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A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every listed pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल होती है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so transitivity fails.
(a-a=0) (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होगा, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / The sum of two such differences is also divisible by (5), so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / (a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) जैसे अंतर मिलकर (0) दे सकते हैं, इसलिए संक्रामकता जरूरी नहीं रहती। / Differences like \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) can add to (0), so transitivity need not hold.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (3) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / Self-pairs for (1) and (3) will not occur, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्व सम होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are even remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि संबंध केवल सम तत्वों के बीच है, तो उनके बीच की श्रृंखला भी सम तत्वों में ही रहती है, इसलिए संक्रामकता है। / Chains stay within even elements, so transitivity holds.
चार स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The four self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) अनियोजित जोड़े हैं। / There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (4+6=10), so the number of symmetric relations is \(2^{10}\).
परावर्तन के कारण चारों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all four self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (6) अनियोजित जोड़े हैं और सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है। / There are (6) unordered pairs of distinct elements, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
केवल (6) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / Only (6) independent choices remain, so the number is \(2^6\).
A. यह सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध दोनों है/It is both the universal relation and an equivalence relation
Step 1
Concept
तीन तत्वों के लिए \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होते हैं और यहां सभी (9) युग्म हैं। / For a set of three elements, \(A\times A\) has (9) pairs and all (9) are listed here.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है। / Therefore, it is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध भी है। / The universal relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is also an equivalence relation.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,4)) हैं पर ((1,4)) नहीं/No, because ((1,3)) and ((3,4)) exist but ((1,4)) does not
Step 1
Concept
((1,3)) में अंतर (2) है, इसलिए यह संबंध में है। / ((1,3)) has difference (2), so it is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) में अंतर (1) है, इसलिए यह भी संबंध में है। / ((3,4)) has difference (1), so it is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) में अंतर (3) है, जो सीमा से अधिक है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,4)) has difference (3), which is beyond the limit, so transitivity fails.
हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^3=a^3\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3=b^3\) से \(b^3=a^3\) मिलता है, इसलिए सममितता है। / From \(a^3=b^3\), we get \(b^3=a^3\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive too.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\), इसलिए संबंध परावर्ती है। / \(a^2\le a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामक है। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le2^2\) सही है पर \(2^2\le1^2\) गलत है, इसलिए सममित नहीं। / \(1^2\le2^2\) is true but \(2^2\le1^2\) is false, so it is not symmetric.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,4),(1,4)) जैसे सभी अतिरिक्त युग्मों के उल्टे भी हैं, इसलिए सममित है। / Extra pairs such as ((1,2),(2,4),(1,4)) have their reverse pairs, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,4}) एक पूरा बंद समूह है और (3) अकेला है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / ({1,2,4}) is a complete closed block and (3) is alone, so the relation is transitive too.
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए और वह मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity holds.
A. यह तुल्यता संबंध होता है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। / In the identity relation, every element is related only to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) रहता है, इसलिए सममित है। / The reverse of ((a,a)) is still ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
स्वयुग्मों की श्रृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / Chains of self-pairs again give self-pairs, so transitivity holds.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय में परावर्तन के लिए कम से कम स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला भी कोई युग्म नहीं है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required.
Step 3
Exam Tip
तीसरे तत्व से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) ही न्यूनतम हैं। / No chain involves the third element, so ((1,1)) and ((2,2)) are the minimum additions.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे और परावर्तन नहीं होगा। / (1) and (4) are not prime, so their self-pairs will not occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both are prime does not change with order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / The relation is complete within ({2,3}), so transitivity holds.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number is a multiple of itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(4) (2) का गुणज है, पर (2) (4) का गुणज नहीं है, इसलिए सममित नहीं। / (4) is a multiple of (2), but (2) is not a multiple of (4), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) (b) का और (b) (c) का गुणज है, तो (a) (c) का गुणज होगा, इसलिए संक्रामक है। / If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c), so it is transitive.
हर व्यक्ति का रक्त समूह अपने रक्त समूह के समान होता है, इसलिए परावर्तन है। / Every person has the same blood group as themselves, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समानता का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Equality is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो लोगों का रक्त समूह समान है, तो पहले और तीसरे का भी समान होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If two pairs have the same blood group through a common person, the first and third also have the same group, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs for ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity fails.
कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9\) है। / The total number of relations is \(2^{3^2}=2^9\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों में तीन स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। / In reflexive relations, three self-pairs are compulsory, so the number is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^9:2^6=2^3:1\) होगा। / The ratio is \(2^9:2^6=2^3:1\).
परावर्तन के कारण (n) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (n) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / The remaining unordered pairs of distinct elements are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / For symmetry, each such pair is chosen or omitted together, so the number is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिल जाते हैं, इसलिए परावर्ती है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}={1,2}) में क्रम का महत्व नहीं है, इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मिलते हैं। / ({a,b}={1,2}) does not depend on order, so both ((1,2)) and ((2,1)) occur.
Step 3
Exam Tip
({1,2}), ({3}), ({4}) जैसे बंद वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / It forms closed classes ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.
विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) का उल्टा वही है। / In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) reverses to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सममित है। / Hence it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। / The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), इसलिए (0) स्वयं से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। / \(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (ab>0), then (ba>0), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक-दोनों या ऋणात्मक-दोनों स्थिति आगे भी समान चिन्ह बनाए रखती है, इसलिए संक्रामकता है। / Same-sign non-zero numbers keep the sign class through a chain, so transitivity holds.
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(1R2) और (2R4) से संक्रामकता द्वारा (1R4) मिलता है। / From (1R2) and (2R4), transitivity gives (1R4).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे अलग तत्व (3) से जुड़ा निष्कर्ष बिना सूचना के नहीं निकाला जा सकता। / No conclusion involving the separate element (3) can be drawn without more information.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए परावर्ती है।
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) are true, but (0R1.2) is false, so it is not transitive.
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्ती नहीं है। / (a-a=0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=1) होने पर (b-a=-1), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=1), then (b-a=-1), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R1) और (1R0) सही हैं, पर (2R0) के लिए अंतर (2) है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / (2R1) and (1R0) are true, but (2R0) has difference (2), so transitivity also fails.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({2,4,6},{1,3,5}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({2,4,6},{1,3,5})
Step 1
Concept
हर संख्या अपने जैसे ही विभाज्यता प्रकार में आती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number has the same divisibility type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान विभाज्यता प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same divisibility type is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता है और वर्ग सम तथा विषम संख्याओं के बनते हैं। / A chain of the same type remains in that type, so transitivity holds and the classes are even and odd numbers.
