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A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) में योग (4) पूर्ण वर्ग है, पर ((1,1)) में योग (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((2,2)), the sum (4) is a perfect square, but for ((1,1)), the sum (2) is not, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
(a-b) का (3) से विभाज्य होना समान शेषफल का संबंध है। / Divisibility of (a-b) by (3) means having the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (5) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / (2) and (5) both leave remainder (2) on division by (3).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में वही तत्व रखें जिनका शेषफल चुने गए तत्व जैसा हो। / Put only those elements in the class that have the same remainder as the chosen element.
A. सममितता और संक्रामकता दोनों/Both symmetry and transitivity
Step 1
Concept
तीनों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता असफल है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity also fails.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) है, जो (3) से विभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum is (2), not divisible by (3), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
योग क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / The sum remains the same when order changes, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
पांच स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The five self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (5+10=15) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{15}\) है। / Total independent choices are (5+10=15), so the number of symmetric relations is \(2^{15}\).
परावर्तन के कारण पांचों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all five self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (10) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / The (10) unordered pairs of distinct elements remain.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{10}\) है। / For symmetry, each pair is chosen or omitted together, so the total number is \(2^{10}\).
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर आगे की श्रृंखला का जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है। / Every needed forward result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
A. सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध/Universal relation and equivalence relation
Step 1
Concept
समुच्चय के सभी तत्व (4) से बड़े नहीं हैं। / Every element of the set is not greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a,b\in A\) के लिए ((a,b)) संबंध में होगा। / Hence every ((a,b)) with \(a,b\in A\) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जब सभी युग्म मौजूद हों, तो संबंध सार्वत्रिक और साथ ही तुल्यता संबंध होता है। / When all pairs are present, the relation is universal and also an equivalence relation.
(a=a) होने से हर संख्या अपने आप से संबंधित है, इसलिए परावर्ती है। / Since (a=a), every number is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी वही शर्त पूरी करता है, इसलिए सममितता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation satisfies the same condition, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान वाले तत्वों का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the relation of equal absolute values, so transitivity also holds.
हर तत्व अपने ही (3) से विभाज्यता प्रकार में आता है, इसलिए परावर्तन है। / Every element belongs to the same divisibility-by-(3) type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The same type condition is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / A chain within the same type remains in that type, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म मौजूद हैं और (3) से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and no chain involves (3), so transitivity holds.
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या अपने आप से (2) कम नहीं हो सकती, इसलिए परावर्ती नहीं है। / No number can be at least (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से कम है, तो उल्टा सही नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। / If (a) is less than (b), the reverse cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए (a) (c) से कम से कम (2) कम है। / If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so (a) is at least (2) less than (c).
तुल्यता संबंध में सममितता हमेशा होती है। / Every equivalence relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) अनिवार्य रूप से मिलेगा। / If (aRb), symmetry necessarily gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व (c) से जुड़ा निष्कर्ष बिना अतिरिक्त सूचना के नहीं निकाला जाता। / No statement involving an arbitrary third element (c) follows without more information.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(5) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (5) will not be related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (5) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (5) remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3,4}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation is complete inside ({1,2,3,4}), so transitivity also holds.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए परावर्तन है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, और बाकी जरूरी शृंखलाएं भी टूटती नहीं हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, and other required chains also do not fail.
सममित संबंध में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होता है। / In a symmetric relation, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 2
Why this answer is correct
विलोम संबंध इन्हीं युग्मों को उलटता है, इसलिए कोई नया अलग समूह नहीं बनता। / The inverse relation reverses these pairs, so it does not create a different set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / Therefore, for a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({1,2},{3}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({1,2},{3})
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन पूरा है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं और (3) अकेला है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is alone, so the relation is an equivalence relation.
\(a\equiv 0 \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) हो। / \(a\equiv 0 \pmod{4}\) means (a) leaves remainder (0) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (4) के सभी गुणज होते हैं। / Such integers are all multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग हमेशा समान शेषफल वाले सभी तत्वों को रखता है। / An equivalence class contains all elements with the same remainder.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में न्यूनतम (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते और परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The minimum does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) में न्यूनतम (3) है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((3,2)) and ((2,4)) exist, but ((3,4)) has minimum (3), so transitivity fails.
(a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b), all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (2) से बड़ा होना क्रम बदलने पर भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / The condition that both are greater than (2) is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({3,4}) एक बंद वर्ग बनता है और (1,2) अलग-अलग वर्ग हैं, इसलिए संक्रामकता है। / ({3,4}) forms a closed class while (1,2) are singleton classes, so transitivity holds.
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी आवश्यक युग्म मौजूद हैं और (3) अलग है, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is separate, so transitivity holds.
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Hence the union of transitive relations is not always transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) के संक्रामक होने से ((a,c)) (R) में होगा और (S) के संक्रामक होने से (S) में भी होगा। / Since (R) is transitive, ((a,c)) is in (R); since (S) is transitive, it is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में होगा। / Therefore ((a,c)) is in \(R\cap S\).
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
अपने आप से अंतर (0) है, इसलिए परावर्ती है। / The difference of an element from itself is (0), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अंतर क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। / Difference remains the same when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) और (3R4) सही हैं, पर (1R4) गलत है क्योंकि अंतर (3) है, इसलिए संक्रामकता नहीं। / (1R3) and (3R4) are true, but (1R4) is false because the difference is (3), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है, इसलिए सममितता है। / (a+b=5) remains true after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) के बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so transitivity also holds.
परावर्ती संबंध में स्वयुग्म अनिवार्य होते हैं, पर अन्य युग्म भी जोड़े जा सकते हैं। / A reflexive relation must contain self-pairs, but other pairs may also be included.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम स्थिति में संबंध \(A\times A\) होगा। / In the maximum case, the relation is \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(4) तत्वों के लिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / For (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
