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((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
त्रिघात बहुपद की घात (3) होती है। \(x^3-4x+2\) में सबसे बड़ी घात (3) है। / A cubic polynomial has degree (3). In \(x^3-4x+2\), the highest power is (3).
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें। / Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
तीन कटान बिंदु तीन वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटान को गिनें। / Three intersection points show three real zeroes. Tip: count each distinct (x)-axis intersection.
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद घन है। परीक्षा में हमेशा सबसे बड़े शून्येतर घातांक को देखें। / The highest power is (3), so the polynomial is cubic. In exams, always check the highest non-zero exponent.
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Explanation
Simple Explanation
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
A. जब कम से कम एक हल हो/When there is at least one solution
Explanation
Simple Explanation
संगत युग्म में कम से कम एक सामान्य हल होता है। यह एक हल या अनंत हल दोनों हो सकता है। / A consistent pair has at least one common solution. It may have one solution or infinitely many solutions.
असंगत युग्म का कोई सामान्य हल नहीं होता। ग्राफ में यह समानांतर रेखाओं से दिखता है। / An inconsistent pair has no common solution. In a graph, it appears as parallel lines.
जब गुणांकों के अनुपात अलग होते हैं, रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। परीक्षा में पहले (a) और (b) के अनुपात जांचें। / When coefficient ratios are different, the lines meet at one point. In exams, check the ratios of (a) and (b) first.
मान लें (u=2x-y) और (v=x+y)। (4u+3v=53), (2u-5v=-17) से (u=7), \(v=\frac{25}{3}\), इसलिए \(y=\frac{29}{9}\)। / Let (u=2x-y) and (v=x+y). Solve the two equations first, then convert back to (x) and (y).
मान लें (u=2x-y) और (v=x+y)। (5u-3v=11), (2u+4v=50) से (u=7,v=9), इसलिए \(y=\frac{11}{3}\)। / Let (u=2x-y) and (v=x+y). Solving (5u-3v=11), (2u+4v=50) gives (u=7,v=9), hence \(y=\frac{11}{3}\).
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
शून्यकों का योग (-3) है, इसलिए (p=3)। युग्म गुणनफलों का योग (-3+5-15=-13), इसलिए (q=-13) और (p+q=-10)। / The sum of zeroes is (-3), so (p=3). The pairwise product sum is (-3+5-15=-13), so (q=-13) and (p+q=-10).
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
योग (1+3-4=0) है, इसलिए (a=0)। युग्म गुणनफलों का योग (3-4-12=-13), इसलिए (b=-13) और (a+b=-13)। / The sum (1+3-4=0), so (a=0). The sum of pairwise products is (3-4-12=-13), so (b=-13) and (a+b=-13).
यह (p(x)=(x-2)3) है, इसलिए (2) तीन बार शून्यक है। घन पूर्ण पहचान को पहचानना उपयोगी है। / This is (p(x)=(x-2)3), so (2) is a zero three times. Recognizing cube identities is useful.
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
(p(-2)=-8-8+26-10=0), इसलिए (-2) शून्यक है। विकल्पों में दिए छोटे मानों को सीधे रखकर जाँचें। / (p(-2)=-8-8+26-10=0), so (-2) is a zero. Test small option values by direct substitution.
शर्तों से (a+b=-21) और (4a-b=11) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=-19) और (a-b=17)। दो शून्य दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (a+b=-21) and (4a-b=11), so (a=-2), (b=-19), and (a-b=17). When two zeros are given, form two equations.
(p(2)=0) और (p(-2)=-16), इसलिए (p(2)-p(-2)=16)। घटाते समय दूसरे मान का संकेत बदलता है। / (p(2)=0) and (p(-2)=-16), so (p(2)-p(-2)=16). While subtracting, the sign of the second value changes.
(p(2)=8-12-8+12=0), इसलिए गुणनफल (0) होगा। एक मान (0) हो तो पूरा गुणनफल (0) होता है। / (p(2)=8-12-8+12=0), so the product is (0). If one value is (0), the whole product is (0).
यह ((x-2)3) है, इसलिए (p(5)=(5-2)3=27)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x-2)3), so (p(5)=(5-2)3=27). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। विपरीत मानों पर संकेतों को सावधानी से रखें। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). Handle signs carefully for opposite inputs.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
शर्तों से (a+b=5) और (-2a+b=-1) मिलते हैं। घटाने पर (3a=6) नहीं बल्कि (3a=6), इसलिए (a=2)। / The conditions give (a+b=5) and (-2a+b=-1). Subtracting gives (3a=6), so (a=2).
शर्तों से (2a+b=5) और (-a+b=-6) मिलते हैं, इसलिए \(a=\frac{11}{3}\) और \(b=-\frac{7}{3}\)। अतः \(a+b=\frac{4}{3}\) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / The conditions give (2a+b=5) and (-a+b=-6), so \(a=\frac{11}{3}\) and \(b=-\frac{7}{3}\). Hence \(a+b=\frac{4}{3}\), so none of the listed choices is correct.
(p(-1)=-k+2+7+5=14-k), इसलिए (14-k=16) और (k=-2)। ऋणात्मक मान रखने पर संकेतों को ध्यान से देखें। / (p(-1)=-k+2+7+5=14-k), so (14-k=16) and (k=-2). Watch signs carefully when substituting a negative value.
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
गुणांक \(\sqrt{5}\) और \(-\frac{2}{3}\) वास्तविक संख्याएँ हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह घन बहुपद है। / The coefficients \(\sqrt{5}\) and \(-\frac{2}{3}\) are real numbers and the highest power is (3). Hence it is a cubic polynomial.
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
(x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)) है। गुणनखंडों से शून्यक सीधे मिलते हैं। / (x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)). Zeroes are read directly from the factors.
(p(2)=8-16+2+6=0), इसलिए (2) शून्यक है। विकल्पों में छोटे पूर्णांकों को पहले जाँचें। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Test small integer options first.
(p(2)=0) और (p(-2)=-16), इसलिए (p(2)-p(-2)=16)। घटाते समय दूसरे मान का संकेत बदलता है। / (p(2)=0) and (p(-2)=-16), so (p(2)-p(-2)=16). While subtracting, the sign of the second value changes.
(p(1)=1-2-3+4=0) और (p(-1)=-1-2+3+4=4), इसलिए गुणनफल (0) है। पहले दोनों मान निकालें। / (p(1)=1-2-3+4=0) and (p(-1)=-1-2+3+4=4), so the product is (0). Find both values first.
यह ((x+1)3) है, इसलिए (p(-2)=(-1)3=-1)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x+1)3), so (p(-2)=(-1)3=-1). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। विपरीत मानों पर संकेतों को सावधानी से रखें। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). Handle signs carefully for opposite inputs.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(0)=s=-3) और (p(1)=2+r-3=4), इसलिए (r=5)। पहले (x=0) से अचर पद निकालें। / (p(0)=s=-3) and (p(1)=2+r-3=4), so (r=5). First use (x=0) to find the constant term.
शर्तों से (1+a+b=6) और (-1-a+b=-4) मिलते हैं। इन्हें हल करने पर (a=4) मिलता है। / The conditions give (1+a+b=6) and (-1-a+b=-4). Solving them gives (a=4).
(p(1)=1-5+m+8=m+4), इसलिए (m=-4)। दिए गए मान को रखकर समीकरण हल करें। / (p(1)=1-5+m+8=m+4), so (m=-4). Substitute the given value and solve the equation.
(p(1)=k-2+5-4=k-1), इसलिए (k-1=7) और (k=8)। मान रखने के बाद सरल समीकरण बनाएं। / (p(1)=k-2+5-4=k-1), so (k-1=7) and (k=8). Substitute first and then form a simple equation.
शून्यकों से बहुपद (x(x-2)(x+3)) बनेगा। इसे फैलाने पर \(x^3+x^2-6x\) मिलता है। / From the zeroes, the polynomial is (x(x-2)(x+3)). Expanding gives \(x^3+x^2-6x\).
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
बहुपद ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6) है। इसलिए (p=-6), (q=11) और (p+q=5) नहीं बल्कि (5) है। / The polynomial is ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6). Hence (p=-6), (q=11), so (p+q=5).
(p(2)=16+4-10+2=12) और (p(-1)=-2+1+5+2=6), इसलिए अंतर (6) है। दोनों मान अलग निकालें। / (p(2)=16+4-10+2=12) and (p(-1)=-2+1+5+2=6), so the difference is (6). Find both values separately.
(p(1)=0) नहीं बल्कि (2+1-5+2=0), और (p(-1)=-2+1+5+2=6), इसलिए गुणनफल (0) है। सही विकल्प (0) है। / (p(1)=2+1-5+2=0), and (p(-1)=-2+1+5+2=6), so the product is (0). The correct option is (0).
यह ((x-1)3) है, इसलिए (p(2)=(2-1)3=1)। पहचान पहचानने से गणना कम होती है। / It is ((x-1)3), so (p(2)=(2-1)3=1). Recognizing identities reduces calculation.
(p(-2)=0) और (p(2)=0), इसलिए योग (0) है। यह विषम बहुपद जैसा व्यवहार करता है। / (p(-2)=0) and (p(2)=0), so the sum is (0). It behaves like an odd polynomial.
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
(p(0)=s=5) और (p(1)=1+r+5=9), इसलिए (r=3)। पहले (x=0) से अचर पद निकालें। / (p(0)=s=5) and (p(1)=1+r+5=9), so (r=3). First use (x=0) to find the constant term.
शर्तों से (1+p+q=4) और (-1-p+q=-2), इसलिए (p=2)। दो समीकरणों को घटाना तेज तरीका है। / The conditions give (1+p+q=4) and (-1-p+q=-2), so (p=2). Subtracting the two equations is quick.
(p(1)=1-4+m+6=m+3), इसलिए (m=-3)। दिए गए मान को रखकर सरल समीकरण बनाएं। / (p(1)=1-4+m+6=m+3), so (m=-3). Substitute the given value and form a simple equation.
(p(1)=1-2-5+6=0), इसलिए (1) इस बहुपद का शून्य है। विकल्पों को रखकर जांचना तेज तरीका है। / (p(1)=1-2-5+6=0), so (1) is a zero of this polynomial. Substituting options is a quick method.
\(6x^3-2x+9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है, इसलिए यह द्विघात नहीं है। घात से वर्गीकरण करें। / \(6x^3-2x+9\) is a polynomial and its degree is (3), so it is not quadratic. Classify by degree.
(p(x)=x-3+1) में सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए यह घन बहुपद है। बहुपद का प्रकार उसकी घात से तय करें। / In (p(x)=x-3+1), the highest power is (3), so it is a cubic polynomial. Decide the type of a polynomial by its degree.
(q(-2)=-8+8+10-6=4)। ऋणात्मक मान रखते समय प्रत्येक पद का संकेत अलग जांचें। / (q(-2)=-8+8+10-6=4). Check the sign of every term separately when substituting a negative value.
A. घात (3), नियत पद (-4)/Degree (3), constant term (-4)
Explanation
Simple Explanation
सबसे बड़ी घात (3) है और बिना (x) वाला पद (-4) है। इसलिए सही जोड़ी घात (3), नियत पद (-4) है। / The highest power is (3) and the term without (x) is (-4). So the correct pair is degree (3), constant term (-4).
(p(1)=1-3+3-1=0), इसलिए (1) इस बहुपद का शून्य है। विकल्पों को रखने से शून्य जल्दी मिल सकता है। / (p(1)=1-3+3-1=0), so (1) is a zero of this polynomial. Substituting options can quickly identify the zero.
\(-2x^3+4x+7\) का प्रमुख पद \(-2x^3\) है। इसलिए प्रमुख गुणांक (-2) है। / The leading term of \(-2x^3+4x+7\) is \(-2x^3\). So the leading coefficient is (-2).
\(x^3\) के साथ लगा गुणक (5) है। गुणांक हमेशा संबंधित पद से पहचाना जाता है। / The multiplier of \(x^3\) is (5). A coefficient is identified from its related term.
इसमें (x) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को (0x) समझें। / There is no (x)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as (0x).
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
\(x^3\) के साथ गुणांक (4) जुड़ा है। घात और गुणांक को अलग अलग पहचानें। / The coefficient attached to \(x^3\) is (4). Identify the exponent and coefficient separately.
घात (3) वाला बहुपद घन बहुपद कहलाता है। सबसे बड़ी घात ही नाम तय करती है। / A degree (3) polynomial is called a cubic polynomial. The highest power decides the name.
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए यह घन बहुपद है। बहुपद का प्रकार उसकी घात से तय करें। / The highest power is (3), so it is a cubic polynomial. Classify a polynomial by its degree.
(\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), इसलिए \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में घात को सरल करना मुख्य कदम है। / (\(\sqrt{3}\)3=3\sqrt{3}), so \(3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0\). Simplifying powers is the key step in such questions.
(\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), इसलिए \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\) है। परीक्षा में (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}) याद रखें। / (\(\sqrt{2}\)3=2\sqrt{2}), so \(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0\). Remember (\(\sqrt{a}\)3=a\sqrt{a}).
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14)। घन योग में (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) लगाएँ। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-1\), so (\alpha-3+\beta-3=23-3(-1)(2)=14). Use (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)).
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
मूल बिंदु भी (x)-अक्ष पर है इसलिए (0) भी शून्यक है। सभी (x)-प्रतिच्छेदों के (x)-मान लिखें। / The origin also lies on the (x)-axis so (0) is also a zero. Write the (x)-values of all intercepts.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
(x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)) है, इसलिए शून्यक (0), (5), (7) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)), so the zeroes are (0), (5), (7). Tip: first take (x) as the common factor.
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
