिलना चाहिए। चरण 2: \(2\mid4\) सही है, पर \(4\mid2\) गलत है। चरण 3: विभाज्यता संबंधों में छोटा प्रतिउदाहरण बहुत उपयोगी होता है।
In a symmetric relation, every given pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and the reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not force extra diagonal pairs. चरण 1: सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा चाहिए। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है। चरण 3: सममितता से अतिरिक्त विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते।
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a) \in R\)/For every \(a\in A\), \((a,a) \in R\)
Step 1
Concept
Having every ((a,a)) is related to reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry only says that the reverse of every present pair must also be present.
Step 3
Exam Tip
Keep reflexive and symmetric properties separate in exams. चरण 1: हर ((a,a)) का होना परावर्ती गुण से जुड़ा है। चरण 2: सममितता केवल यह कहती है कि मौजूद युग्म का उल्टा भी मौजूद हो। चरण 3: परीक्षा में परावर्ती और सममित गुणों को अलग-अलग रखें।
For absolute difference relations, check this equality first. चरण 1: (|a-b|=|b-a|) होता है। चरण 2: इसलिए यदि (|a-b|<2), तो (|b-a|<2) भी होगा। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले अंतर संबंधों में यह बराबरी तुरंत जाँच लें।
Thus the reverse pair ((b,a)) is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
For sum-based conditions, use the commutative nature of addition. चरण 1: (a+b=10) होने पर (b+a=10) भी सही है। चरण 2: इससे ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: योग वाली शर्तों में जोड़ की अदला-बदली प्रकृति का उपयोग करें।
A. क्योंकि (a=2b) से (b=2a) नहीं मिलता/Because (a=2b) does not imply (b=2a)
Step 1
Concept
For ((a,b)) to be in the relation, (a=2b) is required.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse pair ((b,a)) would require (b=2a), which is not generally true.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) is a simple counterexample because ((1,2)) is not in the relation. चरण 1: ((a,b)) संबंध में होने के लिए (a=2b) चाहिए। चरण 2: उल्टा युग्म ((b,a)) तभी होगा जब (b=2a), जो सामान्यतः नहीं होता। चरण 3: ((2,1)) एक आसान प्रतिउदाहरण है, क्योंकि ((1,2)) संबंध में नहीं है।
For (n=3), the total independent choices are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
Including ((1,2)) forces ((2,1)), so one non-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
The remaining independent choices are (4), so the number is \(2^4=16\). चरण 1: (n=3) के लिए कुल स्वतंत्र चुनाव \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होते हैं। चरण 2: ((1,2)) रखने पर ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए एक गैर-विकर्ण जोड़ी तय हो गई। चरण 3: बाकी (5) स्वतंत्र चुनावों में से वही तय जोड़ी हटाकर (4) चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है।
For (n=3), symmetric relations have (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
Excluding ((1,1)) fixes one of these choices.
Step 3
Exam Tip
The remaining (5) choices are free, so the number is \(2^5=32\). चरण 1: (n=3) पर सममित संबंधों के लिए (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। चरण 2: ((1,1)) को न रखने की स्थिति में एक चुनाव तय हो गया। चरण 3: बाकी (5) चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5=32\) है।
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं निकलता/No definite conclusion follows
Step 1
Concept
Symmetry talks only about pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
If a pair is absent, we cannot always conclude anything definite about its reverse.
Step 3
Exam Tip
In exams, avoid reversing the implication incorrectly. चरण 1: सममितता केवल मौजूद युग्मों के बारे में बात करती है। चरण 2: किसी युग्म के न होने से उसके उल्टे के बारे में हमेशा निश्चित बात नहीं कही जा सकती। चरण 3: परीक्षा में शर्त को उल्टा करके गलत निष्कर्ष न निकालें।
A. (S) हमेशा सममित नहीं होता/(S) is not always symmetric
Step 1
Concept
A symmetric relation (R) may contain pairs together with their reverses.
Step 2
Why this answer is correct
A subset (S) may keep only one pair and remove the reverse.
Step 3
Exam Tip
Therefore, every subrelation of a symmetric relation need not be symmetric. चरण 1: सममित संबंध (R) में उल्टे युग्म साथ-साथ हो सकते हैं। चरण 2: उपसमुच्चय (S) उनमें से केवल एक युग्म रख सकता है और दूसरा हटा सकता है। चरण 3: इसलिए सममित संबंध का हर उपसंबंध सममित हो, यह जरूरी नहीं।
\(a\equiv b \pmod{2}\) means both numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same parity, then (b) and (a) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
In such congruence relations, reversing the order does not change the condition. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि दोनों की समता समान है। चरण 2: यदि (a) और (b) की समता समान है, तो (b) और (a) की समता भी समान होगी। चरण 3: सर्वांगसमता वाले ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती।
In inverse-relation questions, first identify whether \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। चरण 3: उल्टे संबंध से जुड़े प्रश्नों में पहले \(R^{-1}=R\) की पहचान करें।
If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then it belongs to (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) belongs to the same union.
Step 3
Exam Tip
A standard way to make a relation symmetric is to take \(R\cup R^{-1}\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में होगा। चरण 2: दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) उसी संघ में मिल जाता है। चरण 3: किसी संबंध को सममित बनाने का मानक तरीका \(R\cup R^{-1}\) लेना है।
\(R^{-1}\) contains ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The union keeps both original and reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
This is the symmetric closure of (R). चरण 1: \(R^{-1}\) में ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलता है। चरण 2: संघ में मूल और उल्टे दोनों युग्म रखे जाते हैं। चरण 3: यही (R) का सममित आवरण है।
A. वे मुख्य विकर्ण के आर-पार बराबर होती हैं/They are equal across the main diagonal
Step 1
Concept
In a relation matrix, \(m_{ij}=1\) means (\(a_i,a_j\)\in R).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), so \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the matrix of a symmetric relation is a symmetric matrix. चरण 1: संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=1\) का अर्थ (\(a_i,a_j\)\in R) है। चरण 2: सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी चाहिए, इसलिए \(m_{ji}=1\) होगा। चरण 3: इसी कारण सममित संबंध का आव्यूह सममित आव्यूह होता है।
Symmetry would require \(m_{42}=1\), but it is (0).
Step 3
Exam Tip
One unequal reflected entry breaks symmetry. चरण 1: \(m_{24}=1\) का अर्थ (\(a_2,a_4\)\in R) है। चरण 2: सममितता के लिए \(m_{42}=1\) होना चाहिए, लेकिन वह (0) है। चरण 3: ऐसी एक असमान प्रविष्टि सममितता को तोड़ देती है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
\(2^{\frac{5\cdot6}{2}}=2^{15}=32768\), so the answer is (32768). चरण 1: यहाँ (n=5) है। चरण 2: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 3: \(2^{\frac{5\cdot6}{2}}=2^{15}=32768\), इसलिए उत्तर (32768) है।
The number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Each block has two choices, so the total number is \(2^6=64\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म पहले से निश्चित रूप से रखे गए हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों वाली जोड़ीदार पसंदों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 3: हर जोड़ी के लिए रखने या न रखने के (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(2^6=64\) संबंध होंगे।
Having no diagonal pair means all four diagonal choices are fixed as excluded.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 3
Exam Tip
These (6) blocks are freely chosen, so the number is \(2^6=64\). चरण 1: कोई विकर्ण युग्म न रखना मतलब चारों विकर्ण चुनाव तय होकर हट गए। चरण 2: गैर-विकर्ण उल्टे-युग्म ब्लॉक \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। चरण 3: इन (6) ब्लॉक के लिए स्वतंत्र चुनाव हैं, इसलिए संख्या \(2^6=64\) है।
A. यह हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
Symmetry is preserved under union and intersection, but not always under composition.
Step 2
Why this answer is correct
The ordered composition of two symmetric relations need not preserve all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
For composition questions, testing with a small counterexample is often best. चरण 1: संघ और प्रतिच्छेद में सममितता सुरक्षित रहती है, लेकिन संयोजन में हमेशा नहीं। चरण 2: दो सममित संबंधों का क्रमित संयोजन उल्टे युग्मों को जरूरी रूप से सुरक्षित नहीं रखता। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्न में छोटा प्रतिउदाहरण बनाकर जाँच करना बेहतर है।
Reversing (a) and (b) changes \(a^2+b^2=1\) to \(b^2+a^2=1\).
Step 2
Why this answer is correct
By commutativity of addition, this is the same condition.
Step 3
Exam Tip
For algebraic conditions, check whether the equation remains unchanged after swapping variables. चरण 1: \(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) का स्थान बदलने पर \(b^2+a^2=1\) मिलता है। चरण 2: जोड़ की अदला-बदली प्रकृति से यह वही शर्त रहती है। चरण 3: ऐसी सममित बीजीय शर्तों में क्रम बदलने पर समीकरण जाँचें।
Simplifying an equation often makes checking symmetry easier. चरण 1: \(a^2-b^2=0\) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। चरण 2: यह बराबरी उलटने पर \(b^2=a^2\) भी सही रहती है। चरण 3: समीकरण को सरल रूप में बदलकर सममितता जाँचना आसान होता है।
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every present pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) is present, but ((5,2)) is not.
Step 3
Exam Tip
This single missing reverse pair is enough to show the relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए हर मौजूद युग्म का उल्टा मौजूद होना चाहिए। चरण 2: ((2,5)) मौजूद है, लेकिन ((5,2)) नहीं है। चरण 3: यही एक कमी संबंध को सममित न होने के लिए पर्याप्त है।
({(1,2),(2,1)}) contains both reverse pairs, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity would require ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
Understanding the difference between symmetric and reflexive is very important. चरण 1: ({(1,2),(2,1)}) में दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं, इसलिए यह सममित है। चरण 2: परावर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो इसमें नहीं हैं। चरण 3: सममित और परावर्ती का अंतर समझना अति महत्वपूर्ण है।
The first option contains all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
It has ((1,2)) but not ((2,1)), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
In combined-property questions, check reflexivity and symmetry separately. चरण 1: पहले विकल्प में सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए यह परावर्ती है। चरण 2: इसमें ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: संयुक्त गुणों वाले प्रश्नों में पहले परावर्तिता फिर सममितता अलग-अलग जाँचें।
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) हो/For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
A symmetric relation is based on the reverse-pair condition.
Step 2
Why this answer is correct
The option states exactly that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Do not mix definitions; reflexive, symmetric, and transitive are separate properties. चरण 1: सममित संबंध उल्टे युग्म की शर्त पर आधारित होता है। चरण 2: विकल्प में ठीक यही दिया है कि ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: परिभाषाओं को मिलाएँ नहीं; परावर्ती, सममित और संक्रामी तीनों अलग गुण हैं।
