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खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=2) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=2) lies between the zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
(x=-4) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
(0) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (0) lies between the two zeroes and an upward parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
(x=-1) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-1) lies between the zeroes and an upward-opening parabola is below the axis there. Tip: check the sign region between zeroes.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
(x=-3) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत देखें। / (x=-3) lies between the two zeroes, and an upward parabola is below the axis there. Tip: check the sign between zeroes.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: दिशा बदलने पर संकेत क्षेत्र भी बदलता है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: when the direction changes, sign regions also change.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
ऊपर खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच ग्राफ (x)-अक्ष के नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच के क्षेत्र का संकेत पहचानें। / For an upward-opening parabola, the graph lies below the (x)-axis between the two zeroes. Tip: identify the sign region between zeroes.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
औसत \(\frac{-5+3}{2}=-1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत परवलय के मध्य से जुड़ता है। / The average is \(\frac{-5+3}{2}=-1\). Tip: the average of two zeroes is linked to the middle of a parabola.
A. यह (x=1) पर स्पर्श करेगा/It will touch at (x=1)
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय वहाँ स्पर्श करता है। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो स्पर्श की जाँच करें। / The vertex is on the (x)-axis, so the parabola touches there. Tip: if the vertex has (y=0), check for touching.
शून्यक (r) और (s) हैं, इसलिए औसत \(\frac{r+s}{2}\) है। टिप: औसत में योग को संख्या से भाग दें। / The zeroes are (r) and (s), so the average is \(\frac{r+s}{2}\). Tip: divide the sum by the number of values.
शून्यक (-5) और (1) हैं, जिनमें (1) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-5) and (1), and (1) is greater. Tip: the value to the right on the number line is greater.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
x-अक्ष पर जिस बिंदु पर परवलय कटती है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही परवलय के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -1 और 4 हैं, अतः उनका योग = -1 + 4 = 3 है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तरों की व्याख्या: -3 अक्सर तब मिलता है जब कोई साइन भूलकर उल्टा कर दे (जैसे 1 − 4 = -3), और 4 या -4 तब होते हैं जब केवल एक मान लिया गया हो या साइन पूरी तरह गलत हो। टिप: x-अक्ष के छेदन बिंदुओं से सीधे x-मूल पढ़ें और साइन पर ध्यान दें। / The x-coordinates of the x-axis intercepts are the zeros of the parabola. Here the zeros are -1 and 4, so their sum is -1 + 4 = 3. Why distractors are wrong: -3 typically arises from a sign error (confusing -1 + 4 with 1 − 4), while 4 or -4 result from using only one root or taking incorrect signs. Exam tip: read the x-values of intercept points directly and watch the signs carefully.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
एक वास्तविक शून्यक का अर्थ है ग्राफ (x)-अक्ष से केवल एक बिंदु पर मिलता है। परवलय में यह सामान्यतः छूने की स्थिति होती है। / One real zero means the graph meets the (x)-axis at only one point. For a parabola, this is usually the touching case.
A. दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा/It will cut at two distinct points
Explanation
Simple Explanation
दो वास्तविक शून्यक दो अलग (x)-अक्ष कटाव बताते हैं। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटेगा। / Two real zeroes show two distinct (x)-axis intersections. Hence the parabola cuts the (x)-axis at two points.
किसी घनात्मक बहुपद (parabola) का शून्यक वह x-मूल (x-coordinate) है जहाँ वह x-अक्ष से मिलता है। यहाँ पर परवलय केवल बिंदु (-2,0) पर x-अक्ष को स्पर्श कर रही है, जिसका अर्थ है कि वही एकमात्र वास्तविक शून्यक है (मल्टीप्लिसिटी 2 — दोहरा शून्यक)। इसलिए शून्यक -2 है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए बिंदु के x-निर्देशांक से मेल नहीं खाते; विकल्प D गलत है क्योंकि स्पर्श करने पर दो अलग वास्तविक शून्यक नहीं होते बल्कि एक दोहरा शून्यक होता है। परीक्षा टिप: यदि परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करती है तो शून्यक सीधे शीर्ष के x-निर्देशांक के बराबर होता है। / The zero of a parabola is the x-coordinate where it meets the x-axis. Since the parabola meets (touches) the x-axis only at (-2,0), that x-value is the only real zero; touching means a repeated root (multiplicity 2) at x = -2. Thus the correct zero is -2. Options B and C are incorrect because their x-values do not match the given point; option D is incorrect because touching gives one repeated zero, not two distinct zeros. Exam tip: when a parabola touches the x-axis at its vertex, the x-coordinate of the vertex is the zero (a double root).
किसी बहुपद या परवलय के शून्यक वे x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y = 0)। दिए गए कटाव बिंदु (-5, 0) और (2, 0) के x-निर्देशांक क्रमशः -5 और 2 हैं, इसलिए शून्यक -5 और 2 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं (5 और -2)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि इनमें एक शून्य (0) शामिल किया गया है जो वास्तविक कटाव बिंदुओं का x-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के पहले घटक (x-कोऑर्डिनेट) ही शून्यक होते हैं। / The zeroes (roots) of a polynomial/ parabola are the x-coordinates where the graph meets the x-axis (y = 0). From the intercepts (-5, 0) and (2, 0), the x-coordinates are -5 and 2, so the zeroes are -5 and 2. Option B is incorrect because the signs are reversed (5 and -2). Options C and D are incorrect because they include 0, which is not the x-coordinate of the given intercepts. Exam tip: read off the x-values of x-axis intersection points to get the zeroes directly.
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
x-अक्ष पर काटने के बिंदु किसी बहुपद (यहाँ परवलय) के वास्तविक शून्यक (zeros) होते हैं। दो अलग‑अलग कटाव होने का मतलब है दो अलग‑अलग वास्तविक शून्यक हैं; यहाँ शून्यक -1 और 5 हैं। विकल्प B (एक) तब होता है जब परवलय स्पर्शक हो और शून्यक की गुणांकिता अधिक हो (दोहऱा शून्यक), विकल्प C गलत है क्योंकि वे बिंदु intersections हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि द्विघातीय बहुपद की अधिकतम वास्तविक शून्यकों की संख्या 2 होती है। परीक्षा सुझाव: किसी परवलय के x-अक्ष पर कितने बिंदु काटे जा रहे हैं यह सीधे वास्तविक शून्यकों की संख्या देता है; द्विघात के लिए अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं। / Points where a parabola meets the x-axis are its real zeros. Two distinct intersections therefore mean two distinct real zeros; here the zeros are x = -1 and x = 5. Option B (one) would correspond to a tangent (a repeated root), option C (none) is impossible because intersections are given, and option D (three) is impossible for a quadratic since a parabola (degree 2) can have at most two real zeros. Exam tip: Count x-axis intersections for real zeros; for quadratics the maximum is 2 and a single intersection implies a repeated root.
जब परवलय (x)-अक्ष को शीर्ष पर छूता है, तो एक ही वास्तविक शून्यक होता है। उसका (x)-निर्देशांक (4) है। / When a parabola touches the (x)-axis at its vertex, it has one real zero. Its (x)-coordinate is (4).
यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो (p(x)=0) का कोई वास्तविक मान नहीं मिलता। इसलिए वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / If the graph does not meet the (x)-axis, no real value satisfies (p(x)=0). Therefore it has (0) real zeroes.
जब परवलय (x)-अक्ष को केवल एक बिंदु पर छूता है, तो एक वास्तविक शून्यक होता है। परीक्षा में छूना भी (x)-अक्ष से मिलना माना जाता है। / When a parabola touches the (x)-axis at one point, it has one real zero. In exams, touching the (x)-axis also counts as meeting it.
द्विघात बहुपद का ग्राफ परवलय होता है। (x)-अक्ष पर दो अलग-अलग कटाव दो वास्तविक शून्यक बताते हैं। / The graph of a quadratic polynomial is a parabola. Two distinct intersections with the (x)-axis show two real zeroes.
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-16\)=64>0) है। इसलिए दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-16\)=64>0). So two distinct real intersections are obtained.
यहाँ (y=(x-(k+2))2) है और (D=0) है। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। / Here (y=(x-(k+2))2), and (D=0). Therefore the parabola only touches the (x)-axis.
संबंधित समीकरण का (D=4k-2-4\(k^2+9\)=-36) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / The related equation has (D=4k-2-4\(k^2+9\)=-36). So the graph does not cut the (x)-axis.
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-9\)=36>0) है। इसलिए दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-9\)=36>0). So two distinct real intersections are obtained.
यहाँ (y=(x-(k-1))2) है और (D=0) है। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। / Here (y=(x-(k-1))2), and (D=0). Therefore the parabola only touches the (x)-axis.
संबंधित समीकरण का (D=4k-2-4\(k^2+4\)=-16) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / The related equation has (D=4k-2-4\(k^2+4\)=-16). So the graph does not cut the (x)-axis.
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-4\)=16>0) है। इसलिए हमेशा दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-4\)=16>0). So there are always two distinct real intersections.
यहाँ (y=(x-k)2) है और (D=0) है। इसलिए परवलय (x)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। / Here (y=(x-k)2), and (D=0). Therefore the parabola only touches the (x)-axis.
संबंधित समीकरण का (D=4k-2-4\(k^2+1\)=-4) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / The related equation has (D=4k-2-4\(k^2+1\)=-4). So the graph does not cut the (x)-axis.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
दो कटावों से (D>0) होता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं। / Two intersections mean (D>0). If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से कोई कटाव न होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विविक्तकर (D<0) होगा। / If there is no intersection with the (x)-axis, there are no real roots. So the discriminant will be (D<0).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से न मिलने पर कोई वास्तविक (x)-अवरोध नहीं होता। इसलिए (D<0) होता है। / If it does not meet the (x)-axis, there is no real (x)-intercept. Hence (D<0).
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
A. केवल (-2) अलग शून्यक है/Only (-2) is the distinct zero
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-2,0)) पर स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु का (x)-मान नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-2,0)). Tip: the opening direction does not change the touching (x)-value.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। टिप: (p(x)=0) ग्राफ पर (x)-अक्ष कटान है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real solution. Tip: (p(x)=0) means an (x)-axis intersection on the graph.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
दो शून्यकों के बीच का मध्य मान उनके औसत के बराबर होता है। इसलिए मध्य मान होगा \(\frac{-4+6}{2}=1\)। जियोमेट्रिक अर्थ: परवलय की समाक्ष (axis of symmetry) दोनों शून्यकों के मध्य से होकर गुज़रती है, और क्वाड्रैटिक के लिए यह मध्य मान \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) के बराबर होता है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 5 अधिक निकट लगता है क्योंकि यह दूसरे शून्यक 6 के पास है, परंतु यह औसत नहीं है। परीक्षा टिप: यदि परवलय का समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो शून्यकों का मध्य मान \(-\tfrac{b}{2a}\) से शीघ्र पाया जा सकता है। / The midpoint of two zeroes is their average. So midpoint = \(\frac{-4+6}{2}=1\). Geometric meaning: the parabola's axis of symmetry passes through the midpoint of its roots, and for a quadratic the midpoint equals \(\frac{\alpha+\beta}{2}\). Note on distractors: 5 is close to the root 6 but is not the average; 0 and -2 are averages for other pairs, not for -4 and 6. Exam tip: for a quadratic \(ax^2+bx+c\), the midpoint of the roots equals \(-\tfrac{b}{2a}\), useful to compute quickly.
स्पर्श बिंदु केवल एक अलग शून्यक (3) देता है। टिप: दोहराए हुए शून्यक को अलग शून्यक में एक बार गिनें। / The touching point gives only one distinct zero (3). Tip: count a repeated zero once when distinct zeroes are asked.
दोहराया शून्यक होने पर अलग (x)-मान केवल (2) है। टिप: अलग शून्यक गिनते समय समान बिंदु दो बार न गिनें। / For a repeated zero the only distinct (x)-value is (2). Tip: do not count the same point twice for distinct zeroes.
शून्यक (0) और (6) हैं इसलिए गुणनफल (0) है। टिप: किसी भी संख्या से (0) गुणा करने पर (0) मिलता है। / The zeroes are (0) and (6) so the product is (0). Tip: any number multiplied by (0) gives (0).
स्पर्श करने पर केवल एक समान शून्यक मिलता है। टिप: छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है। / When it touches the axis there is only one repeated zero. Tip: touching also means meeting the (x)-axis.
\(S_2=12\) और \(S_3=12\) है जबकि आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (12) है। परीक्षा में शीर्ष के पास छोटे पूर्णांक मान जांचें। / \(S_2=12\) and \(S_3=12\), while the sum decreases afterward, so the maximum is (12). Exam tip: check nearby integer values around the vertex.
(S_n=3n(31-n)) है और (n=15) या (n=16) पर अधिकतम (720) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / (S_n=3n(31-n)), and the maximum (720) occurs at (n=15) or (n=16). Exam tip: check integer values near the vertex.
\(S_1=6\), \(S_2=6\) और आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (6) है। परीक्षा में छोटे पूर्णांक मान जांचें। / \(S_1=6\), \(S_2=6\), and the sum decreases afterward, so the maximum is (6). Exam tip: check small integer values.
योग (S_n=n(103-3n)) है और (n=17) पर अधिकतम (901) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / The sum is (S_n=n(103-3n)), and the maximum (901) occurs at (n=17). Exam tip: check integer values near the vertex.
\(2^5\) से (2) पांच बार मिल सकता है, पर \(3^3\) से \(3^2\) केवल एक बार पूरा मिलता है। इसलिए उत्तर (1) है। / \(2^5\) can supply (2) five times, but \(3^3\) can supply \(3^2\) only once. So the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त भाजक में सबसे सीमित अभाज्य घात उत्तर तय करती है। / For a composite divisor, the most limiting prime exponent decides the answer.
\(2^3\) से \(2^2\) केवल (1) बार पूरा मिलता है, जबकि \(3^2\) से (3) दो बार मिल सकता है। सीमा (2) की घात तय करती है, इसलिए उत्तर (1) है। / From \(2^3\), \(2^2\) can be taken only (1) full time, while \(3^2\) can supply (3) twice. The limiting exponent is for (2), so the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त भाजक में हर अभाज्य की जरूरत अलग-अलग जांचें। / For a composite divisor, check each required prime separately.
हर बार (12) से भाग देने पर \(2^2\) और (3) घटेंगे; \(2^5\) से अधिकतम (2) बार और \(3^2\) से अधिकतम (2) बार मिलते हैं। इसलिए उत्तर (2) है। / Each division by (12) uses \(2^2\) and (3). From \(2^5\), this can happen (2) times, and from \(3^2\), also (2) times.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त भाजक के लिए सभी अभाज्यों की सीमा देखें। / For a composite divisor, check the limiting prime exponent.
तीन ओर की बाड़ में (l+2b=96) है। (A=b(96-2b)) अधिकतम तब होता है जब (b=24)। / For fencing on three sides, (l+2b=96). (A=b(96-2b)) is maximum when (b=24).
यदि चौड़ाई (x) है तो लंबाई (100-2x) और क्षेत्रफल (A=x(100-2x)) है। अधिकतम के लिए \(x=\frac{100}{4}=25\) है। / If breadth is (x), length is (100-2x) and area is (A=x(100-2x)). For maximum area, \(x=\frac{100}{4}=25\).
A. ऐसा कोई वास्तविक \(\theta\) नहीं/No such real \(\theta\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin \theta+\cos \theta=4\) होना पड़ेगा, पर इसका अधिकतम \(\sqrt{2}\) है। इसलिए ऐसा वास्तविक \(\theta\) संभव नहीं है। / We would need \(\sin \theta+\cos \theta=4\), but its maximum is \(\sqrt{2}\). Therefore no real \(\theta\) is possible.
मानक रूप में \(x^2\) पद, (x) पद और स्थिर पद हो सकते हैं। इसलिए अधिकतम (3) पद होते हैं। / The standard form may contain the \(x^2\) term, the (x) term, and the constant term. So the maximum number of terms is (3).
द्विघात समीकरण की घात (2) होती है इसलिए अधिकतम (2) मूल हो सकते हैं। घात और अधिकतम मूल की संख्या को जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। घात से अधिकतम हलों का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. The degree indicates the maximum number of solutions.
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। आसान प्रश्न में घात से अधिकतम हल का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. In easy questions, degree indicates the maximum possible solutions.
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। यहाँ बड़ी घात (6) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में घातों को जोड़ने की गलती न करें। / For terminating decimals, do not add the exponents.
समान अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), \(480=2^5\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3=96\) है। / \(192=2^6\times3\), \(288=2^5\times3^2\), and \(480=2^5\times3\times5\), so HCF \(=2^5\times3=96\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम बाँटने में छोटी समान घात लें। / In maximum equal division, take the smallest common powers.
एक विद्यालय में (312) उत्तर पुस्तिकाएँ और (468) प्रश्न पत्र हैं। इन्हें अधिकतम समान पैकेटों में रखना है ताकि हर पैकेट में दोनों की संख्या अलग-अलग समान रहे। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\) और \(468=2^2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times13=156\) है। / \(312=2^3\times3\times13\) and \(468=2^2\times3^2\times13\), so HCF \(=2^2\times3\times13=156\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / Use HCF for maximum equal distribution.
