In exams, a linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one. चरण 1: एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है। चरण 3: परीक्षा में रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एकैकी होता है।
To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
For even power functions, always check positive and negative inputs. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। चरण 3: सम घात वाले फलनों में धन और ऋण मानों को अवश्य जाँचें।
A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: \(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है।
Absolute value can give the same output for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
In one-one tests, search for two different inputs with equal outputs. चरण 1: निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों को समान मान दे सकता है। चरण 2: (f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\ne -2\)। चरण 3: एकैकी जाँच में ऐसे दो अलग आगत खोजें जिनका निर्गत समान हो।
On this domain, \(x^2\) is increasing, so \(a^2=b^2\) implies (a=b).
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change whether a function is one-one. चरण 1: इस फलन का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\ge 0\) है। चरण 2: इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। चरण 3: परिभाषा-क्षेत्र बदलने से एकैकी होने का निर्णय बदल सकता है।
A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\ne 2\).
Step 3
Exam Tip
A constant function can be one-one only if the domain has a single element. चरण 1: स्थिर फलन हर आगत को एक ही निर्गत देता है। चरण 2: (f(1)=5) और (f(2)=5), पर \(1\ne 2\)। चरण 3: स्थिर फलन तभी एकैकी हो सकता है जब परिभाषा-क्षेत्र में केवल एक तत्व हो।
This is the safest method to prove one-one in written exams. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखें। चरण 2: \(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है।
If two different inputs share an output, the function is not one-one. चरण 1: फलन में हर आगत का एक निर्गत है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: (1) और (3) दोनों का निर्गत (4) है। चरण 3: दो अलग आगतों का समान निर्गत मिले तो फलन एकैकी नहीं होता।
The outputs (b,c,a) are all distinct, so no two inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, checking repeated outputs quickly identifies one-one behavior. चरण 1: हर आगत का केवल एक निर्गत है। चरण 2: निर्गत (b,c,a) अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो आगत समान निर्गत नहीं देते। चरण 3: सीमित समुच्चय में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जल्दी पहचाना जा सकता है।
Even on integers, a linear function with non-zero coefficient is one-one. चरण 1: मान लें (f(m)=f(n))। चरण 2: (2m+3=2n+3) से (m=n) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो एकैकी रहता है।
Integers include both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
Before calling \(n^2\) one-one on integers, test values with opposite signs. चरण 1: पूर्णांकों में धन और ऋण दोनों मान आते हैं। चरण 2: (f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\ne -2\)। चरण 3: \(n^2\) जैसे फलन को पूर्णांकों पर एकैकी मानने से पहले विपरीत चिह्न वाले मान जाँचें।
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) with (a,b>0) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
A reciprocal function gives distinct outputs for distinct inputs in its valid domain. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) और (a,b>0) होने से (a=b)। चरण 3: व्युत्क्रम फलन अपने वैध क्षेत्र में अलग-अलग आगतों को अलग-अलग निर्गत देता है।
In reciprocal square functions, changing the sign can keep the output same. चरण 1: परिभाषा-क्षेत्र में (1) और (-1) दोनों हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\ne -1\)। चरण 3: वर्ग वाले हर वाले फलन में चिह्न बदलने पर निर्गत समान हो सकता है।
A quadratic function can give equal outputs for two different inputs due to symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=4) and (f(3)=4), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
Completing the square or substituting two values can quickly disprove one-one. चरण 1: द्विघात फलन में सममिति के कारण दो अलग आगत समान निर्गत दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\ne 3\)। चरण 3: वर्ग पूर्ण करके या दो मान रखकर एकैकी न होना जल्दी दिखाया जा सकता है।
For \(x\ge 2\), ((x-2)2) increases, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
Restricting a quadratic function to one side of its vertex can make it one-one. चरण 1: (f(x)=(x-2)2+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(x\ge 2\) पर ((x-2)2) बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देंगे। चरण 3: द्विघात फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है।
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: मान लें (a>b)। चरण 2: \(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। चरण 3: यदि फलन सख्ती से बढ़ता है, तो वह एकैकी होता है।
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
If many inputs give the same output, the function is not one-one. चरण 1: (f(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1))। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। चरण 3: एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता।
A decreasing linear function is also one-one because it gives distinct outputs for distinct inputs. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: (7-2a=7-2b) से (a=b) मिलता है। चरण 3: घटता रैखिक फलन भी एकैकी होता है, क्योंकि वह हर आगत को अलग निर्गत देता है।
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\))/Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
Trigonometric functions are periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\ne \pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions are generally not one-one on the entire real domain. चरण 1: त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\ne \pi\)। चरण 3: आवर्ती फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
So different (x)-values give different \(\sin x\)-values.
Step 3
Exam Tip
A trigonometric function can become one-one when its domain is restricted properly. चरण 1: दिए गए क्षेत्र में \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए अलग-अलग (x) मानों पर \(\sin x\) के मान अलग होते हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन को सीमित क्षेत्र पर एकैकी बनाया जा सकता है।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
A strictly decreasing function does not give the same output for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
Strictly increasing or decreasing behavior is a good sign of one-one nature. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है। चरण 2: सख्ती से घटने वाला फलन दो अलग आगतों को समान निर्गत नहीं देता। चरण 3: बढ़ता या घटता होना एकैकी पहचानने का अच्छा संकेत है।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\ne 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodicity on the whole real domain strongly proves the function is not one-one. चरण 1: \(\cos x\) आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\ne 2\pi\)। चरण 3: पूरे वास्तविक क्षेत्र पर आवर्तिता एकैकी न होने का मजबूत प्रमाण देती है।
The increasing nature of an exponential function helps prove one-one behavior. चरण 1: \(e^x\) वास्तविक संख्याओं पर सख्ती से बढ़ता है। चरण 2: यदि \(e^a=e^b\), तो (a=b) होता है। चरण 3: घातीय फलन की बढ़ती प्रकृति एकैकी होने में मदद करती है।
\(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\log a=\log b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
A logarithmic function is one-one on its valid domain. चरण 1: \(\log x\) अपने परिभाषा-क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: \(\log a=\log b\) होने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन को उसके सही क्षेत्र पर एकैकी माना जाता है।
Values equally distant from (x=2) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions, test points on both sides of the center. चरण 1: (x=2) के दोनों ओर समान दूरी वाले मान समान निर्गत देते हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\ne 3\)। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले फलन में मध्य बिंदु के दोनों ओर जाँच करें।
The expression (x-2) increases linearly, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
Restricting an absolute value function to one side can make it one-one. चरण 1: \(x\ge 2\) होने पर (|x-2|=x-2)। चरण 2: (x-2) रैखिक रूप में बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। चरण 3: निरपेक्ष मान फलन को एक ओर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है।
In even powers, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) and (f(-2)=16), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
Even power functions are generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: सम घात में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। चरण 2: (f(2)=16) और (f(-2)=16), जबकि \(2\ne -2\)। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
Restricting an even power function to non-negative values makes it one-one. चरण 1: परिभाषा-क्षेत्र में केवल अऋणात्मक मान हैं। चरण 2: \(x\ge 0\) पर \(x^4\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: क्षेत्र को अऋणात्मक मानों तक सीमित करने से सम घात फलन एकैकी बन जाता है।
A. (0) और \(-\frac{3}{2}\)/(0) and \(-\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
Substitute two different values to find equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) and (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function is not one-one on the entire real domain. चरण 1: दो अलग मान रखकर समान निर्गत खोजें। चरण 2: (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), जबकि दोनों आगत अलग हैं। चरण 3: द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता।
A quadratic function restricted to the right side of its vertex is one-one. चरण 1: (f(x)=(x+1)2+4)। चरण 2: \(x\ge -1\) पर ((x+1)2) बढ़ता है। चरण 3: शीर्ष से दाईं ओर लिया गया द्विघात फलन एकैकी होता है।
In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (5) elements, (B) must have at least (5) possible distinct outputs.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the codomain size cannot be smaller than the domain size for a one-one function. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग तत्वों के निर्गत अलग होने चाहिए। चरण 2: (A) में (5) तत्व हैं, इसलिए (B) में कम से कम (5) अलग निर्गतों की जगह चाहिए। चरण 3: सीमित समुच्चय में एकैकी के लिए सहक्षेत्र का आकार परिभाषा-क्षेत्र से कम नहीं हो सकता।
B. ऐसा फलन संभव नहीं है/Such a function is not possible
Step 1
Concept
A one-one function needs four distinct outputs for four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) has only three elements, so four distinct outputs are impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, a one-one function cannot exist. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के चार अलग निर्गत चाहिए। चरण 2: (B) में केवल तीन तत्व हैं, इसलिए चार अलग निर्गत संभव नहीं। चरण 3: जब परिभाषा-क्षेत्र बड़ा और सहक्षेत्र छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता।
The next elements have (4,3,2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(5\times4\times3\times2=120\). चरण 1: (A) के पहले तत्व के लिए (5) विकल्प हैं। चरण 2: अगले तत्वों के लिए क्रमशः (4,3,2) विकल्प बचते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(5\times4\times3\times2=120\) होगी।
The second and third elements have (5) and (4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
The number of one-one functions is \(6\times5\times4=120\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (6) विकल्प मिलते हैं। चरण 2: दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (5) और (4) विकल्प बचते हैं। चरण 3: एकैकी फलनों की संख्या \(6\times5\times4=120\) है।
A. ऐसे \(a,b\in A\) मिलेंगे जहाँ \(a\ne b\) और (f(a)=f(b))/There exist \(a,b\in A\) with \(a\ne b\) and (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
Not one-one is the negation of the one-one definition.
Step 2
Why this answer is correct
It means two distinct inputs give the same output.
Step 3
Exam Tip
If proof is needed, showing such two inputs is enough. चरण 1: एकैकी न होना परिभाषा का उल्टा है। चरण 2: इसका अर्थ है कि दो अलग आगत समान निर्गत देते हैं। चरण 3: प्रश्न में प्रमाण माँगा हो तो ऐसे दो आगत दिखाना काफी होता है।
Therefore, \(kx^2\) is not one-one on the whole real domain for any value of (k). चरण 1: यदि \(k\ne 0\), तो (f(1)=k) और (f(-1)=k) होगा। चरण 2: यदि (k=0), तो फलन स्थिर हो जाएगा। चरण 3: इसलिए पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(kx^2\) किसी भी (k) के लिए एकैकी नहीं है।
Two different inputs at equal distance from the vertex give the same output.
Step 3
Exam Tip
No quadratic function is one-one on the whole real domain. चरण 1: (f(x)=(x+k)2-k-2) है। चरण 2: शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले दो अलग आगत समान निर्गत देंगे। चरण 3: कोई भी द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता।
Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 3
Exam Tip
Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b), hence (f) is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (g(f(a))=g(f(b))), अर्थात (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चरण 3: \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b), अतः (f) एकैकी है।
At (x=0) and (x=-1), the output is (1) both times.
Step 3
Exam Tip
The outer function \(x^2\) is not one-one on the whole real domain, so this composition is also not one-one here. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=(2x+1)2)। चरण 2: (x=0) और (x=-1) रखने पर दोनों बार मान (1) आता है। चरण 3: बाहरी फलन \(x^2\) पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं है, इसलिए संयोजन भी यहाँ एकैकी नहीं है।
This is (3x+10), a linear function with coefficient \(3\ne 0\).
Step 3
Exam Tip
Such a linear composition is one-one. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(x+4)=3(x+4)-2)। चरण 2: यह (3x+10) है, जो रैखिक फलन है और (x) का गुणांक \(3\ne 0\) है। चरण 3: ऐसे रैखिक संयोजन को एकैकी माना जाएगा।
The expression inside the root is \(x^2+1\), so (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt{2}) and (f(-1)=\sqrt{2}), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
Functions based on even expressions must be checked carefully on the whole real domain. चरण 1: मूल के अंदर \(x^2+1\) है, इसलिए (x) और (-x) समान निर्गत देंगे। चरण 2: (f(1)=\sqrt{2}) और (f(-1)=\sqrt{2}), जबकि \(1\ne -1\)। चरण 3: वर्ग पर आधारित सम रूप वाले फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सावधानी से जाँचें।
On \(x\ge 0\), \(x^2+1\) increases and the square root also increases.
Step 3
Exam Tip
On the non-negative domain, this function gives different outputs for different inputs. चरण 1: यहाँ \(x\ge 0\) है। चरण 2: \(x\ge 0\) पर \(x^2+1\) बढ़ता है और वर्गमूल भी बढ़ता है। चरण 3: अऋणात्मक क्षेत्र पर यह फलन अलग आगतों को अलग निर्गत देता है।
\(\lfloor x\rfloor\) sends many values in an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), while \(1.2\ne 1.8\).
Step 3
Exam Tip
Such step functions are not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। चरण 2: \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), जबकि \(1.2\ne 1.8\)। चरण 3: ऐसे चरणदार फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होते।
Therefore, \(m^3+m>n^3+n\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
An increasing function on integers is one-one. चरण 1: यदि (m>n), तो \(m^3>n^3\) और (m>n)। चरण 2: इसलिए \(m^3+m>n^3+n\), यानी फलन बढ़ता है। चरण 3: पूर्णांकों पर बढ़ता फलन एकैकी होता है।
Check the rule separately for even and odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2k)=2k+1) and (f(2k+1)=2k), so the outputs alternate but do not repeat.
Step 3
Exam Tip
Since no two different natural numbers give the same output, the function is one-one. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के छोटे मान रखकर देखें। चरण 2: (f(1)=0) और (f(2)=3) अलग हैं, लेकिन (f(3)=2) और (f(1)=0) से निर्णय पूरा नहीं होता; बेहतर युग्म (f(2)=3) और (f(4)=5) भी अलग है, इसलिए नियम की सही जाँच चाहिए। चरण 3: (f(2k)=2k+1) और (f(2k+1)=2k), ये सभी अलग मान देते हैं; अतः यह एकैकी है।
For (x<0), outputs lie in (\(-\infty,-1\)). The output ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
If each part is one-one and their output ranges do not clash, the whole piecewise function is one-one. चरण 1: \(x\ge 0\) पर निर्गत \([1,\infty\)) में आता है। चरण 2: (x<0) पर निर्गत (\(-\infty,-1\)) में आता है। दोनों भागों के निर्गत अलग-अलग क्षेत्रों में हैं। चरण 3: जब अलग भागों के निर्गत भी न टकराएँ और हर भाग एकैकी हो, तो पूरा फलन एकैकी होता है।
To disprove one-one, it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-3)=0), while \(0\ne -3\).
Step 3
Exam Tip
Even if a function looks cubic, first check simple values that may give the same output. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-3)=0), जबकि \(0\ne -3\)। चरण 3: घन फलन दिखने पर भी पहले समान निर्गत वाले सरल मान जाँचें।
If \(a>b\ge 0\), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is always one-one. चरण 1: \(x\ge 0\) पर \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ते हैं। चरण 2: यदि \(a>b\ge 0\), तो \(a^3>b^3\) और (3a>3b), इसलिए (f(a)>f(b))। चरण 3: सख्ती से बढ़ने वाला फलन हमेशा एकैकी होता है।
Because the function is one-one, the next elements have (6,5,4,3) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
Total number is \(7\times6\times5\times4\times3=2520\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। चरण 2: एकैकी होने के कारण अगले तत्वों के लिए विकल्प क्रमशः (6,5,4,3) रहेंगे। चरण 3: कुल संख्या \(7\times6\times5\times4\times3=2520\) होगी।
Check whether the two pieces can produce the same output.
Step 2
Why this answer is correct
For (x<1), outputs are less than (3); for \(x\ge 1\), outputs are at least (3).
Step 3
Exam Tip
Each piece is increasing and their output ranges do not overlap, so (f) is one-one. चरण 1: अलग-अलग भागों में समान निर्गत आने की संभावना जाँचें। चरण 2: (f(0)=1) और (f(-1)= -1) अलग हैं, लेकिन (f(1)=3) तथा (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2) से अभी निर्णय नहीं होगा; सही जाँच में (f(1)=3) और (f\left\(1\right\)=3) वही आगत है, इसलिए दूसरा मान लें (f(2)=4) तथा पहले भाग में (2x+1=4) से \(x=\frac{3}{2}\) आता है जो पहले भाग में नहीं है। अब देखें (f(1)=3) और पहले भाग में (2x+1=3) से (x=1) आता है जो पहले भाग में शामिल नहीं है। दोनों भागों के निर्गत नहीं टकराते, इसलिए (f) एकैकी है।
