From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method. चरण 1: आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। चरण 2: (5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है।
If (k=0), the function becomes the constant (3), so it cannot give all real values.
Step 2
Why this answer is correct
If \(k\ne0\), for any (y), \(x=\frac{y-3}{k}\) exists.
Step 3
Exam Tip
A linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto exactly when its slope is non-zero. चरण 1: यदि (k=0), तो फलन स्थिर (3) बन जाएगा और सभी वास्तविक मान नहीं देगा। चरण 2: यदि \(k\ne0\), तो किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-3}{k}\) मिल जाता है। चरण 3: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में रैखिक फलन आच्छादी तभी होता है जब ढाल शून्य न हो।
Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function, complete the square to find the range quickly. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) है। चरण 2: इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें।
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2+3), so the range is \([3,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
For onto nature, every codomain value must be obtained, not just some values. चरण 1: (f(x)=(x-2)2+3), इसलिए परास \([3,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। चरण 3: आच्छादीपन में सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए, केवल कुछ मान नहीं।
For every \(y\le5\), take \(x=-2+\sqrt{5-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A downward-opening quadratic can be onto a suitable codomain. चरण 1: ((x+2)2\ge0), इसलिए (5-(x+2)2\le5)। चरण 2: हर \(y\le5\) के लिए \(x=-2+\sqrt{5-y}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: नीचे की ओर खुला द्विघात सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
For every \(y\ge-4\), set (3x-6=y+4), giving \(x=\frac{y+10}{3}\).
Step 3
Exam Tip
The range of a modulus of a linear expression starts from its minimum value. चरण 1: \(|3x-6|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-4)। चरण 2: हर \(y\ge-4\) के लिए (3x-6=y+4) रख सकते हैं, जिससे \(x=\frac{y+10}{3}\) मिलता है। चरण 3: मापांक वाले रैखिक रूप का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है।
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है/For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। चरण 2: इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। चरण 3: लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है।
Adding (4) gives range (\(4,\infty\)), which equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
In exponential functions, the open endpoint is never included. चरण 1: \(e^{2x}\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: (4) जोड़ने से परास (\(4,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: घातीय फलन में खुला सिरा कभी शामिल नहीं होता।
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता/Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
In onto questions, always check open and closed endpoints. चरण 1: \(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। चरण 3: आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें।
From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। चरण 2: \(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। चरण 3: व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं।
Then (2x+3=xy-y), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
Since (y=2) is not in the codomain, this preimage is valid. चरण 1: \(\frac{2x+3}{x-1}=y\) रखें। चरण 2: (2x+3=xy-y), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। चरण 3: चूंकि सहप्रांत में (y=2) नहीं है, यह पूर्वप्रतिबिंब मान्य रहता है।
For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt[4]{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a suitable non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात वाला फलन सही अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^4+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
For a real codomain, always check values below the minimum range. चरण 1: \(x^4+1\) का न्यूनतम मान (1) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। चरण 3: वास्तविक सहप्रांत के लिए न्यूनतम सीमा से नीचे के मानों को जरूर देखें।
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Such a continuous cubic polynomial takes all real values. चरण 1: \(x^3-3x\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: ऐसा सतत घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है।
A. क्योंकि इसका परास नीचे से सीमित है/Because its range is bounded below
Step 1
Concept
On the given domain, the minimum value occurs at (x=1) and is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, a real codomain value like (-3) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change the onto nature of the same formula. चरण 1: दिए गए प्रांत पर फलन का न्यूनतम मान (x=1) पर (-2) है। चरण 2: इसलिए (-3) जैसा वास्तविक सहप्रांत मान नहीं मिल सकता। चरण 3: प्रांत बदलने से उसी सूत्र का आच्छादीपन बदल सकता है।
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है/It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval. चरण 1: \(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। चरण 2: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
In onto questions, immediately check the effect of domain restriction. चरण 1: \([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: आच्छादीपन में प्रांत सीमित करने का प्रभाव तुरंत जांचें।
On this standard interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
Remember the onto interval of \(\tan x\). चरण 1: इस मानक अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। चरण 3: \(\tan x\) का आच्छादी अंतराल याद रखें।
The range of \(2\cos x\) becomes ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Multiplication scales the trigonometric range accordingly. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: \(2\cos x\) का परास ([-2,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: गुणा करने से त्रिकोणमितीय परास उसी अनुपात में फैलता है।
For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। चरण 2: दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (d) has no preimage
Step 1
Concept
The listed images include (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (d) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: दिए गए प्रतिबिंबों में (a,b,c) आते हैं। चरण 2: सहप्रांत का (d) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए, तो फलन आच्छादी नहीं है।
There are (2) non-onto functions, where all elements go to only one element of (B).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of onto functions is (16-2=14). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले (2) फलन हैं, जिनमें सभी अवयव (B) के एक ही अवयव पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), an onto function is also bijective. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। चरण 2: यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। चरण 3: (|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है।
In an onto function, every codomain element needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
Only (2) domain elements cannot cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is immediately (0). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: केवल (2) प्रांत अवयव (5) सहप्रांत अवयवों को नहीं ढक सकते। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या तुरंत (0) होती है।
This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required. चरण 1: यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। चरण 3: खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
If \(x=y^2+1\), then \(x\ge1\) and \(\sqrt{x-1}=y\).
Step 3
Exam Tip
For a square-root function, square the target value to find a preimage. चरण 1: सहप्रांत का कोई \(y\ge0\) लें। चरण 2: \(x=y^2+1\) रखने पर \(x\ge1\) और \(\sqrt{x-1}=y\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए लक्ष्य मान का वर्ग करें।
For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\). चरण 1: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। चरण 3: घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है।
A. क्योंकि (1) से छोटे मान नहीं मिलते/Because values less than (2) are not obtained
Step 1
Concept
Since \(x\ge0\), \(x+8\ge8\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(\sqrt[3]{x+8}\ge2\), so a real value like (1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
Even a cube-root function may have a restricted range if the domain is restricted. चरण 1: \(x\ge0\) होने पर \(x+8\ge8\)। चरण 2: इसलिए \(\sqrt[3]{x+8}\ge2\), और (1) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलेगा। चरण 3: घनमूल होने पर भी सीमित प्रांत पर परास सीमित हो सकता है।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
A floor function can be onto an integer codomain. चरण 1: \(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। चरण 3: नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
An integer-valued function does not cover the full real codomain. चरण 1: \(\lfloor x-3\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत को नहीं ढकता।
For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
The linear expression inside the ceiling can produce all required integers. चरण 1: \(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। चरण 2: किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। चरण 3: छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है।
Both codomain values are obtained, so the function is onto. चरण 1: (x=1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। चरण 2: (x=2) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत के दोनों मान प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
A missed codomain value destroys onto nature. चरण 1: फलन केवल (0) और (1) मान देता है। चरण 2: सहप्रांत में (2) है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। चरण 3: सहप्रांत में छूटा हुआ मान आच्छादीपन को समाप्त कर देता है।
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers. चरण 1: \(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता।
The range of (|x+5|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus expression. चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) है। चरण 2: (|x+5|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: \(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A function with a non-negative range is not onto the whole \(\mathbb{R}\). चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) हमेशा अऋणात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो फलन से नहीं मिलते। चरण 3: अऋणात्मक परास वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं मानें।
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x+1\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
By the intermediate value idea, it obtains every real value. चरण 1: \(x^3+x+1\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: मध्य मान विचार से यह हर वास्तविक मान प्राप्त करता है।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[6]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function is onto its correctly shifted codomain. चरण 1: \(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[6]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अपने सही खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^6+2\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but no real (x) can give it.
Step 3
Exam Tip
For even-power polynomials, codomain values below the minimum are missed. चरण 1: \(x^6+2\) का न्यूनतम मान (2) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) इसे नहीं दे सकता। चरण 3: सम घात बहुपदों में न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूट जाते हैं।
For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)). चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। चरण 3: मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं।
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है/Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain. चरण 1: (x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। चरण 2: लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। चरण 3: आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं।
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2-1}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
This value is always less than (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, checking endpoint values is very important. चरण 1: \(\frac{x^2-1}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\) है। चरण 2: यह मान (1) से हमेशा छोटा रहता है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में सीमा के सिरों की जांच बहुत जरूरी है।
As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
Approaching a boundary and attaining it are different ideas. चरण 1: (x=0) पर मान (-1) मिलता है। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। चरण 3: सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं।
Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto. चरण 1: (C) का कोई भी अवयव (c) लें। चरण 2: (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। चरण 3: इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है।
Since \(g\circ f\) is onto, there is some \(a\in A\) such that (g(f(a))=c). Here \(f(a)\in B\), so (c) has a preimage under (g).
Step 3
Exam Tip
Hence (g) must be onto. चरण 1: (C) का कोई भी (c) लें। चरण 2: \(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। यहां \(f(a)\in B\), इसलिए (c) का पूर्वप्रतिबिंब (g) के अंतर्गत मौजूद है। चरण 3: इसलिए (g) आच्छादी होना जरूरी है।
The range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
For any (y) in this interval, take \(x=\tan y\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Remember the standard ranges of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का परास (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) होता है। चरण 2: किसी भी (y) को इस अंतराल में लें, तो \(x=\tan y\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक परास याद रखें।
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते/Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। चरण 2: सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। चरण 3: खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है।
Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
Complete the square to find a preimage in quadratic forms. चरण 1: \(x^2+2x=y\) को ((x+1)2=y+1) लिखें। चरण 2: \(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। चरण 3: द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
When the domain is restricted, the range can also be restricted. चरण 1: \(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। चरण 3: प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है।
