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A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या अपने आप को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करे तो (a) (c) को विभाजित करता है, इसलिए यह संक्रामक है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममितता के लिए उल्टा युग्म जरूर जांचें, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं। / For symmetry, always check the reverse pair; (1) divides (2) but (2) does not divide (1).
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation.
A. संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में पहले गायब स्वयुग्म देखकर परावर्तन जल्दी खारिज करें। / In hard questions, first look for missing self-pairs to reject reflexivity quickly.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई भी ((a,a)) मौजूद नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / No ((a,a)) pair is present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्म या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममित और संक्रामक शर्त खाली रूप से पूरी होती है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity, so those conditions hold vacuously.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध में परावर्तन जरूर जांचें, वही मुख्य फर्क बनाता है। / For an empty relation, reflexivity is the main condition to check.
(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समता का जोड़ फिर सम देता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है और संबंध तुल्यता है। / The sum of even differences is even, so transitivity holds and the relation is an equivalence relation.
हर पूर्णांक के लिए \(a \equiv a \pmod{3}\), इसलिए परावर्ती है। / For every integer, \(a \equiv a \pmod{3}\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) तो \(b \equiv a \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a \equiv b \pmod{3}\), then \(b \equiv a \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल का संबंध संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same remainder is transitive, so it is an equivalence relation.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
कोई भी ((1,1),(2,2),(3,3)) पूरा समूह नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / The self-pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are not all present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा युग्म भी मौजूद है, इसलिए सममित है। / Every listed pair has its reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive.
(a+a=2a) सम है, इसलिए हर स्वयुग्म मौजूद है। / (a+a=2a) is even, so every self-pair is present.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम है तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकृति के कारण संक्रामकता भी रहती है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / The same parity condition preserves transitivity, so the relation is an equivalence relation.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
((1,1)) जैसे स्वयुग्म में योग (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / A self-pair like ((1,1)) gives sum (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए संबंध सममित है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((1,4)) and ((4,1)), ((1,1)) would be needed, but it is missing, so transitivity fails.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। / In the identity relation, every element is related to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा भी वही ((a,a)) है, इसलिए सममित है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) मिलता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / Combining self-pairs gives the same self-pair, so transitivity also holds.
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(2) और (4) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। / Self-pairs for (2) and (4) will not occur, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों संख्याएं विषम हैं तो क्रम बदलने पर भी दोनों विषम रहती हैं, इसलिए सममित है। / If both numbers are odd, changing order keeps both odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विषम तत्वों के समूह में जुड़ाव बना रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Within the odd elements, the relation stays connected, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। / Every pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता की कमी है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्तन के लिए (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (12) युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity forces (4) self-pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र युग्म को चुनने या न चुनने के दो तरीके हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / Each optional pair has two choices, giving \(2^{12}\) relations.
तीन स्वयुग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / The three self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े बनते हैं और हर जोड़े में दोनों दिशाएं साथ चुनी जाती हैं या साथ छोड़ी जाती हैं। / There are three unordered pairs of distinct elements, and both directions must be selected together or omitted together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है। / Total independent choices are (3+3=6), so the number is \(2^6\).
(n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े होते हैं, जिनमें दोनों दिशाएं साथ तय होती हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements, and both directions are decided together.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
परावर्तन के कारण तीनों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces all three self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े हैं और सममितता के कारण हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाएगा। / There are three unordered distinct-element pairs, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल तीन स्वतंत्र चुनाव हैं और संख्या \(2^3\) है। / Hence only three independent choices remain, giving \(2^3\).
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं, इसलिए सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((1,3)) has ((3,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so it is not transitive.
(|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। / (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममित है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान परिमाण का संबंध तीसरी संख्या तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Equality of absolute values passes through a third number, so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
((2,2)) में समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं। / For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / The greatest common divisor does not change when order is changed, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2) और (3) सहअभाज्य हैं तथा (3) और (4) सहअभाज्य हैं, पर (2) और (4) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं। / (2) is coprime to (3), and (3) is coprime to (4), but (2) is not coprime to (4), so transitivity fails.
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्ती है। / Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता में \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\), इसलिए संक्रामक है। / In divisibility, \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid 4\) सत्य है पर \(4\mid 2\) असत्य है, इसलिए सममित नहीं। / \(2\mid 4\) is true but \(4\mid 2\) is false, so it is not symmetric.
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
दिए गए आगे बढ़ने वाले युग्मों के लिए जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद हैं, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / Required resulting pairs such as ((1,3),(2,4),(1,4)) are present, so transitivity holds.
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जन्म महीने के समान है, इसलिए परावर्ती है। / Every student has the same birth month as themselves, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) का महीना (b) जैसा है, तो (b) का महीना भी (a) जैसा है, इसलिए सममित है। / If (a)'s month is the same as (b)'s, then (b)'s is the same as (a)'s, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान जन्म महीना तीसरे विद्यार्थी तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Same birth month passes through a third student, so transitivity holds.
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं हो सकता, इसलिए परावर्ती नहीं। / A person cannot be taller than themselves, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से लंबा है तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। / If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a), (b) से लंबा और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रामक है। / If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
\(a\neq a\) असत्य है, इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं और संबंध परावर्ती नहीं। / \(a\neq a\) is false, so no self-pair exists and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममित है। / If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(1\neq 2\) और \(2\neq 1\) हैं पर \(1\neq 1\) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / \(1\neq 2\) and \(2\neq 1\) hold but \(1\neq 1\) does not, so transitivity fails.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (2), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विभाज्य अंतरों का योग भी विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / The sum of divisible differences is divisible, so transitivity holds.
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर समूह ({1,2}) और ({3,4}) के भीतर जरूरी युग्म पूरे हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / Within the groups ({1,2}) and ({3,4}), required pairs are complete, so transitivity holds.
A. नहीं, उदाहरण के लिए \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/No, for example on \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
सममित और संक्रामक होना अपने आप सभी स्वयुग्म नहीं देता। / Being symmetric and transitive does not automatically give all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / On \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) misses ((2,2)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में एक छोटा प्रति-उदाहरण सबसे तेज तरीका होता है। / For such theory questions, a small counterexample is the fastest method.
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। / Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है। / To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately.
पहले सभी स्वयुग्म देखें, विकल्प A में तीनों स्वयुग्म हैं। / First check all self-pairs; option A has all three.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता ठीक है। / Option A contains both ((1,2)) and ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
उपलब्ध युग्मों की श्रृंखला संक्रामकता नहीं तोड़ती, इसलिए विकल्प A तुल्यता संबंध है। / The available chains do not break transitivity, so option A is an equivalence relation.
हर संख्या का शेषफल अपने आप के समान होता है, इसलिए परावर्ती है। / Every number has the same remainder as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममित है। / Same remainder is unaffected by changing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का समान है, तो (a) और (c) का भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also do.
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(a=b) होने से सभी स्वयुग्म आते हैं, इसलिए परावर्ती है। / Because (a=b) is allowed, all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) क्रम बदलने पर भी वही रहता है, इसलिए सममित है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,2)) नहीं जुड़े; मुख्य जांच में ((1,4)) और ((4,1)) ठीक है, पर ((2,3)) और ((3,4)) लागू नहीं। सही टूटन ((1,4)) और ((4,1)) से नहीं, इसलिए दूसरा मार्ग देखें: यह संबंध वास्तव में दो जोड़ों और स्वयुग्मों में बंद है, अतः संक्रामक है। / The relation splits into the blocks ({1,4}) and ({2,3}), so it is actually transitive and hence an equivalence relation.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le 1\), इसलिए परावर्ती है। / \(|a-a|=0\le 1\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं क्योंकि अंतर (2) है, इसलिए संक्रामक नहीं। / ((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not because the difference is (2), so it is not transitive.
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्ती है। / (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होना क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। / The condition that (a+b) is even remains the same after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
असल में यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है। / This is essentially the same-parity relation, which is also transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। / All four self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी दिशाओं वाले युग्म और (4) का स्वयुग्म हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Within ({1,2,3}), all directed pairs are present, and (4) has its self-pair, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद समूह है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है। / ({1,2,3}) is a closed complete block and (4) is a single class, so transitivity also holds.
