For onto, every element of the codomain must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y). The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
In exams, solve (y=f(x)) for (x). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य का प्रतिबिंब होना चाहिए। चरण 2: \(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। साथ ही \(x^3+1\) बढ़ता हुआ है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले (y=f(x)) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें।
Both elements (a) and (b) of the codomain appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the function is onto. But (2) and (3) have the same image (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, check whether every codomain element appears in the image list. चरण 1: सहप्रांत (B) के दोनों सदस्य (a) और (b) प्रतिबिंब के रूप में मिल रहे हैं। चरण 2: इसलिए फलन आच्छादी है। पर (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (b) है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर सदस्य को सूची में खोजें।
Then (n=y-5), which is also an integer. So every (y) has a preimage and the function is onto. Different (n) values also give different images.
Step 3
Exam Tip
Addition or subtraction functions on integers are often onto. चरण 1: किसी भी पूर्णांक (y) के लिए (y=n+5) रखें। चरण 2: इससे (n=y-5), जो फिर से पूर्णांक है। इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है और फलन आच्छादी है। साथ ही अलग (n) अलग (n+5) देते हैं। चरण 3: पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाले फलन अक्सर आच्छादी होते हैं।
A. क्योंकि (1) किसी भी (n) का प्रतिबिंब नहीं है/Because (1) is not the image of any (n)
Step 1
Concept
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain element (1) is not obtained from any (n). Hence the range is not equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
For natural numbers, check the smallest possible value carefully. चरण 1: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) है, तो (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। चरण 2: सहप्रांत का सदस्य (1) किसी भी (n) से नहीं मिलता। इसलिए परास सहप्रांत के बराबर नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में सबसे छोटे मान पर विशेष ध्यान दें।
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक है/Yes, because for every real (y), \(x=\frac{y+7}{2}\) is real
Step 1
Concept
To check onto, write (y=2x-7).
Step 2
Why this answer is correct
We get \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real for every real (y). Thus every codomain element is obtained.
Step 3
Exam Tip
A linear function with non-zero slope is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: आच्छादी जाँचने के लिए (y=2x-7) लिखें। चरण 2: \(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। इसलिए सहप्रांत का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। चरण 3: रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
In a constant function, every (x) has the image (5).
Step 2
Why this answer is correct
The range is ({5}), while the codomain is \(\mathbb{R}\). Other codomain elements such as (0) and (2) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A constant function is usually not onto over a large codomain. चरण 1: स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब केवल (5) होता है। चरण 2: परास ({5}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। सहप्रांत के बाकी सदस्य जैसे (0) और (2) नहीं मिलते। चरण 3: स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः आच्छादी नहीं होता।
This equals the given codomain, so the function is onto. But (|2|=|-2|), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, compare positive and negative input pairs. चरण 1: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (|2|=|-2|), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: मापांक फलन में धनात्मक और ऋणात्मक मानों की जोड़ी देखना उपयोगी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto. चरण 1: (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है।
For any \(y\in[0,\infty\)), \(x=\sqrt{y}\) is in the domain, so the function is onto. Different (x) values give different squares, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change the nature of a function. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है। चरण 2: किसी भी \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=\sqrt{y}\) उसी प्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(x^2\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: प्रांत बदलने से फलन की प्रकृति बदल सकती है।
A. हाँ, क्योंकि परास \([-1,\infty\)) है/Yes, because the range is \([-1,\infty\))
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge -1\), we can take \(x=\sqrt{y+1}\). Hence every codomain element has a preimage.
Step 3
Exam Tip
For quadratics, find the minimum value to get the range quickly. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। चरण 2: किसी भी \(y\ge -1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लिया जा सकता है। अतः हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: न्यूनतम मान देखकर द्विघात फलन का परास जल्दी मिल जाता है।
\(e^x\) is always positive and its range is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
For every (y>0) in the codomain, \(x=\ln y\) is real. So the function is onto and also one-one because it is increasing.
Step 3
Exam Tip
Remember the range of exponential functions. चरण 1: \(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है और इसका परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: दिए गए सहप्रांत के हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है और बढ़ता हुआ होने से एकैकी भी है। चरण 3: घातीय फलन का परास याद रखें।
A. क्योंकि \(e^x\) कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता/Because \(e^x\) is never (0) or negative
Step 1
Concept
\(e^x>0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, which are not obtained from \(e^x\). Hence the range is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain carefully is most important in onto questions. चरण 1: \(e^x>0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो \(e^x\) से प्राप्त नहीं होतीं। इसलिए परास सहप्रांत से छोटा है। चरण 3: सहप्रांत को ध्यान से पढ़ना आच्छादी प्रश्नों में सबसे जरूरी है।
For any real (y), \(x=e^y>0\), which lies in the domain. So the function is onto. Since \(\ln x\) is increasing, it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
Remember the domain-range link between \(\ln x\) and \(e^x\). चरण 1: \(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, जो प्रांत में है। इसलिए फलन आच्छादी है। \(\ln x\) बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: \(\ln x\) और \(e^x\) के परास-प्रांत संबंध को याद रखें।
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto. But \(\sin 0=\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Periodicity often breaks one-one nature in trigonometric functions. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर \(\sin 0=\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तता के कारण एकैकीपन अक्सर टूटता है।
A. हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है/Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
Step 1
Concept
The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is the same, so every codomain element is the image of some (x). Hence the function is onto.
Step 3
Exam Tip
For onto, the range must equal the codomain. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी यही दिया गया है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य किसी न किसी (x) का प्रतिबिंब है। अतः फलन आच्छादी है। चरण 3: आच्छादी होने के लिए परास और सहप्रांत बराबर होने चाहिए।
On this interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) approaches \(-\frac{\pi}{2}\), the value becomes very small, and near \(\frac{\pi}{2}\), it becomes very large. Hence the range is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Choosing a suitable interval can make a trigonometric function onto and one-one. चरण 1: इस अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: (x) जब \(-\frac{\pi}{2}\) के पास जाता है तो मान बहुत छोटा होता है और \(\frac{\pi}{2}\) के पास बहुत बड़ा होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: उचित अंतराल चुनने से त्रिकोणमितीय फलन आच्छादी और एकैकी बन सकता है।
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। चरण 3: विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं।
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^4\ge 0\), so \(x^4+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), but (0) and negative numbers are not images. Therefore it is not onto.
Step 3
Exam Tip
For even-degree polynomials, check the minimum value. चरण 1: \(x^4\ge 0\), इसलिए \(x^4+1\ge 1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, लेकिन (0) और ऋणात्मक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए यह आच्छादी नहीं है। चरण 3: सम घात वाले बहुपद में न्यूनतम मान पर ध्यान दें।
All three elements (p,q,r) of (B) appear at least once as images.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the function is onto. But (2) and (3) both map to (q), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite functions, mark all elements of the codomain while checking onto. चरण 1: (B) के तीनों सदस्य (p,q,r) कम से कम एक बार प्रतिबिंब के रूप में आते हैं। चरण 2: इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (2) और (3) दोनों (q) पर जाते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सीमित फलन में आच्छादी जाँचने के लिए सहप्रांत के सभी सदस्यों को चिह्नित करें।
A. क्योंकि प्रांत में सदस्यों की संख्या सहप्रांत से कम है/Because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every codomain element must be covered by some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements and the codomain has (4) elements. Three elements cannot cover four distinct codomain elements.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, onto requires \(|A|\ge |B|\). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य से जुड़ना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रांत में (3) सदस्य और सहप्रांत में (4) सदस्य हैं। तीन सदस्य चार अलग-अलग सहप्रांत सदस्यों को ढक नहीं सकते। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge |B|\) जरूरी है।
A. आच्छादी फलन संभव है/An onto function is possible
Step 1
Concept
For an onto function \(A\to B\) between finite sets, (A) must have at least as many elements as (B).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge 3\), so an onto function can be made. But not every function must be onto.
Step 3
Exam Tip
Distinguish between existence and all-function property. चरण 1: सीमित समुच्चयों में \(A\to B\) आच्छादी होने के लिए (A) में कम से कम (B) जितने सदस्य होने चाहिए। चरण 2: यहाँ \(5\ge 3\), इसलिए आच्छादी फलन बनाया जा सकता है। लेकिन हर फलन आच्छादी हो, यह जरूरी नहीं। चरण 3: अस्तित्व और सभी फलन के गुण में अंतर रखें।
A function is not onto if all elements map only to (a) or only to (b), giving (2) such functions. Hence onto functions are (16-2=14).
Step 3
Exam Tip
For a two-element codomain, subtract the two constant functions from the total. चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। चरण 2: आच्छादी न होने पर सभी सदस्य केवल (a) पर या केवल (b) पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) हैं। चरण 3: दो सदस्यीय सहप्रांत के लिए कुल फलनों में से दोनों स्थिर फलन घटाएँ।
Only two functions are not onto: all elements map to (a), or all map to (b). Hence onto functions are (8-2=6).
Step 3
Exam Tip
In small finite sets, first count total functions. चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले फलन केवल दो हैं, जिनमें सभी सदस्य (a) पर या सभी (b) पर जाते हैं। इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं। चरण 3: छोटे समुच्चय में गिनती करते समय पहले कुल फलन निकालें।
However large (x) is, \(\frac{x}{1+|x|}\) remains less than (1). In the negative direction, it remains greater than (-1).
Step 2
Why this answer is correct
So the range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
In rational-type functions, limiting values often stay outside the range. चरण 1: (x) कितना भी बड़ा हो, \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (1) से कम रहता है। ऋणात्मक दिशा में यह (-1) से बड़ा रहता है। चरण 2: इसलिए परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: भिन्नात्मक फलन में सीमा जैसे मान अक्सर परास से बाहर रह जाते हैं।
Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\). This is defined when \(y\ne 1\), which is exactly the codomain condition. So every \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, solve for (x) in terms of (y). चरण 1: \(y=\frac{x+1}{x-1}\) रखें। चरण 2: हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। यह तब परिभाषित है जब \(y\ne 1\), और यही सहप्रांत है। इसलिए हर \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे साफ तरीका है।
For any \(y\ne 0\), from \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\).
Step 2
Why this answer is correct
This (x) is also non-zero, so it lies in the domain. Hence the function is onto. Different (x) values give different reciprocals, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, removing zero from domain and codomain is essential. चरण 1: किसी भी \(y\ne 0\) के लिए \(y=\frac{1}{x}\) से \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। चरण 2: यह (x) भी शून्य नहीं है, इसलिए प्रांत में है। अतः फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(\frac{1}{x}\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: व्युत्क्रम फलन में शून्य को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है।
Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) and is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\). So many real numbers such as (2) and (-1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Always identify the exact range. चरण 1: \(1+x^2\ge 1\), इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) और हमेशा धनात्मक है। चरण 2: इसका परास ((0,1]) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ जैसे (2) और (-1) नहीं मिलतीं। चरण 3: हर बार परास को ठीक-ठीक पहचानें।
The codomain is also ((0,1]), so the function is onto. But (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For even functions, compare values at (x) and (-x). चरण 1: इस फलन का परास ((0,1]) है। चरण 2: सहप्रांत भी ((0,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: सम फलन में (x) और (-x) के मान मिलाकर एकैकीपन जाँचें।
From \(y=3x^3-2\), we get \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\).
Step 2
Why this answer is correct
This is real for every real (y), so the function is onto. The cubic function is increasing, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
Cube roots are defined for every real number. चरण 1: \(y=3x^3-2\) से \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\) मिलता है। चरण 2: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादी है। घन फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है।
A. हाँ, हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y+1) है/Yes, for every \(y\ge 0\), (x=y+1)
Step 1
Concept
Put (y=x-1), so (x=y+1).
Step 2
Why this answer is correct
If \(y\ge 0\), then \(x\ge 1\), so (x) lies in the domain. Hence every codomain element is an image.
Step 3
Exam Tip
For interval-based functions, always check whether the obtained (x) lies in the domain. चरण 1: (y=x-1) रखने पर (x=y+1) मिलता है। चरण 2: यदि \(y\ge 0\), तो \(x\ge 1\), इसलिए (x) प्रांत में है। अतः सहप्रांत का हर सदस्य प्रतिबिंब बनता है। चरण 3: अंतराल आधारित फलन में निकला हुआ (x) प्रांत में है या नहीं, यह जरूर जाँचें।
This equals the codomain, so the function is onto. On ([0,2]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
On a closed interval, endpoints often help find the range quickly. चरण 1: ([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। चरण 2: यह सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। ([0,2]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 3: बंद अंतराल पर अंतिम बिंदुओं से परास जल्दी मिलता है।
A. क्योंकि (5) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
On ([0,2]), the maximum value of \(x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is ([0,5]), but elements like (5) are not obtained. Thus the range ([0,4]) is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
Identify the extra part of the codomain in onto questions. चरण 1: ([0,2]) पर \(x^2\) का अधिकतम मान (4) है। चरण 2: सहप्रांत ([0,5]) है, लेकिन (5) जैसे सदस्य प्राप्त नहीं होते। इसलिए परास ([0,4]) सहप्रांत से छोटा है। चरण 3: सहप्रांत के अतिरिक्त हिस्से को पहचानना आच्छादी प्रश्नों में मदद करता है।
The range is \([3,\infty\)), equal to the codomain. Hence the function is onto. But (x=1) and (x=3) give the same value, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
The vertex of a quadratic tells the range. चरण 1: ((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 2: परास \([3,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (x=1) और (x=3) पर मान समान है, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: द्विघात फलन का शीर्ष परास बताता है।
A. हाँ, इसका परास (\(-\infty,4]\) है/Yes, its range is (\(-\infty,4]\)
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), \(4-x^2\le 4\).
Step 2
Why this answer is correct
For large (x), values become very negative, so the range is (\(-\infty,4]\). This equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
For a downward-opening quadratic, check the maximum value. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(4-x^2\le 4\)। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान बहुत छोटे ऋणात्मक हो सकते हैं, इसलिए परास (\(-\infty,4]\) है। यह सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: नीचे खुलने वाले द्विघात में अधिकतम मान देखें।
For every \(y\ge 1\), the equation (|x-4|=y-1) has a solution, so the function is onto. But (x=3) and (x=5) give the same value.
Step 3
Exam Tip
A modulus function can be onto but often not one-one. चरण 1: \(|x-4|\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 1)। चरण 2: हर \(y\ge 1\) के लिए (|x-4|=y-1) का हल मिल जाता है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (x=3) और (x=5) पर मान समान है। चरण 3: मापांक फलन अक्सर आच्छादी हो सकता है, पर एकैकी नहीं।
The function becomes (f(x)=x-3), whose range is \([1,\infty\)). This equals the codomain and is increasing.
Step 3
Exam Tip
Before removing modulus, check the domain condition. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge 4\), इसलिए (|x-4|=x-4)। चरण 2: फलन (f(x)=x-3) बन जाता है, जिसका परास \([1,\infty\)) है। यह सहप्रांत के बराबर है और बढ़ता हुआ भी है। चरण 3: मापांक हटाने से पहले प्रांत की शर्त देखें।
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2-4x+5=(x-2)2+1).
Step 2
Why this answer is correct
So the minimum value is (1) and the range is \([1,\infty\)). The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Completing the square is very useful for finding range. चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1)। चरण 2: इसलिए न्यूनतम मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: वर्ग पूर्ण करने की विधि परास निकालने में बहुत उपयोगी है।
\(x^3+3x\) is increasing everywhere, because as (x) increases, the value increases.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence every real (y) is obtained and the function is onto.
Step 3
Exam Tip
An increasing cubic is often both onto and one-one. चरण 1: \(x^3+3x\) हर जगह बढ़ता हुआ है, क्योंकि (x) बढ़ने पर मान भी बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) मिलता है और फलन आच्छादी है। चरण 3: बढ़ता हुआ घन फलन अक्सर आच्छादी और एकैकी दोनों होता है।
Any even integer (y) can be written as (y=2k), where \(k\in\mathbb{Z}\). Then (f(k)=y), so the function is onto. Different (n) values give different (2n).
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can make the same rule onto. चरण 1: सहप्रांत केवल सम पूर्णांक हैं। चरण 2: किसी भी सम पूर्णांक (y) को (y=2k) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)। तब (f(k)=y), इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (n) अलग (2n) देते हैं। चरण 3: सहप्रांत बदलने से वही नियम आच्छादी बना सकता है।
A. सम प्राकृतिक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Even natural numbers are not images
Step 1
Concept
(2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains even natural numbers such as (2,4,6), which are not images. Therefore the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
Identify the type of values produced by the formula. चरण 1: (2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2,4,6) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। चरण 3: सूत्र से मिलने वाले मानों के प्रकार को पहचानें।
The codomain is the set of all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Every odd number can be written as (y=2k-1), so (k) is its preimage. Different (n) values give different odd numbers.
Step 3
Exam Tip
When the codomain exactly equals the range, the function is onto. चरण 1: सहप्रांत सभी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। चरण 2: हर विषम संख्या (y=2k-1) के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए (k) उसका पूर्वप्रतिबिंब है। अलग (n) अलग विषम संख्याएँ देते हैं। चरण 3: जब सहप्रांत ठीक परास के बराबर हो, फलन आच्छादी होता है।
For any (y>1), (x=\ln(y-1)), which is real. Hence the function is onto. It is increasing, so it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
Vertical shifts change the range of exponential functions. चरण 1: \(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। चरण 2: किसी भी (y>1) के लिए (x=\ln(y-1)) मिलता है, जो वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है। यह बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: घातीय फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव से परास बदलता है।
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
Distinguish between a limiting value and an attained value. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। चरण 2: (x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। चरण 3: सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें।
The codomain is also ([0,1)), so the function is onto. But (f(2)=f(-2)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
With the correct codomain, the same function can become onto. चरण 1: इस फलन का परास ([0,1)) है। चरण 2: सहप्रांत भी ([0,1)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (f(2)=f(-2)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: परास सही चुनने पर वही फलन आच्छादी बन सकता है।
A. हाँ, क्योंकि इसका परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because its range is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
This is a continuous polynomial with an odd leading degree.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence it takes every real value in between and is onto.
Step 3
Exam Tip
Use the end behavior of continuous cubic polynomials to judge onto nature. चरण 1: यह विषम घात के प्रमुख पद वाला सतत बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए बीच के हर वास्तविक मान को लेता है और आच्छादी है। चरण 3: सतत घन बहुपद के दूर के व्यवहार से आच्छादीपन समझें।
This equals the given codomain, so the function is onto. But (f(-1)=f(1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For even functions, compare values at (x) and (-x). चरण 1: ([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(-1)=f(1)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: सम फलन में (x) और (-x) के मान जरूर मिलाएँ।
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
While checking onto, observe maximum and minimum values carefully. चरण 1: ([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। चरण 2: इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें।
The value of this function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in(-1,1)\), \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) is real, so every codomain element has a preimage. The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
For fractional square-root functions, first identify the limiting range. चरण 1: इस फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) वास्तविक है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। यह फलन बढ़ता भी है, इसलिए एकैकी है। चरण 3: भिन्न और वर्गमूल वाले फलन में पहले परास की सीमा पहचानें।
A. क्योंकि (-1) और (1) प्रतिबिंब नहीं बनते/Because (-1) and (1) are not images
Step 1
Concept
The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) remains greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
For very large (x), the value approaches (1), but never becomes (1). Similarly, (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
Approaching a limiting value and attaining it are different ideas. चरण 1: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। चरण 2: (x) बहुत बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, पर (1) बनता नहीं। इसी तरह (-1) भी नहीं मिलता। चरण 3: सीमा तक पहुँचना और सीमा मान प्राप्त करना अलग बातें हैं।
When an integer is divided by (3), the remainder is one of (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
All three remainders are obtained, for example (f(3)=0), (f(4)=1), and (f(5)=2). Hence the function is onto. But many integers give the same remainder, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
In remainder-based questions, list all possible remainders. चरण 1: किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) में से ही एक होता है। चरण 2: ये तीनों शेष मिलते हैं, जैसे (f(3)=0), (f(4)=1), (f(5)=2)। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन कई पूर्णांक समान शेष देते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: शेषफल वाले प्रश्नों में सभी संभव शेषों की सूची बनाइए।
