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C. अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे एएलयू के रूप में पहचानें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Identify it as the ALU.
D. उद्यमिता केवल अधिकतम निजी लाभ के लिए होती है/Entrepreneurship exists only for maximum personal profit
Explanation
Simple Explanation
उद्यमिता सामाजिक उद्देश्य और आर्थिक स्थिरता दोनों को जोड़ सकती है। परीक्षा में लाभ और सामाजिक मूल्य को विरोधी न मानें। / Entrepreneurship can combine social purpose with financial stability. In exams do not treat profit and social value as opposites.
A. सामाजिक उद्देश्य और आय साथ संभव हैं/Social purpose and income can coexist
Explanation
Simple Explanation
सामाजिक उद्यम आर्थिक स्थिरता के साथ सामाजिक मूल्य बना सकता है। परीक्षा में सामाजिक उद्देश्य और आय को विरोधी न मानें। / A social enterprise can create social value with financial stability. In exams do not treat social purpose and income as opposites.
C. नहीं आवश्यक गणना सीखी जा सकती है और अन्य कौशल भी महत्वपूर्ण हैं/No required calculations can be learned and other skills also matter
Explanation
Simple Explanation
उद्यमी को उपयोगी गणना समझनी चाहिए लेकिन असाधारण गणितज्ञ होना जरूरी नहीं। परीक्षा में आवश्यकता और अतिशयोक्ति अलग करें। / An entrepreneur should understand useful calculations but need not be an exceptional mathematician. In exams distinguish necessity from exaggeration.
B. नियंत्रण इकाई कार्यों का निर्देशन करती है जबकि अंकगणितीय तार्किक इकाई गणना और तुलना करती है/The control unit directs operations while the arithmetic logic unit performs calculations and comparisons
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रण इकाई निर्देशों के प्रवाह का समन्वय करती है और अंकगणितीय तार्किक इकाई गणितीय तथा तार्किक कार्य करती है। दोनों केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई के भाग हैं। / The control unit coordinates instruction flow while the arithmetic logic unit performs mathematical and logical operations. Both are parts of the central processing unit.
D. शर्तों और निर्णयों पर आधारित प्रोग्राम परिणाम/Program results based on conditions and decisions
Explanation
Simple Explanation
तार्किक तुलना प्रोग्राम की शर्तों और निर्णयों में उपयोग होती है। परीक्षा में तर्क इकाई को केवल गणित तक सीमित न करें। / Logical comparisons are used in program conditions and decisions. Do not limit the logic unit to arithmetic in exams.
C. निर्देशों का समन्वित निष्पादन बाधित होगा/Coordinated execution of instructions will be disrupted
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रण इकाई अन्य भागों को सही समय पर निर्देश देती है। परीक्षा में गणना और नियंत्रण कार्य अलग पहचानें। / The Control Unit directs other parts at the correct time. Distinguish calculation and control functions in exams.
A. अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई गणना और तार्किक तुलना करती है। परीक्षा में परिणाम की प्रकृति से संबंधित उपइकाई पहचानें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and logical comparisons. Identify the subunit from the type of error.
C. गणितीय गणना और तार्किक तुलना/Mathematical calculations and logical comparisons
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय तार्किक इकाई जोड़ घटाव और तुलना जैसे कार्य करती है। यह केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई का भाग है। / The arithmetic logic unit performs tasks such as addition subtraction and comparison. It is part of the central processing unit.
नियंत्रण इकाई कंप्यूटर के अन्य भागों के कार्यों का समन्वय करती है। यह निर्देशों के निष्पादन को नियंत्रित करती है। / The control unit coordinates the work of other computer parts. It controls the execution of instructions.
नियंत्रण इकाई निर्देशों के निष्पादन का समन्वय करती है। परीक्षा में इसे नियंत्रण कार्य से जोड़ें। / The Control Unit coordinates the execution of instructions. Link it with control functions in exams.
A. अंकगणित एवं तर्क इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित एवं तर्क इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई का भाग याद रखें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Remember it as part of the processor in exams.
C. अंकगणितीय तार्किक इकाई गणना करती है जबकि नियंत्रण इकाई निर्देशों का समन्वय करती है/The arithmetic logic unit performs calculations while the control unit coordinates instructions
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय तार्किक इकाई गणितीय और तार्किक कार्य करती है जबकि नियंत्रण इकाई निष्पादन का क्रम नियंत्रित करती है। दोनों केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई के भाग हैं। / The arithmetic logic unit performs mathematical and logical operations while the control unit directs execution. Both are parts of the central processing unit.
B. प्रभावी कंप्यूटर संचालन सही हार्डवेयर संगत सॉफ्टवेयर सुरक्षित प्रक्रिया और नियमित रखरखाव पर निर्भर करता है/Effective computer operation depends on suitable hardware compatible software safe procedures and regular maintenance
Explanation
Simple Explanation
कंप्यूटर का अच्छा संचालन कई परस्पर जुड़े तत्वों पर निर्भर करता है। परीक्षा में समेकित निष्कर्ष चुनें। / Good computer operation depends on several interconnected elements. Choose the integrated conclusion.
B. गणितीय गणना और तार्किक तुलना/Mathematical calculations and logical comparisons
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित एवं तर्क इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे नियंत्रण इकाई से अलग रखें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Distinguish it from the control unit in exams.
C. अंकगणित तथा तर्क इकाई/Arithmetic and logic unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित तथा तर्क इकाई गणना और तार्किक निर्णय करती है। परीक्षा में इसे केंद्रीय प्रक्रमण इकाई का भाग याद रखें। / The arithmetic and logic unit performs calculations and logical decisions. Remember that it is part of the central processing unit.
किसी विषय को अच्छी तरह समझना व्यक्तिगत शक्ति हो सकती है। परीक्षा में कौशल आधारित क्षमता पहचानें। / Understanding a subject well can be a personal strength. Identify skill-based ability in the exam.
B. नकारात्मक आत्मसंवाद प्रयास और आत्मविश्वास घटा सकता है/Negative self-talk may reduce effort and confidence
Explanation
Simple Explanation
बार बार नकारात्मक कथन करने से प्रयास करने की इच्छा कमजोर हो सकती है। परीक्षा में आत्मसंवाद के व्यवहारिक प्रभाव को पहचानें। / Repeated negative statements can weaken the willingness to try. In exams identify the behavioural effect of self-talk.
स्थिर मानसिकता क्षमता को अपरिवर्तनीय मानती है। परीक्षा में अभ्यास से सुधार की संभावना नकारने वाले विचार पहचानें। / A fixed mindset treats ability as unchangeable. Identify thoughts that deny improvement through practice.
एक क्षेत्र की कमजोरी को सभी संबंधित क्षमताओं पर लागू करना सामान्यीकरण है। परीक्षा में सीमित तथ्य से व्यापक निष्कर्ष पहचानें। / Applying weakness in one area to all related abilities is overgeneralisation. Identify broad conclusions drawn from limited evidence.
अभ्यास से क्षमता बढ़ने का विश्वास विकासशील सोच है। परीक्षा में अभी जैसे शब्द पर ध्यान दें। / Believing ability can improve through practice shows a growth mindset. Notice words such as now in exams.
A. अभ्यास और सहायता से मैं गणित में सुधार कर सकता हूं/I can improve in mathematics through practice and help
Explanation
Simple Explanation
कमजोरी को सुधार योग्य मानना सकारात्मक और विकासशील सोच है। स्थायी नकारात्मक धारणा को बदलें। / Viewing weakness as improvable reflects positive and growth-oriented thinking. Replace fixed negative beliefs.
D. जब वह रचना के कार्य भाव या संदर्भ से मेल न खाए/When it does not suit the function mood or context of the composition
Explanation
Simple Explanation
कलात्मक अनुपात केवल गणना नहीं बल्कि कार्य और अभिव्यक्ति से भी जुड़ा है। परीक्षा में context-based judgement करें। / Artistic proportion involves function and expression as well as calculation. Make a context-based judgement.
A. क्योंकि आँखें shape, weight और whitespace को समान तरीके से नहीं पढ़तीं/Because eyes do not read shape, weight, and whitespace equally
Explanation
Simple Explanation
Optical balance perceived weight पर आधारित होता है। परीक्षा में exact centre और visually balanced centre अलग समझें। / Optical balance is based on perceived weight. Exam tip: distinguish exact centre from visually balanced centre.
A. Visual balance महसूस होने वाला सामंजस्य है, exact measurement नहीं/Visual balance is felt harmony, not exact measurement
Explanation
Simple Explanation
Balance perception पर आधारित होता है और exact समानता जरूरी नहीं। परीक्षा में equal halves को balance की एक type मानें। / Balance is based on perception and exact sameness is not necessary. Exam tip: treat equal halves as one type of balance.
A. यह सिद्धांतात्मक विज्ञान की ओर उनकी तैयारी बनती है/It prepares him towards theoretical science
Explanation
Simple Explanation
भौतिकी और गणित ने उनकी वैज्ञानिक दृष्टि को आधार दिया। परीक्षा में विषय-रुचि को बौद्धिक दिशा से जोड़ें। / Physics and mathematics gave a base to his scientific vision. In exams connect subject interest with intellectual direction.
B. बौद्धिक संरचना और सिद्धांतात्मक सोच की आधारभूमि/Foundation of intellectual structure and theoretical thinking
Explanation
Simple Explanation
इन विषयों ने उनकी वैज्ञानिक सोच को आधार दिया। परीक्षा में विषय-रुचि को भविष्य की उपलब्धि से जोड़ें। / These subjects gave a base to his scientific thinking. In exams connect subject interest with future achievement.
A. क्योंकि इन्हीं विषयों ने वैज्ञानिक सोच को आधार दिया/Because these subjects gave a base to scientific thinking
Explanation
Simple Explanation
भौतिकी और गणित उनके वैज्ञानिक जीवन की नींव बने। परीक्षा में रुचि से उपलब्धि तक का संबंध लिखें। / Physics and mathematics became the foundation of his scientific life. In exams write the relation from interest to achievement.
A. उनकी वैज्ञानिक प्रतिभा की बौद्धिक जमीन के रूप में/As the intellectual ground of his scientific genius
Explanation
Simple Explanation
इन विषयों ने उनकी आगे की वैज्ञानिक उपलब्धियों को आधार दिया। परीक्षा में विषय-रुचि को भविष्य की दिशा से जोड़ें। / These subjects formed the basis of his later scientific achievements. In exams connect subject interest with future direction.
A. यह उनके वैज्ञानिक चिंतन की बौद्धिक नींव बनती है/It becomes the intellectual foundation of his scientific thinking
Explanation
Simple Explanation
भौतिकी और गणित उनके आगे के वैज्ञानिक कार्यों का आधार बने। परीक्षा में विषय-रुचि और उपलब्धि का संबंध लिखें। / Physics and mathematics became the base of his later scientific work. In exams write the link between subject interest and achievement.
A. इसने वैज्ञानिक उपलब्धियों की नींव रखी/It laid the foundation of scientific achievements
Explanation
Simple Explanation
इन विषयों में रुचि उनके वैज्ञानिक जीवन का आधार बनी। परीक्षा में रुचि और उपलब्धि का संबंध लिखें। / Interest in these subjects became the base of his scientific life. In exams write the relation between interest and achievement.
A. यह उनके वैज्ञानिक जीवन की नींव बनी/It became the foundation of his scientific life
Explanation
Simple Explanation
इन विषयों ने उनके वैज्ञानिक कार्यों को आधार दिया। परीक्षा में रुचि और भविष्य की उपलब्धि का संबंध समझें। / These subjects gave a base to his scientific work. In exams understand the link between interest and future achievement.
A. इन विषयों ने उनकी वैज्ञानिक उपलब्धियों की नींव रखी/These subjects laid the foundation of his scientific achievements
Explanation
Simple Explanation
भौतिकी और गणित उनके वैज्ञानिक जीवन के आधार बने। परीक्षा में रुचि और करियर का संबंध समझें। / Physics and mathematics became the basis of his scientific life. In exams understand the link between interest and career.
A. मापनीय प्रदर्शन पर आधारित कठोर शिक्षा/Rigid education based on measurable performance
Explanation
Simple Explanation
मशीन परिणाम और उत्तरों पर अधिक केंद्रित दिखती है। परीक्षा में परीक्षण आधारित शिक्षा की सीमा लिखें। / The machine appears focused on results and answers. Exam tip: write the limitation of test-based education.
A. जोड़ने वाले घटक घटाने वाले घटकों से तुलना किए जाते हैं/Adding components are compared with reducing components
Explanation
Simple Explanation
जन्म और आवक प्रवास जोड़ते हैं, मृत्यु और बाहर प्रवास घटाते हैं। परीक्षा में total change को balance की तरह सोचें। / Births and in-migration add, while deaths and out-migration reduce. Exam tip: think of total change as a balance.
A. जनसंख्या और क्षेत्रफल समान अनुपात में बढ़ें तो घनत्व समान रह सकता है/If population and area increase in same proportion density can remain same
Explanation
Simple Explanation
घनत्व अनुपात पर आधारित है इसलिए समान अनुपात में परिवर्तन से घनत्व स्थिर रह सकता है। परीक्षा में अनुपात सोचें। / Density is ratio based so same proportional change can keep density stable. Exam tip: think in ratios.
A. जनसंख्या घटे और क्षेत्रफल समान रहे/Population decreases and area remains same
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल समान रहे और जनसंख्या घटे तो प्रति क्षेत्र लोगों की संख्या घटती है। परीक्षा में अंश घटने का असर समझें। / If area remains same and population decreases people per area decrease. Exam tip: understand the effect of decreasing numerator.
C. क्षेत्रफल समान रहे और जनसंख्या बढ़े/Area remains same and population increases
Explanation
Simple Explanation
समान क्षेत्र में अधिक जनसंख्या होने से घनत्व बढ़ता है। परीक्षा में घनत्व के अंश और हर को समझें। / More population in the same area increases density. Exam tip: understand numerator and denominator of density.
A. यह दिशा और श्रेणी दोनों की गलती है/It is an error of both direction and category
Explanation
Simple Explanation
यूनानी मूर्तिकला बाहरी कला प्रभाव है, भारतीय गणितीय योगदान नहीं। परीक्षा में दिशा और श्रेणी दोनों जाँचें। / Greek sculpture is an external art influence, not an Indian mathematical contribution. Exam tip: check both direction and category.
A. मसाले, पंचतंत्र, दशमलव पद्धति/Spices, Panchatantra, decimal system
Explanation
Simple Explanation
मसाले व्यापार, पंचतंत्र साहित्य और दशमलव गणितीय ज्ञान से जुड़े हैं। परीक्षा में उदाहरणों को श्रेणी के अनुसार याद रखें। / Spices are linked with trade, Panchatantra with literature and decimal with mathematical knowledge. Exam tip: remember examples by category.
भारतीय अंक गणितीय ज्ञान के प्रसार का उदाहरण हैं। परीक्षा में व्यापारिक वस्तु और ज्ञान योगदान अलग रखें। / Indian numerals are an example of spread of mathematical knowledge. Exam tip: keep trade goods and knowledge contributions separate.
दशमलव पद्धति भारत की प्रसिद्ध गणितीय देन है। परीक्षा में इसे ज्ञान के प्रसार से जोड़ें। / The decimal system is a famous mathematical contribution of India. Exam tip: connect it with spread of knowledge.
दशमलव पद्धति भारत से बाहर पहुँचे ज्ञान में शामिल थी। परीक्षा में गणितीय योगदान को याद रखें। / The decimal system was part of knowledge that spread from India. Exam tip: remember mathematical contribution.
A. कुल तटरेखा और मुख्य भूमि तटरेखा का अंतर द्वीपों की भूमिका दिखाता है/Difference between total and mainland coastline shows role of islands
Explanation
Simple Explanation
यहां घटाव और द्वीपीय तटरेखा दोनों समझनी पड़ती हैं। परीक्षा में गणना को अवधारणा से जोड़ें। / Here both subtraction and island coastline must be understood. Exam tip: connect calculation with concept.
A. कुल तटरेखा मुख्य भूमि तटरेखा से अधिक है/Total coastline is greater than mainland coastline
Explanation
Simple Explanation
कुल तटरेखा में द्वीप भी शामिल होते हैं इसलिए यह मुख्य भूमि तटरेखा से अधिक है। परीक्षा में कुल शब्द को ध्यान से पढ़ें। / Total coastline includes islands, so it is greater than mainland coastline. Exam tip: read the word total carefully.
A. विषयों का वैचारिक उपयोग/Ideological use of subjects
Explanation
Simple Explanation
नाजी शिक्षा ने अलग अलग विषयों को प्रचार से जोड़ा। परीक्षा में पाठ्यक्रम के राजनीतिक उपयोग को समझें। / Nazi education linked different subjects with propaganda. Exam tip: understand the political use of curriculum.
A. हर विषय को नात्सी विचार और युद्ध मानसिकता से जोड़ना/Linking every subject with Nazi ideas and war mindset
Explanation
Simple Explanation
नात्सी पाठ्यक्रम में साधारण विषय भी प्रचार से प्रभावित थे। परीक्षा में पाठ्यक्रम नियंत्रण को व्यापक अर्थ में समझें। / In the Nazi curriculum even ordinary subjects were affected by propaganda. Exam tip: understand curriculum control broadly.
A. हर विषय को विचारधारा और युद्ध सोच से जोड़ना/Linking every subject with ideology and war thinking
Explanation
Simple Explanation
नात्सी पाठ्यक्रम में सामान्य विषय भी प्रचार से प्रभावित हो सकते थे। परीक्षा में पाठ्यक्रम नियंत्रण का व्यापक अर्थ समझें। / Even ordinary subjects could be influenced by propaganda in Nazi curriculum. Exam tip: understand the wide meaning of curriculum control.
D. नात्सी उदाहरणों और सैन्य संदर्भों के माध्यम से/Through Nazi examples and military contexts
Explanation
Simple Explanation
नात्सी शिक्षा में कई विषय विचारधारा से प्रभावित थे। परीक्षा में पाठ्यक्रम नियंत्रण का व्यापक अर्थ समझें। / Many subjects in Nazi education were influenced by ideology. Exam tip: understand the wider meaning of curriculum control.
C. नात्सी उदाहरणों और सैन्य विषयों के प्रयोग से/Through Nazi examples and military themes
Explanation
Simple Explanation
नात्सी शिक्षा में कई विषय प्रचार से प्रभावित थे। परीक्षा में पाठ्यक्रम के वैचारिक नियंत्रण को समझें। / Many subjects in Nazi education were influenced by propaganda. Exam tip: understand ideological control of curriculum.
A. पूरी शिक्षा को नाजी प्रचार से भर देना/Filling the whole education with Nazi propaganda
Explanation
Simple Explanation
नाजियों ने हर विषय को विचारधारा से जोड़ने की कोशिश की। परीक्षा में शिक्षा के पूर्ण नाजीकरण को याद रखें। / Nazis tried to connect every subject with ideology. Exam tip: remember complete Nazification of education.
\(a_n=5n-3\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-3]-(5n-3)=5\) है, जो प्रत्येक \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) और \(n(n+1)\) में क्रमागत पदों का अंतर बदलता है, जबकि \(2^n\) एक गुणोत्तर प्रकार का अनुक्रम है। परीक्षा टिप: यदि \(a_n\) को \(pn+q\) के रूप में लिखा जा सके, तो उसका सार्वांतर \(p\) होता है। / For \(a_n=5n-3\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-3]-(5n-3)=5\), which is constant for every \(n\). Therefore, it represents an arithmetic progression. The consecutive differences of \(n^2+1\) and \(n(n+1)\) vary, while \(2^n\) is a geometric-type sequence. Exam tip: if \(a_n\) can be written as \(pn+q\), its common difference is \(p\).
\(a_n=15n-23\) में (n) का गुणांक (15) है, इसलिए सामान्य अंतर (15) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=15n-23\), the coefficient of (n) is (15), so the common difference is (15). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=108) से (d=12), इसलिए \(a_{26}=181+9\cdot12=289\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=108), (d=12), so \(a_{26}=181+9\cdot12=289\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिया है कि समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=13n-19\) है। 176 के लिए \(13n-19=176\) लिखते हैं। अतः \(13n=195\), इसलिए \(n=15\)। इसलिए 176, श्रेणी का 15वाँ पद है। 14वाँ पद \(13(14)-19=163\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) में उस पद का मान रखकर n के लिए हल करें। / Given \(a_n=13n-19\), set the nth term equal to 176: \(13n-19=176\). Thus, \(13n=195\), so \(n=15\). Therefore, 176 is the 15th term of the sequence. The 14th term is \(13(14)-19=163\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate \(a_n\) to the given term and solve for n.
समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a_1=11\) और \(d=-4\) रखने पर \(a_n=11-4(n-1)\) मिलता है। विकल्प D में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा में पहले \(a_1\) जाँचें। / For an AP, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Substituting \(a_1=11\) and \(d=-4\) gives \(a_n=11-4(n-1)\). In option D, the first term is 7, not 11. Exam tip: always verify the first term first.
\(a_9=a_1+8d\) से \(a_1=5\), इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_9=a_1+8d\), \(a_1=5\), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). Finding the first term from a middle term is useful.
(7d=63) से (d=9) और \(a_1=2\), इसलिए \(a_n=9n-7\)। दो दिए पदों से पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (7d=63), (d=9) and \(a_1=2\), so \(a_n=9n-7\). From two given terms, find the common difference first.
\(a_n=12n-7\) में (n) का गुणांक (12) है, इसलिए सामान्य अंतर (12) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=12n-7\), the coefficient of (n) is (12), so the common difference is (12). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिया है कि \(a_n=11n-17\)। 159वाँ मान पाने के लिए \(11n-17=159\) लिखते हैं। अतः \(11n=176\), इसलिए \(n=16\)। इसलिए 159, श्रेणी का 16वाँ पद है। 15वें पद के लिए मान \(148\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के स्थान पर दिया गया मान रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=11n-17\), set the term equal to 159: \(11n-17=159\). Thus, \(11n=176\), so \(n=16\). Therefore, 159 is the 16th term of the sequence. The 15th term is \(148\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, substitute the given term value for \(a_n\) and solve for \(n\).
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
\(a_n=5n+12\) में (n) का गुणांक (5) है, इसलिए सामान्य अंतर (5) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=5n+12\), the coefficient of (n) is (5), so the common difference is (5). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=45) से (d=5), इसलिए \(a_{20}=59+8\cdot5=99\)। दूर के पद को निकट दिए पद से निकालना आसान होता है। / From (9d=45), (d=5), so \(a_{20}=59+8\cdot5=99\). It is easier to find a far term from a nearby given term.
दिया है कि \(a_n=9n-13\) और पद का मान \(122\) है। अतः \(9n-13=122\), इसलिए \(9n=135\) और \(n=15\)। इसलिए \(122\), श्रेणी का 15वाँ पद है। निकटतम विकल्प 14वाँ पद गलत है, क्योंकि \(a_{14}=9(14)-13=113\) होता है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखें। / Given \(a_n=9n-13\) and the term value is \(122\), set \(9n-13=122\). Thus, \(9n=135\), so \(n=15\). Hence, \(122\) is the 15th term of the sequence. The close distractor, the 14th term, is incorrect because \(a_{14}=9(14)-13=113\). Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that term’s value.
\(a_8=a_1+7d\) से \(a_1=6\), इसलिए (a_n=6+(n-1)5=5n+1)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_8=a_1+7d\), \(a_1=6\), so (a_n=6+(n-1)5=5n+1). Finding the first term from a middle term is useful.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=4\), इसलिए \(a_n=6n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=4\), so \(a_n=6n-2\). When two terms are given, find the common difference first.
\(a_6=a_1+5d\) से \(a_1=11\), अतः (a_n=11+(n-1)4=4n+7)। किसी मध्य पद से पहला पद निकालें। / From \(a_6=a_1+5d\), \(a_1=11\), hence (a_n=11+(n-1)4=4n+7). Use a middle term to find the first term.
पहला पद ज्ञात करने के लिए n=1 रखते हैं। अतः a_1=2(1)+9=11, इसलिए सही उत्तर 11 है। 9 केवल स्थिर पद है; यह पहला पद नहीं है, क्योंकि n=1 पर 2n का योगदान भी जुड़ता है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के सूत्र में पहला पद पाने के लिए n=1 रखें। / To find the first term, put n=1. Thus, a_1=2(1)+9=11, so 11 is correct. The number 9 is only the constant term, not the first term, because the contribution of 2n must also be included when n=1. Exam tip: substitute n=1 in any nth-term formula to obtain the first term.
दिया है कि श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=6n-1\) है। अतः \(n=15\) रखने पर \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 89 है। 91 लेने पर घटाव वाले \(-1\) पद की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में पहले दिए गए सूत्र में \(n\) के स्थान पर अपेक्षित पद संख्या रखें। / The nth term is \(a_n=6n-1\). Substituting \(n=15\), we get \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\). Therefore, 89 is correct. The value 91 would result from ignoring the \(-1\) in the formula. Exam tip: for an nth-term question, substitute the required term number for \(n\) in the given formula.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। दिए गए पदों का अंतर \(a_9-a_4=43-18=25\) है और उनके स्थानों का अंतर \(9-4=5\) है, इसलिए \(d=25/5=5\)। अब \(a_4=a_1+3d\) से \(18=a_1+15\), अतः \(a_1=3\)। इसलिए \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\)। विकल्प \(5n+2\) में \(n=4\) रखने पर 22 मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके सूचकांकों के अंतर से \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic sequence, \(a_n=a_1+(n-1)d\). The difference between the given terms is \(a_9-a_4=43-18=25\), while the difference between their positions is \(9-4=5\). Hence, \(d=25/5=5\). Using \(a_4=a_1+3d\), we get \(18=a_1+15\), so \(a_1=3\). Therefore, \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\). Option \(5n+2\) gives 22 when \(n=4\), so it is incorrect. Exam tip: when two terms are given, first find \(d\) by dividing the difference of the terms by the difference of their indices.
अंतर (4) है इसलिए (a_n=7+(n-1)4=4n+3)। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग लिखें। / The difference is (4), so (a_n=7+(n-1)4=4n+3). In exams, write the first term and common difference first.
\(a_n=5n-2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) रहता है। अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), the consecutive difference is \(a_{n+1}-a_n=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: identify AP terms in the form \(pn+q\).
\(a_n=5-3n\) में \(n\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए प्रत्येक अगले पद में 3 की कमी होती है और सार्वांतर \(-3\) है। विकल्प B में सार्वांतर \(+3\) होगा। परीक्षा टिप: \(a_n=pn+q\) में सार्वांतर \(p\) होता है। / In \(a_n=5-3n\), the coefficient of \(n\) is \(-3\), so every next term decreases by 3 and the common difference is \(-3\). Option B has common difference \(+3\). Exam tip: for \(a_n=pn+q\), the common difference is \(p\).
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=4\), \(d=3\), इसलिए \(a_n=4+3(n-1)\)। जाँच हेतु \(n=1\) रखने पर पहला पद 4 मिलता है। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=4\) and \(d=3\), so \(a_n=4+3(n-1)\). Putting \(n=1\) gives 4; this is a quick exam check for the first term.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=7+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 10 आता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\) and \(d=3\) gives \(a_n=7+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 10, not the first term 7. Exam tip: always test a formula using \(n=1\).
समान्तर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। यहाँ \(a=4\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=4+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) पर पहला पद 7 बनता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / The formula for an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=4\) and \(d=3\) gives \(a_n=4+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 7, not the first term 4. Exam tip: test a formula with \(n=1\).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(d=4\), इसलिए \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\)। विकल्प C में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा टिप: \(n=1\) रखकर प्रथम पद जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). With \(a=3\) and \(d=4\), \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\). Option C gives first term 7, not 3. Exam tip: put \(n=1\) to check the first term.
\(n^2+1\) के लिए क्रमागत पदों का अंतर \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\) है, जो n के साथ बदलता है। AP में अंतर स्थिर होता है। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप हमेशा AP देता है। / For \(n^2+1\), the difference of consecutive terms is \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\), which changes with n. An AP needs a constant difference. Exam tip: any form \(pn+q\) represents an AP.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=3\) हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में प्रथम पद 10 बनता है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानें। / The nth term of an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=7\) and \(d=3\), so option A is correct. In option B, the first term becomes 10. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) before choosing the formula.
समान्तर श्रेणी में हर अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या \(d\) जोड़ने पर मिलता है। अतः \(a_n=a_{n-1}+d\), इसलिए \(d=a_n-a_{n-1}\)। योग या अनुपात सार्वांतर नहीं बताते। परीक्षा टिप: लगातार पदों का अंतर लें। / In an AP, each term is obtained by adding the fixed common difference \(d\) to the previous term. Thus, \(a_n=a_{n-1}+d\), so \(d=a_n-a_{n-1}\). A sum or ratio does not give the common difference. Exam tip: subtract consecutive terms.
अंकगणितीय अनुक्रम में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=4\) रखने पर विकल्प A मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) पर पद 11 आता है, 7 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\) and \(d=4\) gives option A. In option B, putting \(n=1\) gives 11 rather than the first term 7. Exam tip: always test the rule at \(n=1\).
\(a_n=4n+1\) रैखिक रूप \(pn+q\) में है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर स्थिर \(4\) रहता है; अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: AP के लिए \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर जाँचें। / \(a_n=4n+1\) has the linear form \(pn+q\), so consecutive terms differ by the constant \(4\); hence it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check whether \(a_{n+1}-a_n\) is constant.
\(a_n=3n+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), जो स्थिर है। इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(pn+q\) AP देता है। / For \(a_n=3n+1\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), a constant. Hence it is an AP. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: a linear form \(pn+q\) represents an AP.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=20\) और \(d=-3\) हैं, इसलिए \(a_n=20-3(n-1)\)। \(20-3n\) देने पर पहला पद 17 होगा। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=20\) and \(d=-3\), so \(a_n=20-3(n-1)\). Formula \(20-3n\) gives 17 as the first term. Exam tip: substitute \(n=1\) to check a proposed nth-term formula.
\(a_n=3n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\) है, जो हर \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=3n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), which is constant for every \(n\). Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: compare consecutive terms’ difference.
यहाँ पहला पद \(a=18\) और समान अंतर \(d=-4\) है। सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) लगाने पर \(a_n=18-4(n-1)\) मिलता है। \(18-4n\) रखने पर पहला पद 14 आ जाता है। परीक्षा में \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / Here \(a=18\) and \(d=-4\). Using \(a_n=a+(n-1)d\) gives \(18-4(n-1)\). The expression \(18-4n\) gives 14 when \(n=1\), not the first term 18. Exam tip: always test a proposed nth-term rule with \(n=1\).
\(a_3=a_1+12\) और \(a_{11}=a_1+60\), इसलिए \(2a_1+72=92\) और \(a_1=10\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_3=a_1+12\) and \(a_{11}=a_1+60\), so \(2a_1+72=92\) and \(a_1=10\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
यहाँ (a=19) और (d=6), इसलिए (a_{24}=19+23(6)=157)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=19) and (d=6), so (a_{24}=19+23(6)=157). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{15}=64+4(7)=92)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{15}=64+4(7)=92). First find (d), then move forward.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 16 और सार्वांतर 7 है। अतः \(a_{12}=16+11\times7=93\) तथा \(a_4=16+3\times7=37\)। इसलिए \(a_{12}+a_4=93+37=130\), अर्थात विकल्प C सही है। 123 प्राप्त करना पदों की संख्या या सार्वांतर गिनने में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लें। / The first term of this AP is 16 and the common difference is 7. Thus, \(a_{12}=16+11\times7=93\) and \(a_4=16+3\times7=37\). Therefore, \(a_{12}+a_4=93+37=130\), so option C is correct. A value such as 123 can result from counting the number of common differences incorrectly. Exam tip: always use \(n-1\) in \(a_n=a+(n-1)d\).
\(a_7=a_1+6d\), इसलिए \(50=a_1+54\) और \(a_1=-4\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_7=a_1+6d\), so \(50=a_1+54\) and \(a_1=-4\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_7\), \(a_4\) और \(a_{10}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_7=\frac{96}{2}=48\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_7\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{10}\), so \(a_7=\frac{96}{2}=48\). The average of symmetric terms is the middle term.
पहला और बारहवाँ पद (7) और (84) हैं, इसलिए योग (\frac{12(7+84)}{2}=546)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and twelfth terms are (7) and (84), so the sum is (\frac{12(7+84)}{2}=546). Use the first and last terms for the sum.
सामान्य पद \(a_n=6n+3\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (87) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+3\), and the greatest term below (90) is (87). In boundary questions, check nearby terms.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(10,17,24,31,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(10,17,24,31,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
(a_n=18+(n-1)7=7n+11), इसलिए (7n+11=102) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=18+(n-1)7=7n+11), so (7n+11=102) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद, पहले और तीसरे पद का औसत होता है। अतः \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\)। इससे \(12x+2=13x-5\), इसलिए \(x=7\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए \(x=6\) रखने पर दोनों क्रमागत अंतर बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: तीन लगातार AP पदों के लिए सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, the middle term is the average of the first and third terms. Hence, \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\). This gives \(12x+2=13x-5\), so \(x=7\). Therefore, option C is correct. For example, if \(x=6\), the two consecutive differences are not equal. Exam tip: for three consecutive AP terms, directly use \(2b=a+c\).
