Hence \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), so different inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
Recognising an increasing function is very useful in hard one-one questions. चरण 1: (a>b) मानने पर \(a^3>b^3\) और (3a>3b) होता है। चरण 2: इसलिए \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), अर्थात अलग आगत अलग छवि देंगे। चरण 3: बढ़ते हुए फलन को पहचानना एकैकीता के कठिन प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
To disprove one-one nature, find different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Once a polynomial gives the same image for different inputs, it is not one-one. चरण 1: एकैकीता को असत्य करने के लिए अलग आगतों की समान छवि खोजें। चरण 2: (f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। चरण 3: बहुपद में समान छवि मिलते ही एकैकीता नहीं रहती।
On \([1,\infty\)), ((x-1)2) increases, so equal images occur only for equal inputs.
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side. चरण 1: (f(x)=(x-1)2+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)2) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। चरण 3: वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें।
On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.
Step 3
Exam Tip
Taking only one side of a parabola can make the function one-one. चरण 1: (f(x)=(x-1)2+3) है। चरण 2: क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। चरण 3: परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है।
On the whole real domain, both sides of a quadratic may give the same image. चरण 1: (f(x)=(x-1)2+3) है। चरण 2: (f(0)=4) और (f(2)=4), जबकि \(0\neq 2\)। चरण 3: पूरे वास्तविक क्षेत्र पर वर्ग फलन के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है।
The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
In such questions, quickly identify the increasing nature of the function. चरण 1: \(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। चरण 2: दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें।
(f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
If a function changes direction, equal images may occur. चरण 1: (f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। चरण 2: फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 3: यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है।
\(\ln x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\ln a=\ln b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Remember the increasing nature of the logarithmic function. चरण 1: \(\ln x\) अपने क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\ln a=\ln b\), तो (a=b) होगा। चरण 3: लघुगणक फलन की बढ़ती प्रकृति याद रखें।
Look for two different positive values with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
In functions like \(x+\frac{1}{x}\), notice the roles of (x) and \(\frac{1}{x}\). चरण 1: समान छवि के लिए दो अलग धनात्मक मान देखें। चरण 2: (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। चरण 3: \(x+\frac{1}{x}\) जैसे फलन में (x) और \(\frac{1}{x}\) की भूमिका ध्यान दें।
For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).
Step 3
Exam Tip
The same formula can become one-one on a restricted domain. चरण 1: \(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। चरण 2: इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। चरण 3: वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है।
From \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\), expanding gives (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), hence (5b=5a).
Step 3
Exam Tip
Since (a=b), the function is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\) से विस्तार करने पर (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), इसलिए (5b=5a)। चरण 3: (a=b) मिलने से फलन एकैकी सिद्ध होता है।
In (x+2), the coefficient of (x) is non-zero, so equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
While simplifying, keep the removed point outside the domain. चरण 1: \(x\neq 2\) पर \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। चरण 2: (x+2) में (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए समान छवि से समान आगत मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण करते समय हटाए गए बिंदु को क्षेत्र से बाहर ही रखें।
An even function is generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: फलन में केवल सम घातें हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: सम फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
For \(x\geq 0\), both \(x^4\) and \(x^2\) increase.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum also increases, so different non-negative inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
A function with even powers can be one-one on half of the real domain. चरण 1: \(x\geq 0\) पर \(x^4\) और \(x^2\) दोनों बढ़ते हैं। चरण 2: उनका योग भी बढ़ता है, इसलिए अलग गैर-ऋणात्मक आगत अलग छवि देंगे। चरण 3: सम घात वाला फलन आधे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी हो सकता है।
Therefore \(a^5+a>b^5+b\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
An increasing function is one-one on its whole domain. चरण 1: (a>b) होने पर \(a^5>b^5\) और (a>b) होता है। चरण 2: इसलिए \(a^5+a>b^5+b\), अतः फलन बढ़ता है। चरण 3: बढ़ता हुआ फलन पूरे क्षेत्र पर एकैकी होता है।
Since three different inputs have the same image, the function is not one-one. चरण 1: समान छवि देने वाले अलग आगत जाँचें। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0) और (f(1)=0) हैं। चरण 3: तीन अलग आगतों की समान छवि होने से फलन एकैकी नहीं है।
\(\arctan x\) is increasing on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\arctan a=\arctan b\), taking \(\tan\) on both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
Remember the principal domain of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\arctan x\) पूरे वास्तविक क्षेत्र पर बढ़ता हुआ फलन है। चरण 2: यदि \(\arctan a=\arctan b\), तो दोनों ओर \(\tan\) लेने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य क्षेत्र को याद रखें।
\(\arcsin x\) is increasing on its domain ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
Equal \(\arcsin\) values imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
To make an inverse function, the original function is restricted to a one-one domain. चरण 1: \(\arcsin x\) अपने क्षेत्र ([-1,1]) पर बढ़ता है। चरण 2: समान \(\arcsin\) मान होने पर आगत समान होगा। चरण 3: प्रतिलोम फलन बनने के लिए मूल फलन को एकैकी क्षेत्र पर सीमित किया जाता है।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
A decreasing function is also one-one because two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
For one-one nature, increasing is not necessary; strictly decreasing is also enough. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है क्योंकि दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। चरण 3: एकैकीता के लिए बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है।
\(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
Always check symmetric values for an even trigonometric function. चरण 1: \(\cos x\) सम फलन है। चरण 2: \(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि आगत अलग हैं। चरण 3: सम त्रिकोणमितीय फलन के सममित मानों को अवश्य जाँचें।
In this interval, the same \(\sin\) value comes only from the same angle.
Step 3
Exam Tip
Restricting a trigonometric function to a proper interval gives one-one nature. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) बढ़ता है। चरण 2: इस अंतराल में समान \(\sin\) मान समान कोण से ही मिलता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन को सही अंतराल पर सीमित करना एकैकीता देता है।
To check one-one nature, look for different angles with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
On a large trigonometric interval, periodic behaviour can break one-one nature. चरण 1: एकैकीता जाँचने के लिए समान छवि वाले अलग कोण देखें। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। चरण 3: बड़े त्रिकोणमितीय अंतराल पर आवृत्ति के कारण एकैकीता टूट सकती है।
In a piecewise function, the images from different pieces must be compared.
Step 2
Why this answer is correct
The left part gives values less than (2), while the right part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
Since each part is one-one and their image ranges do not overlap, the function is one-one. चरण 1: अलग-अलग भागों से समान छवि मिल सकती है। चरण 2: (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{3}{2}) केवल बाएँ भाग में अलग हैं, पर (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)\neq1); अब (f(-1)=1) और दाएँ भाग में (2x+2=1) देने वाला \(x=-\frac{1}{2}\) क्षेत्र में नहीं है। इस जाँच से टकराव नहीं मिलता। चरण 3: फिर भी सीमा पर (f(0)=2) और बाएँ भाग में (x+2=2) देने वाला (x=0) क्षेत्र में नहीं है, इसलिए दोनों भाग अलग छवि-क्षेत्र रखते हैं और फलन एकैकी है।
Check if different pieces can give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) and (f(4)=4), while \(-2\neq 4\).
Step 3
Exam Tip
In a piecewise function, it is important to check overlap of ranges from different pieces. चरण 1: अलग भागों से समान छवि जाँचें। चरण 2: (f(-2)=4) और (f(4)=4), जबकि \(-2\neq 4\)। चरण 3: खंडित फलन में हर भाग के परास का टकराव देखना जरूरी है।
For (x<1), the first part gives values less than (2).
Step 2
Why this answer is correct
For \(x\geq1\), the second part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
Both parts are increasing and their ranges do not overlap, so the function is one-one. चरण 1: पहले भाग में (x<1) होने पर छवियाँ (2) से छोटी मिलती हैं। चरण 2: दूसरे भाग में \(x\geq1\) होने पर छवियाँ (2) या उससे बड़ी मिलती हैं, पर (f(0)=0) और (f(-1)= -2) अलग हैं। इस विभाजन से टकराव नहीं दिखता। चरण 3: दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में बढ़ते हैं और परास अलग हैं, इसलिए सही निष्कर्ष एकैकी होना है।
For \(x\geq0\), the range of \(x^2+3\) is at least (3).
Step 3
Exam Tip
The two ranges do not overlap and both pieces are one-one on their domains, so the whole function is one-one. चरण 1: (x<0) पर (x+3) का परास (3) से कम है। चरण 2: \(x\geq0\) पर \(x^2+3\) का परास (3) या उससे अधिक है। चरण 3: दोनों परास नहीं टकराते और दोनों भाग अपने क्षेत्र में एकैकी हैं, इसलिए पूरा फलन एकैकी है।
In a one-one function, the four elements of (A) must get distinct images from the five elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number of ways is \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\).
Step 3
Exam Tip
In one-one counting, order matters because each input is different. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के पाँच तत्वों में अलग-अलग छवियाँ देनी हैं। चरण 2: तरीकों की संख्या \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। चरण 3: एकैकी गिनती में क्रम महत्व रखता है क्योंकि प्रत्येक आगत अलग है।
In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (5) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
When the domain has more elements than the codomain, a one-one function is impossible. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व को (B) में अलग छवि चाहिए। चरण 2: (A) में (5) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। चरण 3: जब क्षेत्र में तत्व अधिक और सहप्रांत में कम हों तो एकैकी फलन संभव नहीं है।
The second has (6) choices and the third has (5) choices left.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(7\times6\times5=210\). चरण 1: (A) के पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। चरण 2: दूसरे के लिए (6) और तीसरे के लिए (5) विकल्प बचेंगे। चरण 3: कुल संख्या \(7\times6\times5=210\) होगी।
For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), a one-one function is also onto. चरण 1: बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। चरण 2: संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। चरण 3: जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है।
On both sides of the vertex, equal height values occur.
Step 3
Exam Tip
Hence a quadratic with \(a\neq0\) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: द्विघात फलन का आलेख परवलय होता है। चरण 2: परवलय के शीर्ष के दोनों ओर समान ऊँचाई वाली छवियाँ मिलती हैं। चरण 3: इसलिए \(a\neq0\) वाला द्विघात फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं होता।
When (a>0), both \(x^3\) and (ax) are increasing parts.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is also increasing, so different inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
In parameter questions, carefully observe the sign of the coefficient. चरण 1: (a>0) होने पर \(x^3\) और (ax) दोनों बढ़ते हुए भाग हैं। चरण 2: उनका योग भी बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग छवि देंगे। चरण 3: पैरामीटर वाले प्रश्नों में गुणांक का चिन्ह ध्यान से देखें।
Equal images for different inputs stop the function from being one-one. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f\(2\sqrt{3}\)=\(2\sqrt{3}\)3-12\(2\sqrt{3}\)=24\sqrt{3}-24\sqrt{3}=0)। चरण 3: अलग आगतों की समान छवि फलन को एकैकी नहीं रहने देती।
The function does not decrease, and the (x) term keeps values separated as inputs move forward.
Step 3
Exam Tip
A derivative may become zero at points, but being non-negative can help in checking one-one nature. चरण 1: (f'(x)=1+\cos x) है जो कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: फलन घटता नहीं है और (x) वाला भाग आगे बढ़ते हुए मानों को अलग रखता है। चरण 3: अवकलज शून्य हो सकता है पर ऋणात्मक न होना एकैकीता की जाँच में सहायक है।
(f'(x)=1-\cos x), which is always zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The function does not turn back, so two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
For mixed trigonometric functions, decide by checking the direction through the derivative. चरण 1: (f'(x)=1-\cos x) है जो हमेशा (0) या धनात्मक रहता है। चरण 2: फलन पीछे नहीं लौटता, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। चरण 3: त्रिकोणमितीय मिश्रित फलनों में अवकलज की दिशा देखकर निर्णय लें।
On the whole real domain, \(x^2\) introduces a symmetric growth effect.
Step 2
Why this answer is correct
The function changes direction because (f'(x)=\cos x+2x) is negative for some negative (x) and positive for large positive (x).
Step 3
Exam Tip
Since the function is not strictly in one direction on all of \(\mathbb{R}\), it is not one-one. चरण 1: पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(x^2\) के कारण सममित प्रभाव आता है। चरण 2: (f(0)=0), पर ऋणात्मक क्षेत्र में फलन घट-बढ़ कर फिर समान मान ले सकता है। चरण 3: जब फलन पूरे क्षेत्र में एक दिशा में नहीं चलता, तो एकैकीता संदिग्ध होती है; यहाँ यह एकैकी नहीं है।
\(e^t\) is also increasing, so the composition is increasing.
Step 3
Exam Tip
A composition of increasing one-one functions remains one-one. चरण 1: (2x+1) एक बढ़ता हुआ रैखिक रूप है। चरण 2: \(e^t\) भी बढ़ता हुआ है, इसलिए संयोजन बढ़ता है। चरण 3: बढ़ते हुए फलनों का संयोजन एकैकी रहता है।
Therefore (f(1)=e) and (f(-1)=e), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Even if the outer function is one-one, the whole function may fail if the inner part is not one-one. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: इसलिए (f(1)=e) और (f(-1)=e), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: बाहरी फलन एकैकी हो फिर भी अंदर का भाग एकैकी न हो तो पूरा फलन एकैकी नहीं हो सकता।
Then (g(2a-3)=g(2b-3)), and since (g) is one-one, (2a-3=2b-3).
Step 3
Exam Tip
This gives (a=b), so (f) is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: (g(2a-3)=g(2b-3)) और (g) एकैकी है, इसलिए (2a-3=2b-3)। चरण 3: इससे (a=b) मिलता है, अतः (f) एकैकी है।
From (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), we get (f\(a_1\)=f\(a_2\)) because (g) is one-one. Then \(a_1=a_2\) because (f) is one-one.
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)) मानें। चरण 2: (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) से (f\(a_1\)=f\(a_2\)), क्योंकि (g) एकैकी है। फिर \(a_1=a_2\), क्योंकि (f) एकैकी है। चरण 3: दो एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है।
Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 3
Exam Tip
Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b); hence (f) must be one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (g(f(a))=g(f(b))), अर्थात (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चरण 3: \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b); अतः (f) एकैकी होना निश्चित है।
(f(1)=| -1|+|3|=4) and (f(-1)=| -3|+|1|=4), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
In sums of absolute values, always check symmetric inputs. चरण 1: अलग आगतों की समान छवि खोजें। चरण 2: (f(1)=| -1|+|3|=4) और (f(-1)=| -3|+|1|=4), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: निरपेक्ष मान के योग में सममित आगतों को जरूर जाँचें।
The function becomes (f(x)=x+1), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
Before removing absolute value, understand the sign from the domain. चरण 1: क्षेत्र \(x\geq2\) है, इसलिए (|x-2|=x-2)। चरण 2: फलन (f(x)=x+1) बन जाता है, जो एकैकी है। चरण 3: निरपेक्ष मान हटाने से पहले क्षेत्र का चिन्ह समझें।
In the greatest integer function, many values in the same interval have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
A step function is not one-one on the whole real domain. चरण 1: महत्तम पूर्णांक फलन में एक ही अंतराल के कई मानों की छवि समान होती है। चरण 2: (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq1.8\)। चरण 3: सीढ़ीनुमा फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता।
On integers, check neighbouring opposite-side values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Even on an integer domain, different values can have the same image. चरण 1: पूर्णांकों पर विपरीत पास के मान जाँचें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। चरण 3: पूर्णांक क्षेत्र में भी समान छवि वाले अलग मान मिल सकते हैं।
In natural numbers, as (n) increases, both \(n^2\) and (n) increase.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(n^2+n\) also increases and different (n) give different images.
Step 3
Exam Tip
The same formula may behave differently on integers, so read the domain carefully. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में (n) बढ़ने पर \(n^2\) और (n) दोनों बढ़ते हैं। चरण 2: इसलिए \(n^2+n\) भी बढ़ता है और अलग (n) अलग छवि देते हैं। चरण 3: वही सूत्र पूर्णांकों पर अलग व्यवहार कर सकता है, क्षेत्र ध्यान से पढ़ें।
For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
The negative part gives negative images and the positive part gives positive images, while each part is one-one on its domain.
Step 3
Exam Tip
If the ranges of pieces are separated, the whole function can be one-one. चरण 1: \(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2)। चरण 2: ऋणात्मक भाग पर छवि ऋणात्मक और धनात्मक भाग पर छवि धनात्मक है, तथा दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में एकैकी हैं। चरण 3: खंडों का परास अलग हो तो पूरा फलन एकैकी हो सकता है।
If a function behaves evenly, one-one nature fails on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(|x|x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: यदि फलन सम व्यवहार दिखाए तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता टूटती है।
For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one. चरण 1: \(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। चरण 2: (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। चरण 3: दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है।
From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero. चरण 1: एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। चरण 2: \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है।
