In a one-one function different inputs must give different images.
Step 2
Why this answer is correct
From \(3x_1-5=3x_2-5\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
A linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one. चरण 1: एक-एक फलन में अलग-अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: यदि \(3x_1-5=3x_2-5\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एक-एक होता है।
The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can make the same rule one-one. चरण 1: यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। चरण 2: यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। चरण 3: प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है।
The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Simple increasing odd-power functions are often one-one. चरण 1: घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं।
A. नहीं क्योंकि (f(1)=f(3))/No because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
In an absolute value function inputs equally distant from the center can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq 3\), but (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
One repeated image is enough to reject one-one nature. चरण 1: निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। चरण 2: \(1\neq 3\), लेकिन (f(1)=1) और (f(3)=1) है। चरण 3: समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एक-एक नहीं रहता।
In a one-one function two different elements of (A) cannot map to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\neq 3\), but both have image (a).
Step 3
Exam Tip
In mapping-table questions first look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के दो अलग तत्व (B) के एक ही तत्व पर नहीं जा सकते। चरण 2: यहां \(1\neq 3\), लेकिन दोनों का प्रतिबिंब (a) है। चरण 3: तालिका वाले प्रश्न में पहले दोहराया प्रतिबिंब खोजें।
A. यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1))/It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
Do not decide only by seeing the cubic term.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
Same image for different inputs immediately disproves one-one nature. चरण 1: केवल घन पद देखकर निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। चरण 3: तीन अलग आगतों का समान मान मिलना एक-एक होने को तुरंत गलत कर देता है।
An exponential function with base greater than (1) is one-one. चरण 1: \(2^x\) वास्तविक संख्याओं पर लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि \(2^{x_1}=2^{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) होता है। चरण 3: घातीय फलन में आधार (1) से बड़ा हो तो वह एक-एक होता है।
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\))/Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain. चरण 1: त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। चरण 2: \(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। चरण 3: आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते।
On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain is very important for trigonometric functions. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है।
If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions always check the domain first. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। चरण 2: यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें।
Zero is removed from the domain, so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
From \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Negative and positive parts together do not destroy injectivity here. चरण 1: प्रांत में शून्य को हटाया गया है, इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। चरण 2: \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: ऋणात्मक और धनात्मक दोनों भाग मिलकर भी यहां एक-एकता नहीं बिगाड़ते।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
Do not assume a rational expression is one-one without testing. चरण 1: समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। चरण 2: (f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। चरण 3: भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें।
A. क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है/Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
Step 1
Concept
Both \(x^5\) and (x) increase on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum also increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^5\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हैं। चरण 2: इनका योग भी बढ़ने वाला फलन बनाता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। चरण 3: बढ़ते हुए फलन को एक-एक पहचानने में जल्दी मिलती है।
The greatest integer function maps many real numbers to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
For example (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq 1.8\).
Step 3
Exam Tip
Step-like functions are generally not one-one. चरण 1: महत्तम पूर्णांक फलन कई वास्तविक संख्याओं को एक ही पूर्णांक देता है। चरण 2: जैसे (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq 1.8\)। चरण 3: सीढ़ी जैसे फलन सामान्यतः एक-एक नहीं होते।
A. ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है/Such a one-one function is not possible
Step 1
Concept
A one-one function needs distinct images in (B) for distinct elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (4) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, a one-one function may be impossible. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्व चाहिए। चरण 2: (A) में (4) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। चरण 3: जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एक-एक फलन असंभव हो सकता है।
For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
Use permutations when counting one-one functions. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। चरण 2: संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। चरण 3: एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें।
For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
Between finite sets of equal size a one-one function is also onto. चरण 1: दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। चरण 2: एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। चरण 3: बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है।
Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)), and since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। चरण 2: (g) एक-एक है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)), और (f) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: दो एक-एक फलनों का संयोजन भी एक-एक होता है।
If \(g\circ f\) is one-one, the first function (f) cannot send two different inputs to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
If (f\(x_1\)=f\(x_2\)), then (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
If \(g\circ f\) is one-one, then (f) must be one-one. चरण 1: (\(g\circ f\)) की एक-एकता में पहला फलन (f) दो अलग आगतों को एक ही मान नहीं दे सकता। चरण 2: यदि (f\(x_1\)=f\(x_2\)), तो (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: \(g\circ f\) एक-एक हो तो (f) जरूर एक-एक होता है।
A. (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है/(g) need not be one-one
Step 1
Concept
\(g\circ f\) only uses the behavior of (g) on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) may fail to be one-one on its full domain but still behave distinctly on the range of (f).
Step 3
Exam Tip
In composition questions distinguish the whole domain from the used part. चरण 1: \(g\circ f\) केवल (f) के परास पर (g) के व्यवहार को देखता है। चरण 2: (g) पूरे प्रांत पर एक-एक न हो, फिर भी (f) के परास पर अलग मान दे सकता है। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्नों में पूरे प्रांत और प्रयुक्त भाग में अंतर समझें।
A. प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है/The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
Step 1
Concept
In a one-one function every image has only one original input.
Step 2
Why this answer is correct
So when reversed, each element of (f(A)) gets exactly one element of (A).
Step 3
Exam Tip
Injectivity is the key condition for an inverse to be a function. चरण 1: एक-एक फलन में हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होता है। चरण 2: इसलिए उल्टा करने पर (f(A)) के हर तत्व को (A) का एक ही तत्व मिलेगा। चरण 3: प्रतिलोम फलन के लिए एक-एकता मुख्य शर्त है।
In a linear function (a) controls the change with (x).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\neq0\), then \(ax_1+b=ax_2+b\) gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
If (a=0), the function becomes constant and is not one-one. चरण 1: रैखिक फलन में (a) ही (x) के परिवर्तन को नियंत्रित करता है। चरण 2: यदि \(a\neq0\), तो \(ax_1+b=ax_2+b\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: (a=0) होने पर फलन स्थिर बन जाता है और एक-एक नहीं रहता।
Inputs equally distant from (-1) give the same value.
Step 3
Exam Tip
A parabola is generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: (x-2+2x+3=(x+1)2+2) है, इसलिए रेखाचित्र एक परवलय है। चरण 2: (-1) के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत समान मान देते हैं। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर परवलय सामान्यतः एक-एक नहीं होता।
On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex. चरण 1: (x-2-2x=(x-1)2-1) है। चरण 2: दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। चरण 3: द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है।
On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.
Step 3
Exam Tip
A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one. चरण 1: (x-2-2x=(x-1)2-1) का शिखर (x=1) पर है। चरण 2: \(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। चरण 3: शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है।
This domain contains both positive and negative opposite numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
On a symmetric domain \(x^2\) is not one-one. चरण 1: इस प्रांत में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विपरीत संख्याएं शामिल हैं। चरण 2: (f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\neq -2\)। चरण 3: सममित प्रांत पर \(x^2\) एक-एक नहीं रहता।
A. क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0)/Because (f(x)=0) for every (x<0)
Step 1
Concept
Read the absolute value expression piecewise.
Step 2
Why this answer is correct
If (x<0), then (|x|=-x), so (|x|+x=0).
Step 3
Exam Tip
Many different negative inputs give the same value (0), so the function is not one-one. चरण 1: निरपेक्ष मान को भागों में देखें। चरण 2: यदि (x<0), तो (|x|=-x), इसलिए (|x|+x=0) मिलता है। चरण 3: कई अलग ऋणात्मक आगतों का समान मान (0) होने से फलन एक-एक नहीं है।
Only \(\sin x\) is periodic, but \(x+\sin x\) is not periodic.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value.
Step 3
Exam Tip
For mixed functions examine the complete rule. चरण 1: केवल \(\sin x\) आवर्ती है, लेकिन \(x+\sin x\) आवर्ती नहीं है। चरण 2: (x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें।
On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\).
Step 3
Exam Tip
Taking \(\tan x\) on its principal interval makes it one-one. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। चरण 3: \(\tan x\) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है।
A logarithmic function is one-one on its proper domain. चरण 1: \(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\ln x_1=\ln x_2\), तो \(x_1=x_2\) होता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है।
Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Check even powers carefully on the whole real domain. चरण 1: सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें।
As (x+1) increases, \(\sqrt{x+1}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
From \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\), we get \(x_1+1=x_2+1\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
A square-root function is one-one on its proper domain. चरण 1: (x+1) बढ़ने पर \(\sqrt{x+1}\) भी बढ़ता है। चरण 2: \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\) से \(x_1+1=x_2+1\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है।
For \(x\ge0\), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges. चरण 1: (x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। चरण 2: \(x\ge0\) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। चरण 3: टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें।
In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity. चरण 1: दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। चरण 2: (f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि \(-2\neq3\)। चरण 3: टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है।
Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
For finite sets a function is one-one when images do not repeat. चरण 1: प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है।
In ordered-pair questions quickly check the second components. चरण 1: एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। चरण 2: (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। चरण 3: क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें।
This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A linear function with negative slope can also be one-one. चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। चरण 2: \(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है।
A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
A constant function can be one-one only when the domain has a single element. चरण 1: स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो।
(1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
For quadratics check points equally distant from the vertex. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) है। चरण 2: (1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। चरण 3: शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है।
This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\). चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। चरण 2: एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)।
In (n+2), different (n)-values give different values.
Step 2
Why this answer is correct
If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
A simple shift function on natural numbers is one-one. चरण 1: (n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। चरण 2: यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\) होगा। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है।
Even-power rules are not one-one on integers either. चरण 1: पूर्णांकों में (2) और (-2) दोनों आते हैं। चरण 2: \(2^2=4\) और ((-2)2=4), जबकि \(2\neq-2\)। चरण 3: सम घात वाले नियम पूर्णांकों पर भी एक-एक नहीं होते।
A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too. चरण 1: (2n+1) एक रैखिक नियम है। चरण 2: यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है।
For example (f(0)=2) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), while \(0\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
In sums of absolute values look for constant intervals. चरण 1: \(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। चरण 2: उदाहरण के लिए (f(0)=2) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। चरण 3: निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें।
It is enough to find two different inputs with the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while \(0\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
For polynomials use factors or special values to test quickly. चरण 1: दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि \(0\neq-3\)। चरण 3: बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें।
The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one. चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1) है। चरण 2: प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। चरण 3: शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है।
A. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Step 1
Concept
Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature. चरण 1: एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। चरण 2: क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। चरण 3: इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है।
A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
In such options the fastest method is to look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। चरण 3: विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है।
From \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\), we get \(2x_1+3=2x_2+3\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero. चरण 1: यह रैखिक रूप का फलन है। चरण 2: \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\) से \(2x_1+3=2x_2+3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है।
For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior. चरण 1: एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। चरण 2: जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें।
