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यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-14)2-4(1)(13)=144), इसलिए \(x=\frac{14\pm12}{2}\) से (1) और (13) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-14)2-4(1)(13)=144), so \(x=\frac{14\pm12}{2}\) gives (1) and (13). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-12)2-4(1)(11)=100), इसलिए \(x=\frac{12\pm10}{2}\) से (1) और (11) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-12)2-4(1)(11)=100), so \(x=\frac{12\pm10}{2}\) gives (1) and (11). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-16)2-4(1)(37)=108), इसलिए \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-16)2-4(1)(37)=108), so \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-10)2-4(1)(7)=72), इसलिए \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-10)2-4(1)(7)=72), so \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
(D=(-8)2-4(1)(3)=52), इसलिए \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-8)2-4(1)(3)=52), so \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=32-4(1)(-3)=21), इसलिए \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-3) का संकेत सही रखें। / Here (D=32-4(1)(-3)=21), so \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-3) correct.
(D=(-14)2-4(1)(45)=16), इसलिए \(x=\frac{14\pm4}{2}\) से (5) और (9) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-14)2-4(1)(45)=16), so \(x=\frac{14\pm4}{2}\) gives (5) and (9). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-10)2-4(1)(24)=4), इसलिए \(x=\frac{10\pm2}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-10)2-4(1)(24)=4), so \(x=\frac{10\pm2}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=22-4(1)(-2)=12), इसलिए \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करें। / Here (D=22-4(1)(-2)=12), so \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
(D=(-10)2-4(1)(21)=16), इसलिए \(x=\frac{10\pm4}{2}\) से (3) और (7) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-10)2-4(1)(21)=16), so \(x=\frac{10\pm4}{2}\) gives (3) and (7). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-8)2-4(1)(12)=16), इसलिए \(x=\frac{8\pm4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-8)2-4(1)(12)=16), so \(x=\frac{8\pm4}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=1-4(1)(-1)=5), इसलिए \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-1) का संकेत सही रखें। / Here (D=1-4(1)(-1)=5), so \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-1) correct.
\(x^2+x-1=0\) के सरल पूर्णांक गुणनखंड नहीं मिलते, इसलिए सूत्र विधि आसान है। परीक्षा में ऐसे मामलों में द्विघात सूत्र सुरक्षित रहता है। / \(x^2+x-1=0\) has no simple integer factors, so the formula method is easier. In exams, the quadratic formula is safe in such cases.
(D=(-6)2-4(1)(8)=4), इसलिए \(x=\frac{6\pm2}{2}\) से (2) और (4) मिलते हैं। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-6)2-4(1)(8)=4), so \(x=\frac{6\pm2}{2}\) gives (2) and (4). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), इसलिए \(x=\frac{4\pm6}{2}\) मिलता है। परीक्षा में सूत्र लगाते समय (c) का ऋण चिन्ह न भूलें। / Here (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), so \(x=\frac{4\pm6}{2}\). In exams, do not forget the negative sign of (c) while using the formula.
पहले विकल्प में (t=2) रखने पर \(x^2\) का गुणांक (0) हो जाता है। तब समीकरण रैखिक बन जाता है। / In the first option, putting (t=2) makes the coefficient of \(x^2\) equal to (0). Then the equation becomes linear.
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, जो बहुपद रूप नहीं है। सामान्य द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A usual quadratic equation does not have a negative power of the variable.
\(3x^2-27=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(3x^2-27=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without the (x) term.
\(\sqrt{x}\) में चर की भिन्न घात है, इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप नहीं है। द्विघात रूप में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
\(x^2-49=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(x^2-49=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without an (x) term.
\(x+\frac{1}{x}=2\) में चर हर में है, इसलिए यह सीधे द्विघात मानक रूप में नहीं है। द्विघात बहुपद रूप में ऋणात्मक घात नहीं होती। / In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
D. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (2) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(2x^2=0\) में \(x^2\) का गुणांक \(2\neq 0\) है। रैखिक और स्थिर पद न होने पर भी यह द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(2\neq 0\). It can be quadratic even without linear and constant terms.
A. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (1) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4=0\) में \(x^2\) का गुणांक (1) है इसलिए यह द्विघात है। वास्तविक मूल होना द्विघात होने की शर्त नहीं है। / In \(x^2+4=0\), the coefficient of \(x^2\) is (1), so it is quadratic. Having real roots is not a condition for being quadratic.
B. क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (0) है/Because the coefficient of \(x^2\) is (0)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x^2\) का गुणांक (0) है इसलिए \(x^2\) पद समाप्त हो जाता है। द्विघात के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Here the coefficient of \(x^2\) is (0), so the \(x^2\) term disappears. For a quadratic equation, \(a\neq 0\) is necessary.
मोनिक द्विघात में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए \(x^2+5x+6=0\) सही है। / In a monic quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) is (1). So \(x^2+5x+6=0\) is correct.
शुद्ध द्विघात में (x) वाला पद नहीं होता है। \(4x^2-9=0\) में रैखिक पद अनुपस्थित है। / A pure quadratic equation has no (x) term. In \(4x^2-9=0\), the linear term is absent.
जिस पद में \(x^2\) होता है वह द्विघात पद है। यहाँ द्विघात पद \(6x^2\) है। / The term containing \(x^2\) is the quadratic term. Here the quadratic term is \(6x^2\).
शुद्ध द्विघात में (x) वाला रैखिक पद नहीं होता। \(4x^2-16=0\) ऐसा समीकरण है। / A pure quadratic has no linear (x) term. \(4x^2-16=0\) is such an equation.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(x^2-3x+2\) में सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). In \(x^2-3x+2\), the highest power is (2).
A. बाजार प्रधानता और निजीकरण की ओर/Toward market priority and privatization
Explanation
Simple Explanation
थैचरवाद ने राज्य नियंत्रण घटाकर बाजार सुधारों पर जोर दिया। परीक्षा में इसे आधुनिक ब्रिटेन की आर्थिक नीति से जोड़ें। / Thatcherism reduced state control and stressed market reforms. For exams connect it with modern British economic policy.
B. संघ की रक्षा के साथ दासता विरोध की ओर/Toward anti slavery along with preserving the Union
Explanation
Simple Explanation
मुक्ति घोषणा ने युद्ध को दासता विरोधी नैतिक उद्देश्य से भी जोड़ दिया। परीक्षा में लिंकन को संघ और दासता दोनों से याद रखें। / The proclamation connected the war with the moral aim of opposing slavery. Exam tip: remember Lincoln with both Union and slavery.
कुर्स्क के बाद जर्मनी पूर्व में निर्णायक आक्रमण करने की स्थिति में नहीं रहा। परीक्षा में स्टालिनग्राद और कुर्स्क को क्रम से जोड़ें। / After Kursk Germany was no longer able to launch decisive attacks in the east. For exams link Stalingrad and Kursk in sequence.
ब्रिटिश भारत की राजधानी 1911 ईस्वी में कलकत्ता से दिल्ली लाई गई। दिल्ली दरबार और राजधानी परिवर्तन को साथ याद करें। / The capital of British India was shifted from Calcutta to Delhi in 1911 CE. Remember the Delhi Durbar and capital shift together.
हर्ष ने कन्नौज को अपना प्रमुख सत्ता केंद्र बनाया। उत्तर भारत के इतिहास में कन्नौज का महत्व याद रखें। / Harsha made Kannauj his main centre of power. Remember the importance of Kannauj in North Indian history.
1911 में राजधानी कलकत्ता से दिल्ली लाई गई। परीक्षा में राजधानी परिवर्तन और बंगाल विभाजन रद्द को साथ याद रखें। / In 1911 the capital was shifted from Calcutta to Delhi. Exam tip: remember capital shift with annulment of Bengal partition.
1911 में राजधानी कलकत्ता से दिल्ली लाई गई। परीक्षा में बंगाल विभाजन रद्द और राजधानी परिवर्तन साथ याद रखें। / In 1911 the capital was shifted from Calcutta to Delhi. Exam tip: remember Bengal partition annulment and capital shift together.
बहमनी राजधानी बाद में गुलबर्गा से बीदर ले जाई गई। दक्कन राज्यों की राजधानी परिवर्तन परीक्षा में पूछे जाते हैं। / The Bahmani capital was later shifted from Gulbarga to Bidar. Capital shifts of Deccan states are asked in exams.
((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), इसलिए \(x^2-22x+105=26\) से \(x^2-22x+79=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), so \(x^2-22x+105=26\) gives \(x^2-22x+79=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+6)2=49x), इसलिए \(x^2+12x+36-49x=0\) और \(x^2-37x+36=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+6)2=49x), so \(x^2+12x+36-49x=0\), and \(x^2-37x+36=0\). In exams, cross multiply carefully.
दोनों पक्षों को (7x) से गुणा करने पर \(7+7x^2=50x\), यानी \(7x^2-50x+7=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (7x) gives \(7+7x^2=50x\), that is \(7x^2-50x+7=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), इसलिए \(x^2-19x+78=22\) से \(x^2-19x+56=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-6)(x-13)=x-2-19x+78), so \(x^2-19x+78=22\) gives \(x^2-19x+56=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+5)2=36x), इसलिए \(x^2+10x+25-36x=0\) और \(x^2-26x+25=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+5)2=36x), so \(x^2+10x+25-36x=0\), and \(x^2-26x+25=0\). In exams, cross multiply carefully.
दोनों पक्षों को (6x) से गुणा करने पर \(6+6x^2=37x\), यानी \(6x^2-37x+6=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (6x) gives \(6+6x^2=37x\), that is \(6x^2-37x+6=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
((x-5)(x-11)=x-2-16x+55), इसलिए \(x^2-16x+55=18\) से \(x^2-16x+37=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-5)(x-11)=x-2-16x+55), so \(x^2-16x+55=18\) gives \(x^2-16x+37=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+4)2=25x), इसलिए \(x^2+8x+16-25x=0\) और \(x^2-17x+16=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+4)2=25x), so \(x^2+8x+16-25x=0\), and \(x^2-17x+16=0\). In exams, cross multiply carefully.
दोनों पक्षों को (5x) से गुणा करने पर \(5+5x^2=26x\), यानी \(5x^2-26x+5=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (5x) gives \(5+5x^2=26x\), that is \(5x^2-26x+5=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), इसलिए \(x^2-13x+36=14\) से \(x^2-13x+22=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-4)(x-9)=x-2-13x+36), so \(x^2-13x+36=14\) gives \(x^2-13x+22=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+3)2=16x), इसलिए \(x^2+6x+9-16x=0\) और \(x^2-10x+9=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+3)2=16x), so \(x^2+6x+9-16x=0\), and \(x^2-10x+9=0\). In exams, cross multiply carefully.
दोनों पक्षों को (4x) से गुणा करने पर \(4+4x^2=17x\), यानी \(4x^2-17x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (4x) gives \(4+4x^2=17x\), that is \(4x^2-17x+4=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
((x-3)(x-7)=x-2-10x+21), इसलिए \(x^2-10x+21=10\) से \(x^2-10x+11=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-3)(x-7)=x-2-10x+21), so \(x^2-10x+21=10\) gives \(x^2-10x+11=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+2)2=9x), इसलिए \(x^2+4x+4-9x=0\) और \(x^2-5x+4=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+2)2=9x), so \(x^2+4x+4-9x=0\), and \(x^2-5x+4=0\). In exams, cross multiply carefully.
दोनों पक्षों को (3x) से गुणा करने पर \(3+3x^2=10x\), यानी \(3x^2-10x+3=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (3x) gives \(3+3x^2=10x\), that is \(3x^2-10x+3=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), इसलिए \(x^2-7x+10=6\) से \(x^2-7x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), so \(x^2-7x+10=6\) gives \(x^2-7x+4=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
((x+1)2=6x) से \(x^2+2x+1-6x=0\), यानी \(x^2-4x+1=0\) मिलता है। परीक्षा में गलत मध्य पद से बचें। / From ((x+1)2=6x), we get \(x^2+2x+1-6x=0\), that is \(x^2-4x+1=0\). In exams, avoid a wrong middle term.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+1)2=6x), इसलिए \(x^2+2x+1=6x\) और \(x^2-4x+1=0\) नहीं बल्कि जांच करने पर सही रूप ((x+1)2=6x) से \(x^2-4x+1=0\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा बहुत सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+1)2=6x), so \(x^2+2x+1=6x\), and the correct form is \(x^2-4x+1=0\). In exams, cross multiply very carefully.
दोनों पक्षों को (2x) से गुणा करने पर \(2+2x^2=5x\), यानी \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
मूल (4) और (9) हों तो ((x-4)(x-9)=0), यानी \(x^2-13x+36=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If roots are (4) and (9), then ((x-4)(x-9)=0), that is \(x^2-13x+36=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
यहां (D=(-10)2-4(5)(-3)=160) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण दूसरा पद जुड़ता है। / Here (D=(-10)2-4(5)(-3)=160). In exams, a negative (c) makes the second term add.
मूल (3) और (7) हों तो ((x-3)(x-7)=0), यानी \(x^2-10x+21=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If roots are (3) and (7), then ((x-3)(x-7)=0), that is \(x^2-10x+21=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
यहां (D=(-6)2-4(3)(-2)=60) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण दूसरा पद जुड़ता है। / Here (D=(-6)2-4(3)(-2)=60). In exams, a negative (c) makes the second term add.
मूल (2) और (5) हों तो समीकरण ((x-2)(x-5)=0) यानी \(x^2-7x+10=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If the roots are (2) and (5), the equation is ((x-2)(x-5)=0), that is \(x^2-7x+10=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
यहां (D=(-4)2-4(2)(-3)=40) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण जोड़ बनता है। / Here (D=(-4)2-4(2)(-3)=40). In exams, a negative (c) makes the term add.
द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंदर \(b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में इसे विविक्तकर (D) भी कहते हैं। / In the quadratic formula, the part inside the square root is \(b^2-4ac\). In exams, it is also called the discriminant (D).
A. वास्तविक मूल नहीं होंगे/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक वर्गमूल नहीं मिलता। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ याद रखें। / When (D<0), no real square root is obtained. In exams, remember the meaning of a negative discriminant.
A. दो अलग वास्तविक मूल मिलेंगे/Two distinct real roots will be obtained
Explanation
Simple Explanation
(D=36>0), इसलिए दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / (D=36>0), so two distinct real roots are obtained. In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=5), (b=2), (c=-7) हैं। परीक्षा में (c) का संकेत जरूर देखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=5), (b=2), and (c=-7). In exams, always check the sign of (c).
द्विघात सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) में हर (2a) होता है। परीक्षा में (2a) भूलना सामान्य गलती है। / In \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), the denominator is (2a). In exams, forgetting (2a) is a common mistake.
A. वास्तविक मूल नहीं होंगे/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक वर्गमूल नहीं मिलता। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ याद रखें। / When (D<0), no real square root is obtained. In exams, remember the meaning of a negative discriminant.
A. दो अलग वास्तविक मूल मिलेंगे/Two distinct real roots will be obtained
Explanation
Simple Explanation
(D=25>0), इसलिए दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / (D=25>0), so two distinct real roots are obtained. In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=4), (b=-3), (c=-1) हैं। परीक्षा में (b) और (c) के चिन्ह जरूर लिखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=4), (b=-3), and (c=-1). In exams, write the signs of (b) and (c) carefully.
(D>0) होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न ध्यान से देखें। / When (D>0), two distinct real roots are obtained. In exams, check the sign of (D) carefully.
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा में (D) से मूलों की प्रकृति तुरंत पता चलती है। / When (D=0), both roots are equal. In exams, (D) quickly tells the nature of roots.
\(b^2-4ac\) को विविक्तकर कहते हैं और यह मूलों की प्रकृति बताता है। परीक्षा में इसे (D) से भी लिखा जाता है। / \(b^2-4ac\) is called the discriminant and it tells the nature of roots. In exams, it is also written as (D).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=3), (b=5), (c=-2) हैं। परीक्षा में (c) का संकेत जरूर देखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=3), (b=5), and (c=-2). In exams, always check the sign of (c).
द्विघात सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) है। परीक्षा में (a), (b), (c) को सही पहचानना सबसे जरूरी है। / The quadratic formula is \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). In exams, identifying (a), (b), and (c) correctly is most important.
व्युत्क्रम जड़ों का गुणनफल (1) होता है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) को (2) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। / Reciprocal roots have product (1). Multiplying \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) by (2) gives \(2x^2-5x+2=0\).
\(जड़ों का समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ The equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Hence (x^2-7x+10=0) is correct.\)
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें। / The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें। / The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
समान वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए \(b^2=4ac\) सही संबंध है। / For equal real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\). Therefore \(b^2=4ac\) is the correct relation.
जड़ों का योग (4) और गुणनफल (-1) है। \(समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) से उत्तर मिलता है। \(/ The sum of roots is (4) and the product is (-1). Use (x^2-(\)sum)x+product\(=0) to get the answer.\)
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
हर हटाने पर (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-156=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-156=0\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-169) रखने पर \(x^2-169=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-169) gives (x^2-169=0).\)
यदि मूलों का योग (19) और गुणनफल (90) है, तो समीकरण \(x^2-19x+90=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (19) and product is (90), the equation is \(x^2-19x+90=0\). Remember the monic form formula.
(3r+4r=28) से (r=4) मिलता है, इसलिए मूल (12) और (16) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (192) होगा। / From (3r+4r=28), we get (r=4), so the roots are (12) and (16). The constant term is the product of roots (192).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-15) रखने पर \(x^2+15x+56=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-15) gives (x^2+15x+56=0).\)
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) और (2(3x-1)=6x-2) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(4x^2+11x-13=0\) मिलता है। / Here ((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) and (2(3x-1)=6x-2). Bringing all terms to one side gives \(4x^2+11x-13=0\).
हर हटाने पर (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-20=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-20=0\).
