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(r+1)वें स्थान के लिए (n-r) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में अगला गुणनखंड ध्यान से पहचानें। / For the ((r+1))th position (n-r) choices remain. In exams identify the next factor carefully.
(^{n}P_2=n(n-1)) होता है और \(10\times9=90\) है। परीक्षा में \(^{n}P_2\) को दो क्रमबद्ध स्थानों से जोड़ें। / (^{n}P_2=n(n-1)) and \(10\times9=90\). In exams connect \(^{n}P_2\) with two ordered positions.
\(\frac{10-4+1}{4}=\frac{7}{4}\) मिलता है। परीक्षा में पास-पास वाले संचयों के लिए अनुपात उपयोग करें। / \(\frac{10-4+1}{4}=\frac{7}{4}\). In exams use ratio for adjacent combinations.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) है और \(\frac{10\times9}{2}=45\) होता है। परीक्षा में pair-counting formula तुरंत लगाएँ। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) and \(\frac{10\times9}{2}=45\). In exams apply the pair-counting formula quickly.
C. फैक्टोरियल रूपों का अनुपात लेना/Taking the ratio of factorial forms
Explanation
Simple Explanation
दोनों फैक्टोरियल सूत्रों को भाग देने पर \(\frac{n}{n-r}\) गुणक आता है। परीक्षा में संबंधित पहचान को फैक्टोरियल से जाँचें। / Dividing the two factorial formulas gives the factor \(\frac{n}{n-r}\). In exams verify related identities using factorials.
तीन चुनी वस्तुओं की अंदरूनी व्यवस्थाएँ (3!) होती हैं। परीक्षा में (P) और (C) को जोड़ते समय (r!) याद रखें। / The internal arrangements of three chosen objects are (3!). In exams remember (r!) while connecting (P) and (C).
तीन चुनी वस्तुओं को (3!) तरीकों से क्रम दिया जा सकता है। परीक्षा में \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) याद रखें। / The three chosen objects can be ordered in (3!) ways. In exams remember \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\).
\(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है इसलिए यहाँ गुणक (4!) है। परीक्षा में चुनी वस्तुओं की व्यवस्था अलग से गिनें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so the multiplier here is (4!). In exams count the arrangement of chosen objects separately.
(12) चुनना (3) छोड़ने जैसा है इसलिए \(^{15}C_{12}=^{15}C_3\) है। परीक्षा में बड़े lower index को complement से छोटा करें। / Choosing (12) is like leaving (3), so \(^{15}C_{12}=^{15}C_3\). In exams reduce a large lower index using its complement.
बराबर combinations में अलग lower indices पूरक होते हैं इसलिए (4+6=n) होगा। परीक्षा में equal combination में indices का योग देखें। / In equal combinations, different lower indices are complementary, so (4+6=n). In exams check the sum of indices in equal combinations.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=9) और (r=5) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) घटता है। / Put (n=9) and (r=5) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
दोनों संचयों में निचला सूचक (r) है। परीक्षा में ऊपरी और निचले सूचक अलग-अलग देखें। / The lower index is (r) in both combinations. In exams read upper and lower indices separately.
फैक्टोरियल रूपों का अनुपात लेने पर \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent terms पर ratio method उपयोग करें। / Taking the ratio of factorial forms gives \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\). In exams use ratio method for adjacent terms.
अनुपात (n-4+1=n-3) होता है और (n-3=7) से (n=10) है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / The ratio is (n-4+1=n-3), and (n-3=7) gives (n=10). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
तीन चुनी वस्तुओं के (3!) orders permutation में extra गिने जाते हैं। परीक्षा में combination पाने के लिए (r!) से भाग दें। / The (3!) orders of three chosen objects are counted extra in permutation. In exams divide by (r!) to get combination.
कुल selections \(2^6\) हैं और खाली selection हटता है। परीक्षा में non-empty selection के लिए (1) घटाएँ। / Total selections are \(2^6\) and the empty selection is removed. In exams subtract (1) for non-empty selections.
(^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) में ((n-3)!) कटने पर (n(n-1)(n-2)) बचता है। परीक्षा में cancellation step साफ लिखें। / In (^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}), cancelling ((n-3)!) leaves (n(n-1)(n-2)). In exams write the cancellation step clearly.
(3!=6) होता है और यह चुनी गई तीन वस्तुओं के internal orders हटाता है। परीक्षा में छोटे factorial values याद रखें। / (3!=6), and it removes internal orders of three chosen objects. In exams remember small factorial values.
Triangle बनाने के लिए (3) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाने में points का order नहीं गिनें। / A triangle needs an unordered selection of (3) points. In exams do not count the order of points while forming a shape.
पहले (3) candidates चुनें और फिर उन्हें (3!) ways से posts दें। परीक्षा में अलग posts हों तो arrangement जोड़ें। / First choose (3) candidates and then assign the posts in (3!) ways. In exams add arrangement when posts are different.
A. दो groups के अंदर के क्रम हटाना/Removing orders inside two groups
Explanation
Simple Explanation
(n!) में चुने और न चुने groups के internal orders अलग गिने जाते हैं। परीक्षा में group division में internal order हटाएँ। / In (n!), internal orders of chosen and unchosen groups are counted separately. In exams remove internal order in group division.
एक group चुनते ही दूसरा group तय हो जाता है इसलिए \(^{n}C_r\) पर्याप्त है। परीक्षा में complement fixed हो तो एक ही selection गिनें। / Once one group is chosen, the other group is fixed, so \(^{n}C_r\) is enough. In exams count only one selection when the complement is fixed.
पहले team के \(^{8}C_3\) तरीके हैं और captain के (3) विकल्प हैं। परीक्षा में selection के बाद extra role हो तो multiply करें। / First there are \(^{8}C_3\) ways to form the team and (3) choices for captain. In exams multiply when an extra role follows selection.
तीन में से एक captain distinguished है इसलिए बाकी (2) members का order हटाने पर \(^{8}P_3\div2!\) मिलता है। परीक्षा में roles की संख्या देखकर overcounting घटाएँ। / One of the three is distinguished as captain, so removing the order of the remaining (2) members gives \(^{8}P_3\div2!\). In exams reduce overcounting by checking the roles.
हर repeated group के internal orders अलग नहीं होते इसलिए (2!2!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में repeated letters को अलग-अलग group मानें। / Internal orders of each repeated group are not different, so divide by (2!2!3!). In exams treat repeated letters as separate groups.
A. Repeated letters के कारण division principle/Division principle due to repeated letters
Explanation
Simple Explanation
समान अक्षरों की अदला-बदली नया arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में repeated letters की frequency लिखकर factorial से भाग दें। / Interchanging identical letters does not make a new arrangement. In exams write frequencies of repeated letters and divide by factorials.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को अगले स्थान के विचार से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
Circular count (7!) और linear count (8!) है इसलिए ratio \(\frac{7!}{8!}=\frac{1}{8}\) है। परीक्षा में circular count में rotations हटते हैं। / The circular count is (7!) and the linear count is (8!), so the ratio is \(\frac{7!}{8!}=\frac{1}{8}\). In exams rotations are removed in circular counting.
पहले rotation हटाने से (5!) आता है फिर reflection same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में rotation और reflection दोनों देखें। / Removing rotation first gives (5!), then reflection being same makes us divide by (2). In exams check both rotation and reflection in necklaces.
बराबर संचयों में निचले सूचक समान या पूरक होते हैं। यहाँ अलग सूचक हैं इसलिए उनका योग (n) होगा। / In equal combinations the lower indices are equal or complementary. Here the indices are different so their sum is (n).
लड़कों और लड़कियों के selections स्वतंत्र हैं और committee में order नहीं है। परीक्षा में category-wise selection पर combinations multiply करें। / The selections of boys and girls are independent and order does not matter in a committee. In exams multiply combinations for category-wise selection.
A. \(^{4}C_2{}^{5}C_2+^{4}C_3{}^{5}C_1+^{4}C_4{}^{5}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
Girls की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है और cases जोड़े जाते हैं। परीक्षा में at least वाले प्रश्नों में valid cases अलग लिखें। / The number of girls can be (2), (3), or (4), and the cases are added. In exams write valid cases separately in at least questions.
Even और odd indexed combination sums बराबर होते हैं और कुल योग \(2^n\) है। परीक्षा में even-sum identity के लिए ((1-1)^n) याद रखें। / Even and odd indexed combination sums are equal and the total sum is \(2^n\). In exams remember ((1-1)^n) for the even-sum identity.
Odd indexed combinations का योग even indexed combinations के बराबर \(2^{n-1}\) होता है। परीक्षा में alternating identity से इसे साबित करें। / The sum of odd indexed combinations equals the even indexed sum and is \(2^{n-1}\). In exams prove it using the alternating identity.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (2+4=n) है। परीक्षा में समान (C) terms में पूरक index तुरंत देखें। / Different lower indices must be complementary, so (2+4=n). In exams quickly check complementary indices in equal (C) terms.
दो वस्तुओं के (2!) orders होते हैं और (2!=2) है। परीक्षा में pair में ordered और unordered count का संबंध याद रखें। / Two objects have (2!) orders and (2!=2). In exams remember the relation between ordered and unordered counts in pairs.
A. यह \(^{7}C_4\times4!\) है/It is \(^{7}C_4\times4!\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (4) letters चुनते हैं फिर उन्हें (4!) orders में रखते हैं। परीक्षा में words में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (4) letters and then arrange them in (4!) orders. In exams order is important in words.
पहले स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (4) choices हैं और बाकी स्थानों पर (5) choices हैं। परीक्षा में leading zero condition पहले देखें। / The first place cannot have (0), so it has (4) choices and the remaining places have (5) choices. In exams check the leading zero condition first.
पहले digit के लिए (5) non-zero choices हैं और फिर बाकी (3) स्थान (5) remaining digits से भरते हैं। परीक्षा में पहला स्थान अलग case की तरह लें। / There are (5) non-zero choices for the first digit and then the remaining (3) places are filled from (5) remaining digits. In exams treat the first place as a separate case.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (r+(r-1)=n) मिलता है। परीक्षा में adjacent equal combinations में यह relation उपयोगी है। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-1)=n). In exams this relation is useful for adjacent equal combinations.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) है और इसे (1) रखने पर (n-r+1=r) मिलता है। परीक्षा में ratio identity से equation बनाइए। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\), and setting it equal to (1) gives (n-r+1=r). In exams form an equation using the ratio identity.
recurrence में extra factor (r)वें स्थान के choices यानी (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next-place choices मानें। / In the recurrence, the extra factor is the choices for the (r)th place, which is (n-r+1). In exams treat the multiplier as next-place choices.
(^{n}C_{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}) है जो वही denominator देता है। परीक्षा में symmetry को factorial से verify करें। / (^{n}C_{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}), which gives the same denominator. In exams verify symmetry using factorials.
A. Denominator में वही दो factorial रहते हैं/The same two factorials remain in the denominator
Explanation
Simple Explanation
(\frac{n!}{r!(n-r)!}) में (r!) और ((n-r)!) का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। परीक्षा में multiplication denominator में order matter नहीं करता। / In (\frac{n!}{r!(n-r)!}), changing the order of (r!) and ((n-r)!) does not change the value. In exams order does not matter in a product denominator.
(4) selected चुनते ही (7) rejected तय हो जाते हैं। परीक्षा में selected-rejected split को combination से जोड़ें। / Once (4) selected objects are chosen, the (7) rejected objects are fixed. In exams connect selected-rejected split with combination.
(n!) में न चुनी गई ((n-r)) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम extra हैं इसलिए उन्हें हटाया जाता है। परीक्षा में permutation formula में remaining part पहचानें। / In (n!), internal orders of the unchosen ((n-r)) objects are extra, so they are removed. In exams identify the remaining part in the permutation formula.
एक चुनी वस्तु का केवल (1) order होता है। परीक्षा में (r=1) पर permutation और combination दोनों (n) होते हैं। / One selected object has only (1) order. In exams permutation and combination both equal (n) when (r=1).
A. क्योंकि खाली चयन और खाली व्यवस्था दोनों (1) हैं/Because empty selection and empty arrangement are both (1)
Explanation
Simple Explanation
शून्य वस्तुओं के लिए count (1) माना जाता है। परीक्षा में (0!=1) और empty case याद रखें। / For zero objects the count is taken as (1). In exams remember (0!=1) and the empty case.
Combination permutation में गिने गए (r!) internal orders को हटाकर मिलता है। परीक्षा में ordered से unordered जाने पर divide करें। / Combination is obtained by removing (r!) internal orders counted in permutation. In exams divide when going from ordered to unordered.
B. न चुनी गई वस्तुओं की संख्या/Number of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुएँ चुनने के बाद (n-r) वस्तुएँ बचती हैं। परीक्षा में complement counting के लिए यह अर्थ याद रखें। / After choosing (r) objects (n-r) objects remain. In exams remember this meaning for complement counting.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (4!=24) नहीं बल्कि (20) किसी (r!) के बराबर नहीं है। दिए गए विकल्पों में कोई सटीक नहीं है इसलिए यह प्रश्न अमान्य होता यदि विकल्प यही हों। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (20) is not equal to any (r!) for these options. With these options the question would be invalid.
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (4!=24) है। परीक्षा में (P) और (C) के अनुपात को (r!) से जोड़ें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) and (4!=24). In exams connect the ratio of (P) and (C) with (r!).
बराबर संचयों में अलग lower indices पूरक होते हैं इसलिए (3+7=n) है। परीक्षा में समान (C) terms में indices का योग जाँचें। / In equal combinations different lower indices are complementary, so (3+7=n). In exams check the sum of indices in equal (C) terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। यहाँ (r=5) रखने पर \(\frac{n-4}{5}\) मिलता है। / The general ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). Putting (r=5) gives \(\frac{n-4}{5}\).
अनुपात (n-5+1=n-4) होता है और (n-4=6) से (n=10) है। परीक्षा में consecutive permutations का अनुपात अंतिम factor देता है। / The ratio is (n-5+1=n-4), and (n-4=6) gives (n=10). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
\(^{11}C_8=^{11}C_3\) और \(^{11}C_3=\frac{^{11}P_3}{3!}\) है। परीक्षा में पहले complement से छोटा index लें। / \(^{11}C_8=^{11}C_3\) and \(^{11}C_3=\frac{^{11}P_3}{3!}\). In exams first use complement to get a smaller index.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=10) और (r=6) रखें। परीक्षा में दोनों पदों का upper index (1) कम होता है। / Put (n=10) and (r=6) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
पास्कल पहचान में दूसरा पद \(^{n-1}C_{r-1}\) होता है। परीक्षा में एक विशेष वस्तु के included case को याद रखें। / In Pascal's identity the second term is \(^{n-1}C_{r-1}\). In exams remember the included case of one special object.
Coefficient क्रमशः \(^{9}C_4\) और \(^{9}C_5\) हैं और ये पूरक indices हैं। परीक्षा में binomial coefficients में symmetry देखें। / The coefficients are \(^{9}C_4\) and \(^{9}C_5\), which have complementary indices. In exams check symmetry in binomial coefficients.
Coefficients \(^{8}C_3\) और \(^{8}C_5\) हैं और (3+5=8) है। परीक्षा में पूरक powers के coefficients बराबर होते हैं। / The coefficients are \(^{8}C_3\) and \(^{8}C_5\), and (3+5=8). In exams coefficients of complementary powers are equal.
A. क्योंकि even और odd indexed sums बराबर होते हैं/Because even and odd indexed sums are equal
Explanation
Simple Explanation
((1+1)^n) और ((1-1)^n) से even और odd sums बराबर मिलते हैं। परीक्षा में alternating sum identity याद रखें। / From ((1+1)^n) and ((1-1)^n), even and odd sums are equal. In exams remember the alternating sum identity.
अंतिम factor (n-r+1) होता है इसलिए (r=5) पर (n-4) मिलेगा। परीक्षा में (+1) को न भूलें। / The last factor is (n-r+1), so for (r=5) it is (n-4). In exams do not forget the (+1).
(r=5) स्थान भरने हैं इसलिए (5) गुणनखंड होंगे। परीक्षा में factors की संख्या को selected positions से जोड़ें। / There are (r=5) positions to fill, so there will be (5) factors. In exams connect the number of factors with selected positions.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) और \(\frac{13\times12}{2}=78\) है। परीक्षा में pair formula से (n) पहचानें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) and \(\frac{13\times12}{2}=78\). In exams identify (n) using the pair formula.
(^{n}P_2=n(n-1)) और \(13\times12=156\) है। परीक्षा में ordered pair count में division नहीं करें। / (^{n}P_2=n(n-1)) and \(13\times12=156\). In exams do not divide in ordered pair count.
(^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) आता है। / (^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}). In exams (r!) appears in the denominator of \(^{n}C_r\).
((n-4)!) कटने के बाद चार factors (n) से (n-3) तक बचते हैं। परीक्षा में numerator factors की संख्या (r) होती है। / After cancelling ((n-4)!), four factors from (n) to (n-3) remain. In exams the number of numerator factors is (r).
पहले committee के \(^{9}C_4\) तरीके हैं और leader के (4) विकल्प हैं। परीक्षा में चयन के बाद role हो तो multiply करें। / First there are \(^{9}C_4\) ways for the committee and (4) choices for leader. In exams multiply when a role follows selection.
एक leader अलग है और बाकी (3) सदस्यों का क्रम महत्वहीन है इसलिए \(^{9}P_4\) को (3!) से भाग देंगे। परीक्षा में roles और ordinary members अलग करें। / One leader is distinct and the order of the other (3) members is irrelevant, so divide \(^{9}P_4\) by (3!). In exams separate roles and ordinary members.
दो category में बिना क्रम selection हो रहा है इसलिए combinations multiply होंगे। परीक्षा में category-wise selection को अलग-अलग गिनें। / There is unordered selection in two categories, so combinations are multiplied. In exams count category-wise selections separately.
ठीक (2) girls और (3) boys चुनने हैं। परीक्षा में exact condition में केवल वही case लें। / Exactly (2) girls and (3) boys must be selected. In exams take only that case for exact conditions.
A. \(^{6}C_3{}^{5}C_2+^{6}C_4{}^{5}C_1+^{6}C_5{}^{5}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
Boys की संख्या (3), (4) या (5) हो सकती है। परीक्षा में at least condition में सभी valid cases जोड़ें। / The number of boys can be (3), (4), or (5). In exams add all valid cases in at least conditions.
पहले (5) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (5!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (5) letters and then arrange them in (5!) ways. In exams order is important in a word.
हर स्थान पर (8) choices फिर से उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power rule \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (8) choices available again. In exams use the power rule \(n^r\) when repetition is allowed.
पहला digit (0) नहीं हो सकता इसलिए (6) choices हैं और बाकी तीन स्थानों पर (7) choices हैं। परीक्षा में leading zero को अलग देखें। / The first digit cannot be (0), so there are (6) choices and (7) choices for each remaining place. In exams treat leading zero separately.
पहले स्थान के लिए (6) non-zero choices हैं और फिर बाकी (3) स्थान (6) बची digits से भरते हैं। परीक्षा में पहले स्थान को अलग handle करें। / There are (6) non-zero choices for the first place and then (3) places are filled from the remaining (6) digits. In exams handle the first place separately.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (r+(r-2)=n) है। परीक्षा में equal combination को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-2)=n). In exams solve equal combinations using the complement rule.
अनुपात \(\frac{n-r}{r+1}\) है और उसे (2) के बराबर रखा गया है। परीक्षा में ratio formula से सीधे equation बनाएं। / The ratio is \(\frac{n-r}{r+1}\) and it is set equal to (2). In exams form the equation directly from the ratio formula.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) होता है। इसे (3) के बराबर रखने पर (n-r+1=3r) मिलता है। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\). Setting it equal to (3) gives (n-r+1=3r).
Quadrilateral के लिए (4) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाते समय points का order न गिनें। / A quadrilateral needs an unordered selection of (4) points. In exams do not count the order of points when forming a shape.
Directed segment में start और end बदलने से object बदलता है। परीक्षा में direction हो तो permutation लगाएँ। / In a directed segment changing start and end changes the object. In exams use permutation when direction exists.
सामान्य line segment में endpoints का order नहीं बदलता। परीक्षा में unordered pair के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / In an ordinary line segment the order of endpoints does not matter. In exams use \(^{n}C_2\) for unordered pairs.
हर circular arrangement linear count में (8) rotations से गिनी जाती है। परीक्षा में circle में rotations को extra count मानें। / Each circular arrangement is counted (8) times in the linear count due to rotations. In exams treat rotations as extra count in a circle.
पहले rotation हटाकर (6!) मिलता है और फिर mirror images same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में reflection जरूर जाँचें। / First removing rotations gives (6!), then mirror images being the same makes us divide by (2). In exams always check reflection in necklace problems.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
दो identical groups के internal orders अलग नहीं दिखते इसलिए (3!2!) से भाग देते हैं। परीक्षा में factorial denominator को multiply करें। / Internal orders of two identical groups are not different, so divide by (3!2!). In exams multiply the factorials in the denominator.
क्योंकि \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (r!=1) केवल (r=0) या (r=1) पर होता है। परीक्षा में equality को factorial से जाँचें। / Because \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (r!=1) only for (r=0) or (r=1). In exams verify equality using factorials.
\(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) और (5!=120) है। परीक्षा में divisor को (r!) से मिलाएँ। / \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) and (5!=120). In exams match the divisor with (r!).
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (6!=720) है। परीक्षा में multiplier को (r!) की तरह पहचानें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (6!=720). In exams identify the multiplier as (r!).
पूरक indices का योग (16) होगा इसलिए (a+a+4=16) और (a=6) है। परीक्षा में equal combinations से linear equation बनाएं। / Complementary indices have sum (16), so (a+a+4=16) and (a=6). In exams form a linear equation from equal combinations.
अलग lower indices पूरक हैं इसलिए (x+2x=18) और (x=6) है। परीक्षा में equal (C) terms को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (x+2x=18) and (x=6). In exams solve equal (C) terms using the complement rule.
यह non-empty selections का sum \(2^n-1\) है और \(2^6-1=63\) है। परीक्षा में empty selection हटाने पर (1) घटाएँ। / This is the sum of non-empty selections \(2^n-1\), and \(2^6-1=63\). In exams subtract (1) when the empty selection is removed.
कुल sum \(2^n\) है और \(2^8=256\) होता है। परीक्षा में all combinations sum को power of (2) से जोड़ें। / The total sum is \(2^n\), and \(2^8=256\). In exams connect the sum of all combinations with a power of (2).
Even indexed sum \(2^{n-1}\) है और \(2^7=128\) से (n=8) है। परीक्षा में even और odd sums बराबर याद रखें। / The even indexed sum is \(2^{n-1}\), and \(2^7=128\) gives (n=8). In exams remember that even and odd sums are equal.
A. न चुनी गई वस्तुओं के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में न चुने गए समूह के क्रम भी extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count the orders inside the unchosen group are also counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
A. बची हुई वस्तुओं के क्रम को ignore करना/Ignoring the order of remaining objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation में केवल चुनी (r) वस्तुओं का order चाहिए और बची वस्तुओं का order नहीं चाहिए। परीक्षा में (n!) से unwanted tail हटाएँ। / Permutation needs the order of only the selected (r) objects and not the order of remaining objects. In exams remove the unwanted tail from (n!).
हर group के अंदर order महत्वहीन है इसलिए (a!b!c!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में labelled groups में groups को आपस में divide न करें। / Order inside each group is irrelevant, so divide by (a!b!c!). In exams do not divide among labelled groups themselves.
दो equal groups unlabelled हैं इसलिए group interchange दो बार गिनता है। परीक्षा में equal unlabelled groups पर extra (2!) correction लगाएँ। / The two equal groups are unlabelled, so interchanging the groups counts twice. In exams apply the extra (2!) correction for equal unlabelled groups.
पहला (4)-group चुनने पर दूसरा तय है और दोनों groups interchange होने से duplicate count आता है। परीक्षा में equal groups हों तो (2!) से भाग दें। / After choosing the first (4)-group the second is fixed, and interchanging the two groups creates duplicate count. In exams divide by (2!) for equal groups.
A. \(^{n}C_r\) selection गिनता है और \(^{n}P_r\) ordered selection गिनता है/\(^{n}C_r\) counts selection and \(^{n}P_r\) counts ordered selection
Explanation
Simple Explanation
Permutation में combination के साथ चुनी वस्तुओं की व्यवस्था भी जुड़ती है। परीक्षा में \(P=C\times r!\) को concept से याद रखें। / Permutation adds the arrangement of chosen objects to combination. In exams remember \(P=C\times r!\) conceptually.
क्रमचय recurrence में नया गुणक (r)वें स्थान के विकल्प (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next position से जोड़ें। / In the permutation recurrence, the new factor is the choices for the (r)th position, (n-r+1). In exams connect the multiplier with the next position.
अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है, इसलिए (r=4) पर \(\frac{n-3}{4}=2\) मिलेगा। परीक्षा में adjacent combinations में ratio formula लगाएँ। / The ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\), so for (r=4), \(\frac{n-3}{4}=2\). In exams use the ratio formula for adjacent combinations.
समान combinations में अलग lower indices पूरक होते हैं, इसलिए (5+8=n) है। परीक्षा में equal (C) terms में indices का योग देखें। / In equal combinations, different lower indices are complementary, so (5+8=n). In exams check the sum of indices in equal (C) terms.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है, इसलिए यहाँ factor (4!) होगा। परीक्षा में (C) से (P) जाने पर चुनी वस्तुओं की arrangements जोड़ें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so here the factor is (4!). In exams add the arrangements of selected objects when going from (C) to (P).
सामान्य अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। (r=6) रखने पर \(\frac{n-5}{6}\) मिलता है। / The general ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). Putting (r=6) gives \(\frac{n-5}{6}\).
अनुपात (n-6+1=n-5) होता है और (n-5=9) से (n=14) है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / The ratio is (n-6+1=n-5), and (n-5=9) gives (n=14). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
\(^{14}C_{11}=^{14}C_3\) और \(^{14}C_3=\frac{^{14}P_3}{3!}\) है। परीक्षा में पहले complement से छोटा index लें। / \(^{14}C_{11}=^{14}C_3\), and \(^{14}C_3=\frac{^{14}P_3}{3!}\). In exams first use the complement to get a smaller index.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=11) और (r=7) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=11) and (r=7) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
पास्कल पहचान में दूसरा case विशेष वस्तु को न चुनने का \(^{n-1}C_r\) होता है। परीक्षा में included और excluded case अलग करें। / In Pascal's identity, the other case is not choosing the special object, \(^{n-1}C_r\). In exams separate included and excluded cases.
Coefficients \(^{10}C_3\) और \(^{10}C_7\) हैं और (3+7=10) है। परीक्षा में पूरक powers के coefficients बराबर होते हैं। / The coefficients are \(^{10}C_3\) and \(^{10}C_7\), and (3+7=10). In exams coefficients of complementary powers are equal.
Coefficients \(^{11}C_5\) और \(^{11}C_6\) हैं जो पूरक indices हैं। परीक्षा में binomial symmetry पहचानें। / The coefficients are \(^{11}C_5\) and \(^{11}C_6\), which have complementary indices. In exams identify binomial symmetry.
Odd indexed combinations का योग even indexed sum के बराबर \(2^{n-1}\) होता है। परीक्षा में ((1-1)^n) से alternating identity याद रखें। / The sum of odd indexed combinations equals the even indexed sum, \(2^{n-1}\). In exams remember the alternating identity from ((1-1)^n).
अंतिम factor (n-r+1) होता है, इसलिए (r=6) पर (n-5) मिलेगा। परीक्षा में (+1) को न भूलें। / The last factor is (n-r+1), so for (r=6) it is (n-5). In exams do not forget the (+1).
(r=6) स्थान भरने हैं इसलिए (6) गुणनखंड होंगे। परीक्षा में factors की संख्या को positions से जोड़ें। / There are (r=6) positions to fill, so there are (6) factors. In exams connect the number of factors with positions.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) और \(\frac{15\times14}{2}=105\) है। परीक्षा में pair formula से (n) पहचानें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}), and \(\frac{15\times14}{2}=105\). In exams identify (n) using the pair formula.
(^{n}P_2=n(n-1)) और \(15\times14=210\) है। परीक्षा में ordered pair count में (2) से भाग न दें। / (^{n}P_2=n(n-1)), and \(15\times14=210\). In exams do not divide by (2) in ordered pair count.
(^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) रखें। / (^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}). In exams keep (r!) in the denominator of \(^{n}C_r\).
((n-5)!) कटने के बाद (n) से (n-4) तक कुल (5) factors बचते हैं। परीक्षा में numerator factors की संख्या (r) होती है। / After cancelling ((n-5)!), there are (5) factors from (n) to (n-4). In exams the number of numerator factors is (r).
पहले committee के \(^{10}C_5\) तरीके हैं और संयोजक के (5) विकल्प हैं। परीक्षा में selection के बाद role हो तो multiply करें। / First there are \(^{10}C_5\) ways to form the committee and (5) choices for coordinator. In exams multiply when a role follows selection.
एक व्यक्ति का role अलग है और बाकी (4) सदस्यों का क्रम महत्वहीन है। परीक्षा में special role होने पर remaining members का overcount हटाएँ। / One person has a distinct role and the order of the remaining (4) members is irrelevant. In exams remove overcounting of remaining members when there is a special role.
दो categories में बिना क्रम selection हो रहा है, इसलिए combinations multiply होंगे। परीक्षा में category-wise selection को अलग-अलग गिनें। / There is unordered selection in two categories, so combinations are multiplied. In exams count category-wise selections separately.
ठीक (3) लड़के और (2) लड़कियाँ चुननी हैं। परीक्षा में exact condition में केवल वही case लें। / Exactly (3) boys and (2) girls must be selected. In exams take only that case for exact conditions.
C. \(^{6}C_3{}^{7}C_2+^{6}C_4{}^{7}C_1+^{6}C_5{}^{7}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
लड़कियों की संख्या (3), (4) या (5) हो सकती है। परीक्षा में at least condition में सभी valid cases जोड़ें। / The number of girls can be (3), (4), or (5). In exams add all valid cases in at least conditions.
पहले (6) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (6!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (6) letters and then arrange them in (6!) ways. In exams order is important in a word.
हर स्थान पर (9) choices फिर से उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power rule \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (9) choices available again. In exams use the power rule \(n^r\) when repetition is allowed.
पहला digit (0) नहीं हो सकता, इसलिए (7) choices हैं और बाकी चार स्थानों पर (8) choices हैं। परीक्षा में leading zero को अलग देखें। / The first digit cannot be (0), so there are (7) choices and (8) choices for each of the remaining four places. In exams treat leading zero separately.
पहले स्थान के लिए (7) non-zero choices हैं और फिर बाकी (4) स्थान (7) बची digits से भरते हैं। परीक्षा में पहले स्थान को अलग handle करें। / There are (7) non-zero choices for the first place, and then (4) places are filled from the remaining (7) digits. In exams handle the first place separately.
अलग lower indices पूरक होंगे, इसलिए (r+(r-3)=n) है। परीक्षा में equal combination को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-3)=n). In exams solve equal combinations using the complement rule.
अनुपात \(\frac{n-r}{r+1}\) है और उसे (3) के बराबर रखा गया है। परीक्षा में ratio formula से सीधे equation बनाएं। / The ratio is \(\frac{n-r}{r+1}\), and it is set equal to (3). In exams form the equation directly from the ratio formula.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) होता है। इसे (4) के बराबर रखने पर (n-r+1=4r) मिलता है। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\). Setting it equal to (4) gives (n-r+1=4r).
Pentagon के लिए (5) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाते समय points का order न गिनें। / A pentagon needs an unordered selection of (5) points. In exams do not count the order of points when forming a shape.
Directed segment में start और end बदलने से object बदलता है। परीक्षा में direction हो तो permutation लगाएँ। / In a directed segment, changing start and end changes the object. In exams use permutation when direction exists.
सामान्य segment में endpoints का order नहीं बदलता। परीक्षा में unordered pair के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / In an ordinary segment, the order of endpoints does not matter. In exams use \(^{n}C_2\) for unordered pairs.
हर circular arrangement linear count में (9) rotations से गिनी जाती है। परीक्षा में circle में rotations को extra count मानें। / Each circular arrangement is counted (9) times in the linear count due to rotations. In exams treat rotations as extra count in a circle.
पहले rotations हटाकर (7!) मिलता है, फिर mirror images same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में reflection जरूर जाँचें। / First removing rotations gives (7!), then mirror images being the same makes us divide by (2). In exams always check reflection in necklace problems.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
दो identical groups के internal orders अलग नहीं दिखते इसलिए (4!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में factorial denominator को multiply करें। / Internal orders of two identical groups are not different, so divide by (4!3!). In exams multiply the factorials in the denominator.
B. यह असंभव है क्योंकि (r!>1)/This is impossible because (r!>1)
Explanation
Simple Explanation
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (r>1) पर (r!>1) होता है। परीक्षा में (P) और (C) की equality को factorial से जाँचें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and for (r>1), (r!>1). In exams verify equality of (P) and (C) using factorials.
\(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) और (7!=5040) है। परीक्षा में divisor को (r!) से मिलाएँ। / \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\), and (7!=5040). In exams match the divisor with (r!).
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (5!=120) है। परीक्षा में multiplier को (r!) की तरह पहचानें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (5!=120). In exams identify the multiplier as (r!).
पूरक indices का योग (20) होगा इसलिए (a+a+6=20) और (a=7) है। परीक्षा में equal combinations से linear equation बनाएं। / Complementary indices have sum (20), so (a+a+6=20) and (a=7). In exams form a linear equation from equal combinations.
अलग lower indices पूरक हैं इसलिए (x+2x=21) और (x=7) है। परीक्षा में equal (C) terms को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (x+2x=21) and (x=7). In exams solve equal (C) terms using the complement rule.
यह non-empty selections का sum \(2^n-1\) है और \(2^7-1=127\) है। परीक्षा में empty selection हटाने पर (1) घटाएँ। / This is the sum of non-empty selections \(2^n-1\), and \(2^7-1=127\). In exams subtract (1) when the empty selection is removed.
कुल sum \(2^n\) है और \(2^9=512\) होता है। परीक्षा में all combinations sum को power of (2) से जोड़ें। / The total sum is \(2^n\), and \(2^9=512\). In exams connect the sum of all combinations with a power of (2).
Even indexed sum \(2^{n-1}\) है और \(2^8=256\) से (n=9) है। परीक्षा में even और odd sums बराबर याद रखें। / The even indexed sum is \(2^{n-1}\), and \(2^8=256\) gives (n=9). In exams remember that even and odd sums are equal.
A. चुने और न चुने groups के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of chosen and unchosen groups
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में दोनों groups के अंदर के क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count, the orders inside both groups are counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
हर labelled group के अंदर order महत्वहीन है इसलिए (a!b!c!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में labelled groups को आपस में extra divide न करें। / Order inside each labelled group is irrelevant, so divide by (a!b!c!). In exams do not divide extra among labelled groups themselves.
पहला (5)-group चुनने पर दूसरा तय है और दोनों groups interchange होने से duplicate count आता है। परीक्षा में equal groups हों तो (2!) से भाग दें। / After choosing the first (5)-group the second is fixed, and interchanging the two groups creates duplicate count. In exams divide by (2!) for equal groups.
A. गलत, क्योंकि सही गुणक (4!=24) है/False, because the correct multiplier is (4!=24)
Explanation
Simple Explanation
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है, इसलिए (r=4) पर गुणक (24) होगा। परीक्षा में multiplier को factorial से verify करें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), so for (r=4) the multiplier is (24). In exams verify the multiplier using factorials.
A. \(^{n}P_r\) में चयन के साथ चुनी वस्तुओं की व्यवस्था भी गिनी जाती है/\(^{n}P_r\) counts selection along with arrangement of selected objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation combination से (r!) गुना होता है क्योंकि चुनी वस्तुओं को क्रम देना पड़ता है। परीक्षा में \(P=C\times r!\) को concept से याद रखें। / Permutation is (r!) times combination because the selected objects must be ordered. In exams remember \(P=C\times r!\) conceptually.
