Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. मृदा जल विभव प्रवणता (Water potential gradient)/Soil water potential gradient
Step 1
Concept
Capillary water dynamics are governed by thermodynamics, moving spontaneously from high to low soil matrix potentials.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मृदा जल विभव प्रवणता (Water potential gradient) / Soil water potential gradient. Capillary water dynamics are governed by thermodynamics, moving spontaneously from high to low soil matrix potentials.
Step 3
Exam Tip
केशिका जल हमेशा उच्च जल विभव (गीली मिट्टी) से निम्न जल विभव (सूखी मिट्टी) की ओर ऊष्मागतिकी के नियमों के अनुसार संचलन प्रदर्शित करता है।
A. DNA fragment को gel matrix से release करने के लिए/To release DNA fragment from gel matrix
Step 1
Concept
The desired band is trapped in agarose matrix. Melting and binding steps help DNA recovery.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. DNA fragment को gel matrix से release करने के लिए / To release DNA fragment from gel matrix. The desired band is trapped in agarose matrix. Melting and binding steps help DNA recovery.
Step 3
Exam Tip
Desired band agarose matrix में फंसा होता है। Melting और binding steps DNA recovery में मदद करते हैं।
Treat vowels (A,I) as one block, giving \(5!\cdot 2!\) arrangements. For together conditions, the block method is most useful.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (240). Treat vowels (A,I) as one block, giving \(5!\cdot 2!\) arrangements. For together conditions, the block method is most useful.
Step 3
Exam Tip
स्वरों (A,I) को एक खंड मानने पर \(5!\cdot 2!\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। साथ वाली शर्त में खंड विधि सबसे उपयोगी है।
Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (480). Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
Step 3
Exam Tip
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है।
A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and antisymmetric but not transitive
Step 1
Concept
All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and antisymmetric but not transitive. All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और कोई विपरीत अविकर्ण जोड़ा साथ नहीं है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं जबकि ((1,3)) नहीं है।
All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
Step 3
Exam Tip
मैट्रिक्स में सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और मैट्रिक्स सममित है। युग्म ({1,3}) का पूरा वर्ग बनता है, इसलिए संक्रामिता भी सही है।
A. प्राथमिकता मैट्रिक्स या सूची बनाकर निर्णय करना/Decide using a priority matrix or list
Step 1
Concept
A list or matrix clarifies decisions even under pressure. In exams, choose a systematic prioritisation method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्राथमिकता मैट्रिक्स या सूची बनाकर निर्णय करना / Decide using a priority matrix or list. A list or matrix clarifies decisions even under pressure. In exams, choose a systematic prioritisation method.
Step 3
Exam Tip
सूची या मैट्रिक्स दबाव में भी निर्णय स्पष्ट करती है। परीक्षा में व्यवस्थित प्राथमिकता विधि चुनें।
B. किसे क्या कब और कैसे सूचना देनी है/Who needs what information when and how
Step 1
Concept
Right information should reach the right person at the right time. Remember the idea of communication matrix in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. किसे क्या कब और कैसे सूचना देनी है / Who needs what information when and how. Right information should reach the right person at the right time. Remember the idea of communication matrix in exams.
Step 3
Exam Tip
सही सूचना सही व्यक्ति को सही समय पर मिलनी चाहिए। परीक्षा में communication matrix का विचार याद रखें।
A. जब अनेक गतिविधियाँ सीमित समय और संसाधन के लिए प्रतिस्पर्धा करें/When many activities compete for limited time and resources
Step 1
Concept
A priority matrix helps separate important and urgent tasks. In exams, priority is necessary with limited resources.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब अनेक गतिविधियाँ सीमित समय और संसाधन के लिए प्रतिस्पर्धा करें / When many activities compete for limited time and resources. A priority matrix helps separate important and urgent tasks. In exams, priority is necessary with limited resources.
Step 3
Exam Tip
Priority matrix महत्वपूर्ण और तात्कालिक tasks को अलग करने में मदद करती है। परीक्षा में limited resources पर priority जरूरी है।
C. लोकप्रियता और लाभ के आधार पर व्यंजनों को वर्गीकृत करने के लिए/To classify dishes based on popularity and profit
Step 1
Concept
This matrix shows which dish to keep, improve or change. Exam tip: connect menu with income planning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. लोकप्रियता और लाभ के आधार पर व्यंजनों को वर्गीकृत करने के लिए / To classify dishes based on popularity and profit. This matrix shows which dish to keep, improve or change. Exam tip: connect menu with income planning.
Step 3
Exam Tip
यह मैट्रिक्स बताता है कि कौन-सा व्यंजन रखना, सुधारना या बदलना है। परीक्षा में मेन्यू को आय योजना से जोड़ें।
C. स्वचालित रिपोर्टिंग नियंत्रण और जिम्मेदारी मैट्रिक्स बनाना/Create automated reporting controls and responsibility matrix
Step 1
Concept
When reporting frequency increases risk of error and delay rises. In exams strengthening compliance systems is the correct step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. स्वचालित रिपोर्टिंग नियंत्रण और जिम्मेदारी मैट्रिक्स बनाना / Create automated reporting controls and responsibility matrix. When reporting frequency increases risk of error and delay rises. In exams strengthening compliance systems is the correct step.
Step 3
Exam Tip
रिपोर्टिंग आवृत्ति बढ़ने पर त्रुटि और देरी का जोखिम बढ़ता है। परीक्षा में अनुपालन प्रणाली को मजबूत करना सही कदम है।
A. dual reporting में command clarity और coordination बनाए रखना/Maintaining command clarity and coordination in dual reporting
Step 1
Concept
Multiple reporting lines in a matrix can create confusion so unity and coordination need attention. In exams connect modern case with the basic principle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. dual reporting में command clarity और coordination बनाए रखना / Maintaining command clarity and coordination in dual reporting. Multiple reporting lines in a matrix can create confusion so unity and coordination need attention. In exams connect modern case with the basic principle.
Step 3
Exam Tip
matrix में कई reporting lines भ्रम पैदा कर सकती हैं इसलिए unity and coordination पर ध्यान चाहिए। परीक्षा में modern case को मूल principle से जोड़ें।
The main diagonal has equal elements (3), and outside elements are (0). Therefore (A) is a scalar matrix.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A) अदिश मैट्रिक्स है / (A) is a scalar matrix. The main diagonal has equal elements (3), and outside elements are (0). Therefore (A) is a scalar matrix.
Step 3
Exam Tip
मुख्य विकर्ण पर समान अवयव (3) हैं और बाहर के अवयव (0) हैं। इसलिए (A) अदिश मैट्रिक्स है।
(i=j) represents the main diagonal, where the elements are (1). For \(i\ne j\), the other elements are (0), so it is an identity matrix.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. इकाई मैट्रिक्स / Identity matrix. (i=j) represents the main diagonal, where the elements are (1). For \(i\ne j\), the other elements are (0), so it is an identity matrix.
Step 3
Exam Tip
(i=j) मुख्य विकर्ण को दर्शाता है, जहां अवयव (1) हैं। \(i\ne j\) पर बाकी अवयव (0) हैं, इसलिए यह इकाई मैट्रिक्स है।
When all elements are (0), the matrix is a zero matrix. This is a direct definition-based question.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. शून्य मैट्रिक्स / Zero matrix. When all elements are (0), the matrix is a zero matrix. This is a direct definition-based question.
Step 3
Exam Tip
जब सभी अवयव (0) हों, तो मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स होती है। यह definition पर आधारित सीधा प्रश्न है।
An identity matrix has (1) on the main diagonal and (0) elsewhere. This form is in the second option.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}\). An identity matrix has (1) on the main diagonal and (0) elsewhere. This form is in the second option.
Step 3
Exam Tip
इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी (0) होते हैं। यह रूप दूसरे विकल्प में है।
Every element in a zero matrix is (0). In the first option, all four elements are (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\begin{bmatrix}0&0\0&0\end{bmatrix}\). Every element in a zero matrix is (0). In the first option, all four elements are (0).
Step 3
Exam Tip
शून्य मैट्रिक्स में हर अवयव (0) होता है। पहले विकल्प में चारों अवयव (0) हैं।
A. पहली पंक्ति और तीसरा स्तंभ/(1)st row and (3)rd column
Step 1
Concept
In \(a_{13}\), (1) tells the row and (3) tells the column. The index order is always row then column.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहली पंक्ति और तीसरा स्तंभ / (1)st row and (3)rd column. In \(a_{13}\), (1) tells the row and (3) tells the column. The index order is always row then column.
Step 3
Exam Tip
\(a_{13}\) में (1) पंक्ति को और (3) स्तंभ को बताता है। index का क्रम हमेशा पंक्ति फिर स्तंभ होता है।
A. संख्याओं की आयताकार व्यवस्था/A rectangular arrangement of numbers
Step 1
Concept
A matrix is a rectangular arrangement of numbers or expressions. It is written in rows and columns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. संख्याओं की आयताकार व्यवस्था / A rectangular arrangement of numbers. A matrix is a rectangular arrangement of numbers or expressions. It is written in rows and columns.
Step 3
Exam Tip
मैट्रिक्स संख्याओं या व्यंजकों की आयताकार व्यवस्था है। इसे पंक्तियों और स्तंभों में लिखा जाता है।
On taking transpose, rows and columns interchange. Therefore the transpose of \(2\times3\) has order \(3\times2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(3\times2\). On taking transpose, rows and columns interchange. Therefore the transpose of \(2\times3\) has order \(3\times2\).
Step 3
Exam Tip
Transpose लेने पर पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं। इसलिए \(2\times3\) का transpose \(3\times2\) होगा।
In transpose, rows become columns. Hence \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\). In transpose, rows become columns. Hence \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\).
Step 3
Exam Tip
परिवर्तित मैट्रिक्स में पंक्तियां स्तंभ बन जाती हैं। इसलिए \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\)।
In a diagonal matrix, all elements outside the main diagonal are (0). Main diagonal elements may be (0) or nonzero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. विकर्ण मैट्रिक्स / Diagonal matrix. In a diagonal matrix, all elements outside the main diagonal are (0). Main diagonal elements may be (0) or nonzero.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) होते हैं। मुख्य विकर्ण के अवयव (0) या nonzero हो सकते हैं।
A. तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स/Identity matrix of order (3)
Step 1
Concept
The main diagonal has (1) and all other positions have (0). It is the \(3\times3\) identity matrix.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स / Identity matrix of order (3). The main diagonal has (1) and all other positions have (0). It is the \(3\times3\) identity matrix.
Step 3
Exam Tip
मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी स्थानों पर (0) हैं। यह \(3\times3\) इकाई मैट्रिक्स है।
In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A=\begin{bmatrix}1&1&1\2&2&2\end{bmatrix}\). In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
Step 3
Exam Tip
\(a_{ij}=i\) में प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयव उसी पंक्ति संख्या के बराबर होंगे। पहली पंक्ति में (1) और दूसरी में (2) आएगा।
C. जब उनका क्रम समान हो और समान स्थानों के अवयव बराबर हों/When their orders are same and corresponding elements are equal
Step 1
Concept
For two matrices to be equal, their order must be the same. Also, every corresponding element must be equal.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. जब उनका क्रम समान हो और समान स्थानों के अवयव बराबर हों / When their orders are same and corresponding elements are equal. For two matrices to be equal, their order must be the same. Also, every corresponding element must be equal.
Step 3
Exam Tip
दो मैट्रिक्स बराबर होने के लिए उनका क्रम समान होना चाहिए। साथ ही हर corresponding अवयव बराबर होना चाहिए।
The main diagonal has equal elements (5), and the remaining elements are (0). Such a diagonal matrix is called a scalar matrix.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अदिश मैट्रिक्स / Scalar matrix. The main diagonal has equal elements (5), and the remaining elements are (0). Such a diagonal matrix is called a scalar matrix.
Step 3
Exam Tip
मुख्य विकर्ण पर बराबर अवयव (5) हैं और बाकी अवयव (0) हैं। ऐसी विकर्ण मैट्रिक्स अदिश मैट्रिक्स कहलाती है।
C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(2\times5\)
Step 1
Concept
In a rectangular matrix, rows and columns are not equal. In \(2\times5\), \(2\ne5\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स / Matrix of order \(2\times5\). In a rectangular matrix, rows and columns are not equal. In \(2\times5\), \(2\ne5\).
Step 3
Exam Tip
आयताकार मैट्रिक्स में पंक्तियां और स्तंभ बराबर नहीं होते। \(2\times5\) में \(2\ne5\) है।
C. क्रम \(4\times4\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(4\times4\)
Step 1
Concept
In a square matrix, the number of rows and columns is equal. In \(4\times4\), both numbers are (4).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्रम \(4\times4\) वाली मैट्रिक्स / Matrix of order \(4\times4\). In a square matrix, the number of rows and columns is equal. In \(4\times4\), both numbers are (4).
Step 3
Exam Tip
वर्ग मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। \(4\times4\) में दोनों संख्या (4) हैं।
All main diagonal elements are (1) and the remaining elements are (0). Such a matrix is called an identity matrix.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. इकाई मैट्रिक्स / Identity matrix. All main diagonal elements are (1) and the remaining elements are (0). Such a matrix is called an identity matrix.
Step 3
Exam Tip
मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव (1) हैं और बाकी (0) हैं। ऐसी मैट्रिक्स को इकाई मैट्रिक्स कहते हैं।
A. दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव/Element in (2)nd row and (3)rd column
Step 1
Concept
In \(a_{23}\), (2) is the row number and (3) is the column number. So it is the element in the (2)nd row and (3)rd column.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव / Element in (2)nd row and (3)rd column. In \(a_{23}\), (2) is the row number and (3) is the column number. So it is the element in the (2)nd row and (3)rd column.
Step 3
Exam Tip
\(a_{23}\) में (2) पंक्ति संख्या और (3) स्तंभ संख्या है। इसलिए यह दूसरी पंक्ति तीसरे स्तंभ का अवयव है।
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
The rank of a \(3\times 3\) matrix can be (0,1,2,) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
Matrices with the same rank lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Therefore there are (4) equivalence classes. चरण 1: \(3\times 3\) आव्यूह की कोटि (0,1,2,3) हो सकती है। चरण 2: समान कोटि वाले आव्यूह एक ही तुल्यता वर्ग में आएँगे। चरण 3: इसलिए कुल (4) तुल्यता वर्ग बनेंगे।
A. क्योंकि अनुरेख की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of trace is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The trace of a matrix is equal to its own trace.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of trace works in both directions.
Step 3
Exam Tip
If the traces are equal pairwise through a middle matrix, then the first and third traces are also equal. चरण 1: किसी आव्यूह का अनुरेख अपने ही अनुरेख के बराबर है। चरण 2: अनुरेख बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में ठीक रहती है। चरण 3: यदि दो-दो आव्यूहों के अनुरेख बराबर हों, तो पहले और तीसरे का अनुरेख भी बराबर होगा।
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too. चरण 1: किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। चरण 2: निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। चरण 3: यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे।
Symmetry would require \(m_{42}=1\), but it is (0).
Step 3
Exam Tip
One unequal reflected entry breaks symmetry. चरण 1: \(m_{24}=1\) का अर्थ (\(a_2,a_4\)\in R) है। चरण 2: सममितता के लिए \(m_{42}=1\) होना चाहिए, लेकिन वह (0) है। चरण 3: ऐसी एक असमान प्रविष्टि सममितता को तोड़ देती है।
A. वे मुख्य विकर्ण के आर-पार बराबर होती हैं/They are equal across the main diagonal
Step 1
Concept
In a relation matrix, \(m_{ij}=1\) means (\(a_i,a_j\)\in R).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), so \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the matrix of a symmetric relation is a symmetric matrix. चरण 1: संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=1\) का अर्थ (\(a_i,a_j\)\in R) है। चरण 2: सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी चाहिए, इसलिए \(m_{ji}=1\) होगा। चरण 3: इसी कारण सममित संबंध का आव्यूह सममित आव्यूह होता है।
A. क्योंकि \(m_{12}\neq m_{21}\)/Because \(m_{12}\neq m_{21}\)
Step 1
Concept
For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\), but \(m_{21}=0\), so the equality fails.
Step 3
Exam Tip
In matrix-based questions, compare entries on both sides of the main diagonal. चरण 1: सममित संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=1\), लेकिन \(m_{21}=0\), इसलिए बराबरी टूट गई। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ।
To test symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
If \(M=M^T\), the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार समानता देखें। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। चरण 3: यदि \(M=M^T\), तो संबंध सममित होता है।
In a relation matrix, symmetry requires \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=0\) but \(m_{21}=1\), so the relation is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
One mismatched pair of matrix entries is enough to break symmetry. चरण 1: आव्यूह में सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=0\) लेकिन \(m_{21}=1\), इसलिए संबंध सममित नहीं है। चरण 3: एक भी असमान जोड़ी मिल जाए तो सममितता टूट जाती है।
To check symmetry from a matrix, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=m_{21}=1\), \(m_{13}=m_{31}=1\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
If entries on both sides of the main diagonal match, the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) देखना होता है। चरण 2: \(m_{12}=m_{21}=1\), \(m_{13}=m_{31}=1\), और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। चरण 3: विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ समान हों तो संबंध सममित होता है।
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it. चरण 1: आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। चरण 3: केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ।
A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\). चरण 1: आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें।
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric. चरण 1: संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। चरण 2: यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। चरण 3: इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है।
To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric. चरण 1: आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। चरण 2: यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। चरण 3: संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है।
A. \(\begin{pmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{pmatrix}\)
Step 1
Concept
A symmetric relation has a matrix satisfying \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
In the first matrix, all corresponding entries across the diagonal are equal.
Step 3
Exam Tip
Even one mismatched pair is enough to make the relation non-symmetric. चरण 1: सममित आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: पहले आव्यूह में विकर्ण के आर-पार सभी संबंधित स्थान बराबर हैं। चरण 3: एक भी असमान जोड़ी मिलते ही संबंध सममित नहीं रहेगा।
A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, compare entries across the main diagonal. चरण 1: संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए।
Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), meaning \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(m_{ij}=m_{ji}\) for all (i,j), so \(M=M^T\). चरण 1: संबंध में (\(a_i,a_j\)) होने का अर्थ मैट्रिक्स में \(m_{ij}=1\) है। चरण 2: सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी होना चाहिए, यानी \(m_{ji}=1\)। चरण 3: इसलिए हर (i,j) के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\), अर्थात \(M=M^T\)।
A. \(m_{21}\) को (1) करें/Make \(m_{21}\) equal to (1)
Step 1
Concept
For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), while the other opposite entries match.
Step 3
Exam Tip
So changing only \(m_{21}\) to (1) makes the matrix symmetric. चरण 1: सममित मैट्रिक्स में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहां \(m_{12}=1\), पर \(m_{21}=0\), बाकी विपरीत स्थान सही हैं। चरण 3: इसलिए केवल \(m_{21}\) को (1) करने से मैट्रिक्स सममित बन जाएगी।
A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric. चरण 1: संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। चरण 2: दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। चरण 3: इसलिए संबंध सममित है।
