Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 5 elements, 5 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{20}{3}\).
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। / At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है। / From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\).
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / Four self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। / At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है। / The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\).
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है। / The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\).
(R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। / (R) is reflexive, so it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। / (S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा। / All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive.
B. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के सभी युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so the self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
A. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद होता है। / A reflexive (R) contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के युग्म हटा दिए जाते हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so all self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। / The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा। / The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric.
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है/The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। / For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं। / Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways.
परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the 3 self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। / To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
(4) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), ({4,8}) हैं। / The equal-remainder groups modulo 4 are ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), and ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। / Each group gives \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+4=16) युग्म होंगे और सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं। / Total pairs are (4+4+4+4=16), including all self-pairs.
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। / For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\).
वर्ग शेषफल देखें: ({0}) का शेषफल 0, ({1,5}) का शेषफल 1, ({2,4}) का शेषफल 4, और ({3}) का शेषफल 3 है। / Square remainders are grouped as ({0}) with remainder 0, ({1,5}) with remainder 1, ({2,4}) with remainder 4, and ({3}) with remainder 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर युग्म बनेंगे। / Ordered pairs are formed within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) नहीं, ध्यान से जोड़ने पर (1+4+4+1=10) है, इसलिए सही संख्या 10 है। / The total is \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\).
(3) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,4}), ({2,5}), ({3,6}) बनते हैं। / The equal-remainder groups modulo 3 are ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर ही युग्म बनेंगे, इसलिए प्रत्येक समूह \(2^2=4\) युग्म देगा। / Pairs are formed only within each group, so each group gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे और यह संबंध परावर्ती भी है। / Total pairs are (4+4+4=12), and the relation is reflexive.
\(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (X) में होना संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे। / For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\).
हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
\(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है। / For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive.
घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। / The power set has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। / In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added.
अपने-अपने युग्मों के योग (2,6,10) हैं। / The self-pair sums are (2,6,10).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a+b<k) कठोर है, इसलिए सबसे बड़े योग 10 को भी (k) से छोटा होना चाहिए। / The condition (a+b<k) is strict, so even the largest sum 10 must be less than (k).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम पूर्णांक (k=11) होगा। / The minimum integer value is (k=11).
संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ा जा सकता है क्योंकि बीच का तत्व 2 समान है। / In composition, ((1,2)) and ((2,3)) can be joined because the middle element 2 matches.
Step 2
Why this answer is correct
इनसे ((1,3)) \(R\circ R\) में आता है। / They produce ((1,3)) in \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहले देखें। / In composition questions, first look for consecutive connectable pairs.
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए परावर्ती नहीं/Not reflexive for any real (k)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर वास्तविक (a) पर ((a,a)) नियम पूरा करे। / Reflexivity requires ((a,a)) to satisfy the rule for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2+a^2=2a^2\le k\) हर वास्तविक (a) के लिए चाहिए। / This means \(2a^2\le k\) for every real (a).
Step 3
Exam Tip
(a) बहुत बड़ा हो सकता है, इसलिए कोई स्थिर वास्तविक (k) सभी मानों के लिए पर्याप्त नहीं है। / Since (a) can be arbitrarily large, no fixed real (k) can work.
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। / To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
\(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है। / Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\).
3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। / For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है। / The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\).
