In a reflexive relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
So for element (1), the pair ( (1,1) ) must be present.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check the diagonal pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व अपने-आप से जुड़ा होता है। चरण 2: इसलिए (1) के लिए ( (1,1) ) होना जरूरी है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा विकर्ण युग्मों को पहले जांचें।
A reflexive relation must contain ((x,x)) for every element.
Step 2
Why this answer is correct
Here there are two elements, so ((a,a)) and ((b,b)) are required.
Step 3
Exam Tip
The minimum number of pairs equals the number of elements in the set. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए ((x,x)) होना चाहिए। चरण 2: यहां दो तत्व हैं, इसलिए ((a,a)) और ((b,b)) जरूरी हैं। चरण 3: न्यूनतम युग्मों की संख्या समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
In a reflexive relation, ((x,x)) must exist for every element (x).
Step 2
Why this answer is correct
The set has four elements, so four compulsory pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
For such questions, count the number of elements directly. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व (x) के लिए ((x,x)) होना चाहिए। चरण 2: समुच्चय में चार तत्व हैं, इसलिए चार अनिवार्य युग्म होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सीधे तत्वों की संख्या गिनें।
For \(A=\{1,2\}\), both ((1,1)) and ((2,2)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third relation contains both.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs may exist, but self-pairs must not be missing. चरण 1: \(A=\{1,2\}\) के लिए ((1,1)) और ((2,2)) दोनों जरूरी हैं। चरण 2: केवल तीसरे संबंध में दोनों युग्म मौजूद हैं। चरण 3: परावर्तिता में दूसरे युग्म हो सकते हैं, लेकिन अपने-आप वाले युग्म नहीं छूटने चाहिए।
To be reflexive, ((1,1)) and ((2,2)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
The given relation contains both pairs.
Step 3
Exam Tip
The extra pair ((1,2)) does not affect reflexivity. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में ये दोनों युग्म हैं। चरण 3: अतिरिक्त युग्म ((1,2)) होने से परावर्तिता खराब नहीं होती।
C. क्योंकि ((3,3)) नहीं है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
The set (A) also contains element (3).
Step 2
Why this answer is correct
A reflexive relation must contain ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive. चरण 1: (A) में (3) भी एक तत्व है। चरण 2: परावर्ती संबंध में (3) के लिए ((3,3)) होना जरूरी है। चरण 3: किसी एक विकर्ण युग्म के छूटने से संबंध परावर्ती नहीं रहता।
An identity relation contains only pairs of the form ((x,x)).
Step 2
Why this answer is correct
For (1,2,3), the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
The identity relation is always reflexive. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((x,x)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: (1,2,3) के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) मिलते हैं। चरण 3: पहचान संबंध हमेशा परावर्ती होता है।
Reflexivity on a singleton set is very easy to check. चरण 1: समुच्चय में केवल एक तत्व (5) है। चरण 2: उसके लिए जरूरी युग्म ((5,5)) मौजूद है। चरण 3: एक-तत्व वाले समुच्चय में परावर्तिता जांचना बहुत सरल होता है।
On a non-empty set, the empty relation is not reflexive. चरण 1: परावर्ती संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। चरण 3: यदि समुच्चय खाली नहीं है, तो रिक्त संबंध परावर्ती नहीं होता।
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\)/For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
Step 1
Concept
Reflexivity is based on every element being related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ((a,a)) must be present for every (a).
Step 3
Exam Tip
Remember ((a,a)) as the key sign of reflexivity. चरण 1: परावर्तिता अपने-आप से संबंध पर आधारित होती है। चरण 2: इसलिए हर (a) के लिए ((a,a)) का होना जरूरी है। चरण 3: परिभाषा याद करते समय ((a,a)) को मुख्य संकेत मानें।
In a reflexive relation, only self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
((x,x),(y,y),(z,z)) are required, but ((x,y)) is not.
Step 3
Exam Tip
Distinguish between compulsory and extra pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध में केवल अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: ((x,x),(y,y),(z,z)) जरूरी हैं, लेकिन ((x,y)) जरूरी नहीं है। चरण 3: अनिवार्य और अतिरिक्त युग्मों में अंतर समझें।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
So ((1,1),(2,2),(3,3)) are included.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is always reflexive. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) भी इसमें होंगे। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हमेशा परावर्ती होता है।
If the minimum is asked, do not count extra pairs. चरण 1: हर तत्व के लिए एक युग्म ((a,a)) चाहिए। चरण 2: (n) तत्वों के लिए (n) ऐसे युग्म होंगे। चरण 3: न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त युग्म न जोड़ें।
((1,2)) is extra, but it does not change reflexivity. चरण 1: परावर्ती होने के लिए तीनों विकर्ण युग्म होने चाहिए। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी मौजूद हैं। चरण 3: ((1,2)) अतिरिक्त है, लेकिन इससे परावर्तिता नहीं बदलती।
Check diagonal pairs before looking at non-diagonal pairs. चरण 1: (3) भी समुच्चय का तत्व है। चरण 2: परावर्ती होने के लिए ((3,3)) आवश्यक है। चरण 3: गैर-विकर्ण युग्मों से पहले विकर्ण युग्मों की जांच करें।
That is exactly the basic condition for reflexivity.
Step 3
Exam Tip
This form also represents the identity relation. चरण 1: (R) में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) शामिल है। चरण 2: यही परावर्ती संबंध की मूल शर्त है। चरण 3: इस प्रकार का रूप पहचान संबंध को भी दर्शाता है।
A. हर बिंदु पर स्वयं की ओर फंदा/A loop at every point
Step 1
Concept
In a reflexive relation, each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
In a graph, this appears as a loop at every point.
Step 3
Exam Tip
In diagram questions, check the loop at every point. चरण 1: परावर्ती संबंध में प्रत्येक तत्व अपने-आप से जुड़ता है। चरण 2: आलेख में यह हर बिंदु पर फंदे से दिखता है। चरण 3: चित्र वाले प्रश्नों में हर बिंदु का फंदा जांचें।
A. मुख्य विकर्ण के सभी तत्व (1) हों/All main diagonal entries are (1)
Step 1
Concept
In a matrix, pairs of the form ((a,a)) lie on the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
For reflexivity, each such entry must be (1).
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, inspect the main diagonal first. चरण 1: मैट्रिक्स में ((a,a)) युग्म मुख्य विकर्ण पर दिखते हैं। चरण 2: परावर्ती होने के लिए हर ऐसा स्थान (1) होना चाहिए। चरण 3: मैट्रिक्स प्रश्नों में मुख्य विकर्ण को पहले देखें।
The main diagonal represents pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
All diagonal entries are (1), so all self-pairs are present.
Step 3
Exam Tip
The fastest matrix check for reflexivity is the diagonal. चरण 1: मुख्य विकर्ण ((a,a)) प्रकार के युग्मों को दर्शाता है। चरण 2: सभी विकर्ण तत्व (1) हैं, इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म मौजूद हैं। चरण 3: मैट्रिक्स में परावर्तिता की सबसे तेज जांच विकर्ण से होती है।
In an identity relation, the number of pairs equals the number of elements. चरण 1: दिए गए संबंध में युग्मों को गिनें। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) कुल तीन युग्म हैं। चरण 3: पहचान संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
In such questions, distinguish ((a,a)) from ((a,b)). चरण 1: परावर्तिता केवल ((1,1),(2,2),(3,3)) मांगती है। चरण 2: ((2,3)) अपने-आप वाला युग्म नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में ((a,a)) और ((a,b)) में फर्क पहचानें।
((1,1)) and ((2,2)) are compulsory, while the remaining (2) pairs may be chosen or not.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(2^2=4\). चरण 1: \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं। चरण 2: ((1,1)) और ((2,2)) अनिवार्य हैं, बाकी (2) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी।
The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Total reflexive relations are \(2^6=64\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म हैं। चरण 2: (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल परावर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे।
(n) diagonal pairs are compulsory, so \(n^2-n\) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Each optional pair has two choices, so the count is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: हर स्वतंत्र युग्म के दो विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है।
The three elements of (A) need three diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The third relation does not contain ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
In options, look for the missing diagonal pair. चरण 1: (A) के तीनों तत्वों के लिए तीन विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: तीसरे संबंध में ((3,3)) नहीं है। चरण 3: सभी विकल्पों में छूटे हुए विकर्ण युग्म को खोजें।
A. पहचान संबंध और परावर्ती/Identity relation and reflexive
Step 1
Concept
The condition (a=b) gives pairs only of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Every element is related to itself, so it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is also reflexive. चरण 1: शर्त (a=b) केवल ((a,a)) जैसे युग्म देती है। चरण 2: हर तत्व अपने-आप से जुड़ता है, इसलिए यह पहचान संबंध है। चरण 3: पहचान संबंध परावर्ती भी होता है।
Every number is equal to itself, so \(a\le a\) is true.
Step 3
Exam Tip
Relations with \(\le\) are easy examples of reflexive relations. चरण 1: परावर्तिता के लिए \(a\le a\) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। चरण 2: हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\le a\) सत्य है। चरण 3: \(\le\) वाले संबंध में परावर्तिता आसानी से मिलती है।
A relation based on (<) is generally not reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a<a) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। चरण 2: कोई संख्या अपने-आप से छोटी नहीं होती। चरण 3: (<) वाला संबंध सामान्यतः परावर्ती नहीं होता।
If the condition is true for every element with itself, the relation is reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a-a) को देखें। चरण 2: (a-a=0) होता है और (0) सम है। चरण 3: जब शर्त अपने-आप पर सत्य हो, तो संबंध परावर्ती होता है।
If ((a,a)) does not satisfy the condition, the relation is not reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a+a) को देखें। चरण 2: (a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। चरण 3: यदि ((a,a)) शर्त पूरी नहीं करता, तो संबंध परावर्ती नहीं है।
For reflexivity, check whether every (a) divides itself.
Step 2
Why this answer is correct
Every non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
In this divisibility relation, ((a,a)) must be present. चरण 1: परावर्तिता के लिए हर (a) का अपने-आप को विभाजित करना देखें। चरण 2: हर शून्य से भिन्न संख्या अपने-आप को विभाजित करती है। चरण 3: विभाज्यता वाले ऐसे संबंध में ((a,a)) अवश्य आता है।
(1+1=2) and (3+3=6), so not all self-pairs satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
Missing even one required self-pair means the relation is not reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जांचें। चरण 2: (1+1=2) और (3+3=6), इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म नहीं मिलते। चरण 3: किसी एक अनिवार्य युग्म के न मिलने पर संबंध परावर्ती नहीं होता।
Equality-based relations are good examples of reflexivity. चरण 1: (|a-b|=0) तभी होता है जब (a=b)। चरण 2: इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी शामिल होंगे। चरण 3: बराबरी से जुड़ा संबंध परावर्तिता का अच्छा उदाहरण है।
A reflexive relation relates every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For (p,q,r), the pairs ((p,p),(q,q),(r,r)) are required.
Step 3
Exam Tip
Even if symbols change, the rule stays the same. चरण 1: परावर्ती संबंध हर तत्व को अपने-आप से जोड़ता है। चरण 2: (p,q,r) के लिए ((p,p),(q,q),(r,r)) जरूरी हैं। चरण 3: अक्षर बदल जाएं, नियम वही रहता है।
B. संबंध परावर्ती नहीं है/The relation is not reflexive
Step 1
Concept
Since \(4\in A\), reflexivity requires ((4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
This pair is missing, so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
In checking reflexivity, any missing diagonal pair gives the answer quickly. चरण 1: \(4\in A\) होने पर परावर्तिता के लिए ((4,4)) जरूरी है। चरण 2: यह युग्म नहीं है, इसलिए शर्त टूट गई। चरण 3: परावर्ती जांच में कोई भी छूटा हुआ विकर्ण युग्म तुरंत गलती बताता है।
Reflexivity requires only all pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Other types of pairs are not compulsory.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse missing extra pairs with missing reflexive pairs. चरण 1: परावर्तिता के लिए केवल सभी ((a,a)) युग्मों की जरूरत है। चरण 2: दूसरे प्रकार के युग्मों का होना अनिवार्य नहीं है। चरण 3: अतिरिक्त युग्मों की कमी को परावर्तिता की कमी न समझें।
Whatever the other pairs are, these three make the relation reflexive. चरण 1: पहले विकर्ण युग्म देखें। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी मौजूद हैं। चरण 3: अन्य युग्म चाहे जैसे हों, ये तीनों होने से संबंध परावर्ती है।
C. हर ((a,b)) का होना जरूरी है/Every ((a,b)) must be present
Step 1
Concept
A reflexive relation does not require all possible pairs.
Step 2
Why this answer is correct
It only requires every ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
A relation with all pairs is universal, but reflexivity itself needs only self-pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध सभी संभव युग्मों की मांग नहीं करता। चरण 2: उसे केवल हर ((a,a)) युग्म चाहिए। चरण 3: सभी युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक होता है, पर परावर्तिता के लिए इतना काफी नहीं पूछा जाता।
The identity relation contains only ((a,a)) for each element.
Step 2
Why this answer is correct
The set (A) has five elements, so there are five pairs.
Step 3
Exam Tip
The number of pairs in the identity relation equals the number of elements. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व के लिए केवल ((a,a)) होता है। चरण 2: (A) में पांच तत्व हैं, इसलिए पांच युग्म होंगे। चरण 3: पहचान संबंध की संख्या सीधे तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
For \(A=\{1,2\}\), ((1,1)) and ((2,2)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
Both pairs are present.
Step 3
Exam Tip
This relation is also \(A\times A\), so it is reflexive. चरण 1: \(A=\{1,2\}\) के लिए ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हैं। चरण 2: दोनों युग्म दिए गए संबंध में हैं। चरण 3: यह संबंध \(A\times A\) भी है, इसलिए परावर्ती है।
The only necessary reflexive pairs are of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
For (1,2,3), these are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
If the question says only necessary, do not choose extra pairs. चरण 1: केवल आवश्यक परावर्ती युग्म ((a,a)) होते हैं। चरण 2: (1,2,3) के लिए ये ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 3: प्रश्न में केवल आवश्यक लिखा हो तो अतिरिक्त युग्म न चुनें।
The condition of reflexivity applies to every element.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(a\in A\), then \((a,a)\in R\) must hold.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, connect the words with the symbolic form. चरण 1: परावर्ती संबंध की शर्त हर तत्व पर लागू होती है। चरण 2: इसलिए \(a\in A\) होने पर \((a,a)\in R\) होना ही चाहिए। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में शब्दों को प्रतीक से जोड़कर समझें।
For (0,1,2), the required pairs are ((0,0),(1,1),(2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
All three are present in the relation.
Step 3
Exam Tip
The extra pair ((0,1)) does not affect reflexivity. चरण 1: (0,1,2) के लिए ((0,0),(1,1),(2,2)) जरूरी हैं। चरण 2: ये तीनों युग्म संबंध में मौजूद हैं। चरण 3: अतिरिक्त ((0,1)) परावर्तिता को नहीं बदलता।
Add the missing self-pair to make the relation reflexive. चरण 1: (0) भी समुच्चय का तत्व है। चरण 2: परावर्ती होने के लिए ((0,0)) जरूरी है। चरण 3: छूटे हुए अपने-आप वाले युग्म को जोड़ना सही तरीका है।
Pairs only of the form ((a,a)) make the identity relation.
Step 2
Why this answer is correct
Here every element has its self-pair.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is reflexive, but every reflexive relation need not be only identity. चरण 1: केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म पहचान संबंध बनाते हैं। चरण 2: यहां हर तत्व का अपने-आप वाला युग्म है। चरण 3: पहचान संबंध परावर्ती होता है, लेकिन हर परावर्ती संबंध पहचान ही हो यह जरूरी नहीं।
If an extra pair is added, the relation may remain reflexive but is no longer identity. चरण 1: पहचान संबंध में केवल अपने-आप वाले युग्म होते हैं। चरण 2: पहला विकल्प ठीक वही युग्म देता है। चरण 3: यदि अतिरिक्त युग्म आ जाए, तो संबंध परावर्ती हो सकता है पर पहचान नहीं रहता।
A. कम से कम एक ((a,a)) युग्म अनुपस्थित है/At least one ((a,a)) pair is missing
Step 1
Concept
The main condition of reflexivity is the presence of all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If even one is missing, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
To identify a non-reflexive relation, look for a missing diagonal pair. चरण 1: परावर्तिता की मुख्य शर्त सभी ((a,a)) युग्मों की उपस्थिति है। चरण 2: इनमें से कोई एक भी नहीं है तो शर्त टूट जाती है। चरण 3: गैर-परावर्ती संबंध पहचानने के लिए छूटे हुए विकर्ण युग्म को खोजें।
The condition includes (a=b), so every ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
If equality is included in the condition, check reflexivity immediately. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a=a) देखना पर्याप्त है। चरण 2: दी गई शर्त में (a=b) शामिल है, इसलिए हर ((a,a)) आएगा। चरण 3: यदि शर्त में बराबरी शामिल हो, तो परावर्तिता की संभावना तुरंत जांचें।
But the condition \(a\ne b\) excludes all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Relations based on inequality are usually not reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a=a) वाले युग्म चाहिए। चरण 2: लेकिन शर्त \(a\ne b\) अपने-आप वाले युग्मों को बाहर कर देती है। चरण 3: असमानता आधारित संबंध अक्सर परावर्ती नहीं होते।
Every element being related to itself is the sign of reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
Symbolically, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
Remember the definition by connecting it with simple classroom language. चरण 1: हर तत्व का अपने-आप से जुड़ना परावर्तिता की पहचान है। चरण 2: इसका प्रतीक रूप \((a,a)\in R\) हर \(a\in A\) के लिए है। चरण 3: परिभाषा को रोजमर्रा की भाषा से जोड़कर याद करें।
