Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
The number is of the form \(64\times37+r\), where \(0\le r<64\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 63, so the number is (2368+63=2431).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(64\times37+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<64\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 63 होगा, इसलिए संख्या (2368+63=2431) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(91\times28=2548\).
Step 3
Exam Tip
In minimum value questions, taking remainder zero gives the answer quickly. चरण 1: संख्या \(91\times28+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(91\times28=2548\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेने से उत्तर तुरंत मिलता है।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than 247.
Step 2
Why this answer is correct
\(247\times12=2964\), so (3199=2964+235).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder bigger than the divisor is not the standard form. चरण 1: यूक्लिडीय रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और 247 से छोटा होता है। चरण 2: \(247\times12=2964\), इसलिए (3199=2964+235) है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल दिखे तो वह मानक रूप नहीं है।
89 leaves remainder 3 when divided by 43, so the total remainder is (41+3=44).
Step 3
Exam Tip
Since (44=43+1), the final remainder is 1. चरण 1: (x) का शेषफल 41 है। चरण 2: 89 को 43 से भाग देने पर शेषफल 3 है, इसलिए कुल शेषफल (41+3=44) है। चरण 3: (44=43+1), इसलिए अंतिम शेषफल 1 होगा।
The remainder of (7n+13) comes from \(7\times17+13=132\).
Step 3
Exam Tip
\(132=29\times4+16\), so the correct remainder is 16. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 17 रखें। चरण 2: (7n+13) का शेषफल \(7\times17+13=132\) से मिलेगा। चरण 3: \(132=29\times4+16\); अतः सही शेषफल 16 है।
The square remainder comes from dividing \(11^2=121\) by 13.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=13\times9+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(11^2=121\) को 13 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(121=13\times9+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (11q) to (11q+10).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0, but do not include 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (11q) से (11q+10) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें, लेकिन 11 शामिल न करें।
The number becomes exactly divisible by 71, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 70 है, जो 71 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (71q+71=71(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 71 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
In subtraction, check the final form as divisor times quotient plus remainder. चरण 1: (m=31q+6) लिखें। चरण 2: (m-68=31q-62=31(q-2)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: घटाव में अंतिम रूप को \(भाजक\timesभागफल+शेषफल\) की तरह जांचें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
For five times the number, the remainder part is \(5\times33=165\).
Step 2
Why this answer is correct
\(165=34\times4+29\), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: पांच गुनी संख्या के लिए शेषफल \(5\times33=165\) होगा। चरण 2: \(165=34\times4+29\), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
Find the nearest lower multiple of 132 below 4217.
Step 2
Why this answer is correct
\(132\times31=4092\), so the remainder is (4217-4092=125).
Step 3
Exam Tip
For large numbers, the nearest lower multiple method is useful. चरण 1: 132 का 4217 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(132\times31=4092\), इसलिए शेषफल (4217-4092=125) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि उपयोगी रहती है।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=12\times10+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
B. शेषफल 0 से 17 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 17
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=18), so the remainder can be from 0 to 17.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and do not include the divisor. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=18), इसलिए शेषफल 0 से 17 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफल की सूची में 0 शामिल करें और भाजक को शामिल न करें।
The remainder of (5p-19) comes from \(5\times14-19=51\).
Step 3
Exam Tip
Since \(51=17\times3\), the final remainder is 0. चरण 1: (p) का शेषफल 14 है। चरण 2: (5p-19) का शेषफल \(5\times14-19=51\) से मिलेगा। चरण 3: \(51=17\times3\), इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
Since (31=19+12), the final remainder is 12. चरण 1: दोनों शेषफल 16 और 15 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (16+15=31) से मिलेगा। चरण 3: (31=19+12), इसलिए अंतिम शेषफल 12 है।
For multiplication, multiply the remainders 19 and 21.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times21=399\), and \(399=23\times17+8\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, the final answer must be the remainder, not the full product. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 19 और 21 को गुणा करें। चरण 2: \(19\times21=399\) और \(399=23\times17+8\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में अंतिम उत्तर शेषफल होना चाहिए, पूरा गुणनफल नहीं।
In powers, working with the small remainder avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(4^3=64\) देखें। चरण 2: \(64=9\times7+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
Their square remainders are 0, 1, 4, 2, 2, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 2, or 4. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 2 या 4 हो सकता है।
The total remainder is (30+7=37), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 30 है। चरण 2: 81 को 37 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: कुल शेषफल (30+7=37) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
While dividing, choose a multiple that does not exceed the given number. चरण 1: \(211\times25=5275\) है। चरण 2: (5289-5275=14), इसलिए शेषफल 14 है। चरण 3: भाग करते समय ऐसा गुणज चुनें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो।
The remainder part of (4t+11) is \(4\times19+11=87\).
Step 3
Exam Tip
\(87=26\times3+9\), so the final remainder is 9. चरण 1: (t) का शेषफल 19 है। चरण 2: (4t+11) का शेषफल \(4\times19+11=87\) से मिलेगा। चरण 3: \(87=26\times3+9\), इसलिए अंतिम शेषफल 9 है।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times9=81\).
Step 2
Why this answer is correct
(81=52+29), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times9=81\) होगा। चरण 2: (81=52+29), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
A. क्योंकि 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक चक्र में आते हैं/Because division by 7 gives remainders from 0 to 6 in a cycle
Step 1
Concept
The possible remainders on division by 7 are 0, 1, 2, 3, 4, 5, and 6.
Step 2
Why this answer is correct
Seven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 7. चरण 1: 7 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। चरण 2: सात लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 7 से विभाज्य होगी।
\(3^2=9\) and \(5^2=25\), and both leave remainder 1 on division by 8.
Step 3
Exam Tip
Checking squares of odd remainders modulo 8 is a quick method. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 5 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(5^2=25\), दोनों को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: विषम शेषफलों के वर्ग को 8 से जांचना तेज तरीका है।
Therefore, the number is exactly divisible by 59 and the remainder is 0. चरण 1: (a-103=59q+44-103=59q-59)। चरण 2: इसे (59(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: इसलिए संख्या 59 से पूर्णतः विभाजित है और शेषफल 0 है।
The final answer must be smaller than 21, so 289 cannot be the answer. चरण 1: वर्ग के लिए \(17^2=289\) लें। चरण 2: \(289=21\times13+16\), इसलिए शेषफल 16 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 21 से छोटा होना चाहिए, इसलिए 289 उत्तर नहीं हो सकता।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(9^2+9=90\).
Step 3
Exam Tip
Since 90 is exactly divisible by 10, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 9 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(9^2+9=90\) से मिलेगा। चरण 3: 90, 10 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The nearest lower multiple below 2026 is 1958, so the remainder is (2026-1958=68).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 89. चरण 1: \(89\times22=1958\) और \(89\times23=2047\) है। चरण 2: 2026 से छोटा निकट गुणज 1958 है, इसलिए शेषफल (2026-1958=68) है। चरण 3: ऋणात्मक या 89 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(76\times24+75=1824+75=1899\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 75 is less than divisor 76, so this form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(76\times24+75=1824+75=1899\)। चरण 3: शेषफल 75, भाजक 76 से छोटा है, इसलिए यह रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (5-14=-9) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 27 जोड़ें, जिससे 18 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
A. क्योंकि 8 से भाग देने पर शेषफल 0 से 7 तक चक्र में आते हैं/Because division by 8 gives remainders from 0 to 7 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 8, possible remainders are from 0 to 7.
Step 2
Why this answer is correct
Eight consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 8. चरण 1: 8 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 7 तक होते हैं। चरण 2: आठ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 8 से विभाज्य होती है।
The total remainder is (43+1=44), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 43 है। चरण 2: 133 को 44 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (43+1=44) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(8^2-8=56\).
Step 3
Exam Tip
\(56=15\times3+11\), so the remainder is 11. चरण 1: (u) का शेषफल 8 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(8^2-8=56\) से मिलेगा। चरण 3: \(56=15\times3+11\), इसलिए शेषफल 11 है।
\(7^2=49\), and 49 leaves remainder 10 when divided by 13.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), check \(10^2=100\).
Step 3
Exam Tip
\(100=13\times7+9\), so the remainder is 9. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 13 से भाग देने पर शेषफल 10 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(10^2=100\) देखें। चरण 3: \(100=13\times7+9\), इसलिए शेषफल 9 है।
The remainder of (ab+a) comes from \(11\times14+11=165\).
Step 3
Exam Tip
\(165=16\times10+5\), so the final remainder is 5. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 11 और 14 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(11\times14+11=165\) से मिलेगा। चरण 3: \(165=16\times10+5\), इसलिए अंतिम शेषफल 5 है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 499.
Step 2
Why this answer is correct
\(500\times10=5000\), so (5001=5000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 500 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 499 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(500\times10=5000\), इसलिए (5001=5000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 500 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(1^2\) and \(9^2\) leave remainder 1, while \(3^2\) and \(7^2\) leave remainder 9.
Step 3
Exam Tip
When listing possible remainders, count repeated results only once. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(9^2\) का शेषफल 1 है, जबकि \(3^2\) और \(7^2\) का शेषफल 9 है। चरण 3: संभावित शेषफल सूची बनाते समय दोहराव को एक बार ही गिनें।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times8=88\).
Step 2
Why this answer is correct
\(88=39\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times8=88\) होगा। चरण 2: \(88=39\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
The remainder of \(a^2+5\) comes from \(7^2+5=54\).
Step 3
Exam Tip
\(54=12\times4+6\), so the final remainder is 6. चरण 1: (a) का शेषफल 7 है। चरण 2: \(a^2+5\) का शेषफल \(7^2+5=54\) से मिलेगा। चरण 3: \(54=12\times4+6\), इसलिए अंतिम शेषफल 6 है।
In (4a+3b), the remainder part is \(4\times9+3\times13=75\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=17\times4+7\), so the remainder is 7.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (4a+3b) में शेषफल \(4\times9+3\times13=75\) होगा। चरण 2: \(75=17\times4+7\), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
(57+1=58), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 57 है। चरण 2: 175 को 58 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (57+1=58), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(4^2+4+1=21\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 21 by 5 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 4 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(4^2+4+1=21\) से मिलेगा। चरण 3: 21 को 5 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
\(248=42\times5+38\), so the remainder is 38. चरण 1: (a) का शेषफल 31 है। चरण 2: (8a) के लिए \(8\times31=248\) देखें। चरण 3: \(248=42\times5+38\), इसलिए शेषफल 38 है।
97 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<97\) है। चरण 2: 97 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
Since the remainder of (n) is 13, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 14, its square is also divisible by 14. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 13 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 14 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 14 से विभाज्य होगा।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (29+31+6=66)। चरण 2: 66, 33 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
The number has the form \(73\times41+r\), where \(0\le r<73\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 72, so the number is (2993+72=3065).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(73\times41+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<73\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 72 है, इसलिए संख्या (2993+72=3065) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल को भाजक से एक कम लें।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(118\times19=2242\).
Step 3
Exam Tip
For least value questions, using remainder zero is the most direct method. चरण 1: संख्या \(118\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(118\times19=2242\) है। चरण 3: न्यूनतम मान के प्रश्न में शेषफल शून्य रखना सबसे सीधा तरीका है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 288.
Step 2
Why this answer is correct
\(289\times15=4335\), so (4555=4335+220).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 289 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 288 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(289\times15=4335\), इसलिए (4555=4335+220) है। चरण 3: ऋणात्मक या 289 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
111 leaves remainder 7 when divided by 52, so the total remainder is (49+7=56).
Step 3
Exam Tip
Since (56=52+4), the final remainder is 4. चरण 1: (x) का शेषफल 49 है। चरण 2: 111 को 52 से भाग देने पर शेषफल 7 है, इसलिए कुल शेषफल (49+7=56) होगा। चरण 3: (56=52+4), इसलिए अंतिम शेषफल 4 है।
The remainder of (8n+17) comes from \(8\times23+17=201\).
Step 3
Exam Tip
\(201=31\times6+15\), so the final remainder is 15. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 23 रखें। चरण 2: (8n+17) का शेषफल \(8\times23+17=201\) से मिलेगा। चरण 3: \(201=31\times6+15\), इसलिए अंतिम शेषफल 15 है।
The square remainder comes from dividing \(14^2=196\) by 17.
Step 2
Why this answer is correct
\(196=17\times11+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(14^2=196\) को 17 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(196=17\times11+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
On division by 13, remainders can be from 0 to 12.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (13q) to (13q+12).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 13. चरण 1: 13 से भाग देने पर शेषफल 0 से 12 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (13q) से (13q+12) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 13 शामिल न करें।
The number becomes exactly divisible by 83, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 82 है, जो 83 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (83q+83=83(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 83 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
It is exactly divisible by 43, so the remainder is 0. चरण 1: (m=43q+9) लिखें। चरण 2: (m-95=43q+9-95=43q-86=43(q-2))। चरण 3: यह 43 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times46=322\).
Step 2
Why this answer is correct
\(322=47\times6+40\), so the remainder should be 40.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times46=322\) होगा। चरण 2: \(322=47\times6+40\), इसलिए शेषफल 40 होना चाहिए। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
Find the nearest lower multiple of 221 below 6895.
Step 2
Why this answer is correct
\(221\times31=6851\), so the remainder is (6895-6851=44).
Step 3
Exam Tip
With large numbers, the nearest lower multiple method saves time. चरण 1: 221 का 6895 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(221\times31=6851\), इसलिए शेषफल (6895-6851=44) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि समय बचाती है।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculations short. चरण 1: घन के लिए \(7^3=343\) देखें। चरण 2: \(343=15\times22+13\), इसलिए शेषफल 13 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना छोटी रखें।
B. शेषफल 0 से 24 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 24
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=25), so the remainder can be from 0 to 24.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and do not include 25. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=25), इसलिए शेषफल 0 से 24 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 25 शामिल न करें।
The remainder of (6p-20) comes from \(6\times16-20=76\).
Step 3
Exam Tip
Since \(76=19\times4\), the final remainder is 0. चरण 1: (p) का शेषफल 16 है। चरण 2: (6p-20) का शेषफल \(6\times16-20=76\) से मिलेगा। चरण 3: \(76=19\times4\), इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
Since (38=23+15), the final remainder is 15. चरण 1: दोनों शेषफल 18 और 20 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (18+20=38) से मिलेगा। चरण 3: (38=23+15), इसलिए अंतिम शेषफल 15 है।
For multiplication, multiply the remainders 24 and 27.
Step 2
Why this answer is correct
\(24\times27=648\), and \(648=29\times22+10\).
Step 3
Exam Tip
So the correct remainder is 10; the full product is not the answer. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 24 और 27 को गुणा करें। चरण 2: \(24\times27=648\) और \(648=29\times22+10\)। चरण 3: इसलिए सही शेषफल 10 है; पूरा गुणनफल उत्तर नहीं होता।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=11\times11+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है।
The total remainder is (33+8=41), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 33 है। चरण 2: 90 को 41 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (33+8=41) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
Choose a multiple that does not exceed the number and leaves a difference smaller than the divisor. चरण 1: \(307\times23=7061\) है। चरण 2: (7341-7061=280), इसलिए शेषफल 280 है। चरण 3: ऐसा गुणज चुनें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो और अंतर भाजक से छोटा हो।
The remainder part of (5t+16) is \(5\times27+16=151\).
Step 3
Exam Tip
\(151=34\times4+15\), so the final remainder is 15. चरण 1: (t) का शेषफल 27 है। चरण 2: (5t+16) का शेषफल \(5\times27+16=151\) से मिलेगा। चरण 3: \(151=34\times4+15\), इसलिए अंतिम शेषफल 15 है।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times12=132\).
Step 2
Why this answer is correct
\(132=61\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times12=132\) होगा। चरण 2: \(132=61\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
A. क्योंकि 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक चक्र में आते हैं/Because division by 9 gives remainders from 0 to 8 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Nine consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 8 तक हैं। चरण 2: नौ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 9 से विभाज्य होगी।
\(3^2=9\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 9 when divided by 10.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 7 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(7^2=49\), दोनों को 10 से भाग देने पर शेषफल 9 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
The number is exactly divisible by 67, so the remainder is 0. चरण 1: (a-119=67q+52-119=67q-67)। चरण 2: इसे (67(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 67 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
\(441=26\times16+25\), so the remainder should be 25.
Step 3
Exam Tip
The final answer must always be less than 26. चरण 1: वर्ग के लिए \(21^2=441\) लें। चरण 2: \(441=26\times16+25\), इसलिए शेषफल 25 होना चाहिए। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 26 से छोटा होना चाहिए।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(11^2+11=132\).
Step 3
Exam Tip
Since 132 is exactly divisible by 12, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(11^2+11=132\) से मिलेगा। चरण 3: 132, 12 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The nearest lower multiple below 4097 is 3973, so the remainder is (4097-3973=124).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 137. चरण 1: \(137\times29=3973\) और \(137\times30=4110\) है। चरण 2: 4097 से छोटा निकट गुणज 3973 है, इसलिए शेषफल (4097-3973=124) है। चरण 3: ऋणात्मक या 137 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(96\times31+95=2976+95=3071\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 95 is less than divisor 96, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(96\times31+95=2976+95=3071\)। चरण 3: शेषफल 95, भाजक 96 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (8-19=-11) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 35 जोड़ें, जिससे 24 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
A. क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं/Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 10, possible remainders are from 0 to 9.
Step 2
Why this answer is correct
Ten consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 10. चरण 1: 10 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 9 तक हैं। चरण 2: दस लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 10 से विभाज्य होगी।
The total remainder is (61+1=62), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 61 है। चरण 2: 187 को 62 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (61+1=62) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(11^2-11=110\).
Step 3
Exam Tip
\(110=18\times6+2\), so the remainder is 2. चरण 1: (u) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(11^2-11=110\) से मिलेगा। चरण 3: \(110=18\times6+2\), इसलिए शेषफल 2 है।
\(10^2=100\), and 100 leaves remainder 15 when divided by 17.
Step 2
Why this answer is correct
For \(10^4\), check \(15^2=225\).
Step 3
Exam Tip
\(225=17\times13+4\), so the remainder is 4. चरण 1: \(10^2=100\), और 100 को 17 से भाग देने पर शेषफल 15 है। चरण 2: \(10^4\) के लिए \(15^2=225\) देखें। चरण 3: \(225=17\times13+4\), इसलिए शेषफल 4 है।
The remainder of (ab+a) comes from \(13\times18+13=247\).
Step 3
Exam Tip
\(247=20\times12+7\), so the final remainder is 7. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 13 और 18 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(13\times18+13=247\) से मिलेगा। चरण 3: \(247=20\times12+7\), इसलिए अंतिम शेषफल 7 है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), and \(11^2\) all leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
Checking the squares of possible remainders separately is a safe method. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), और \(11^2\) सभी को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों के वर्गों को अलग-अलग जांचना सुरक्षित तरीका है।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times11=143\).
Step 2
Why this answer is correct
\(143=45\times3+8\), so the final remainder is 8.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times11=143\) होगा। चरण 2: \(143=45\times3+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
The remainder of \(a^2+7\) comes from \(9^2+7=88\).
Step 3
Exam Tip
\(88=16\times5+8\), so the final remainder is 8. चरण 1: (a) का शेषफल 9 है। चरण 2: \(a^2+7\) का शेषफल \(9^2+7=88\) से मिलेगा। चरण 3: \(88=16\times5+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है।
In (5a+4b), the remainder part is \(5\times11+4\times16=119\).
Step 2
Why this answer is correct
\(119=19\times6+5\), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (5a+4b) में शेषफल \(5\times11+4\times16=119\) होगा। चरण 2: \(119=19\times6+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
(73+1=74), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 73 है। चरण 2: 223 को 74 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (73+1=74), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(5^2+5+1=31\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 31 by 6 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 5 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(5^2+5+1=31\) से मिलेगा। चरण 3: 31 को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
\(370=48\times7+34\), so the remainder is 34. चरण 1: (a) का शेषफल 37 है। चरण 2: (10a) के लिए \(10\times37=370\) देखें। चरण 3: \(370=48\times7+34\), इसलिए शेषफल 34 है।
109 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<109\) है। चरण 2: 109 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
Since the remainder of (n) is 21, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 22, its square is also divisible by 22. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 21 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 22 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 22 से विभाज्य होगा।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (35+37+6=78)। चरण 2: 78, 39 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
The number is of the form \(87\times46+r\), where \(0\le r<87\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 86, so the number is (4002+86=4088).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, the remainder is always one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(87\times46+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<87\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 86 है, इसलिए संख्या (4002+86=4088) है। चरण 3: अधिकतम मान में शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लिया जाता है।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method. चरण 1: संख्या \(143\times23+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
140 leaves remainder 6 when divided by 67, so the total remainder is (64+6=70).
Step 3
Exam Tip
Since (70=67+3), the final remainder is 3. चरण 1: (x) का शेषफल 64 है। चरण 2: 140 को 67 से भाग देने पर शेषफल 6 है, इसलिए कुल शेषफल (64+6=70) होगा। चरण 3: (70=67+3), इसलिए अंतिम शेषफल 3 है।
The remainder of (9n+22) comes from \(9\times31+22=301\).
Step 3
Exam Tip
Since \(301=43\times7+0\), the remainder is 0. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 31 रखें। चरण 2: (9n+22) का शेषफल \(9\times31+22=301\) से मिलेगा। चरण 3: \(301=43\times7+0\), इसलिए शेषफल 0 है।
The square remainder comes from dividing \(16^2=256\) by 19.
Step 2
Why this answer is correct
\(256=19\times13+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square only the remainder instead of the full number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(16^2=256\) को 19 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(256=19\times13+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लें।
On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 17. चरण 1: 17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें।
The number becomes exactly divisible by 97, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 96 है, जो 97 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (97q+97=97(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 97 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
It is exactly divisible by 53, so the remainder is 0. चरण 1: (m=53q+12) लिखें। चरण 2: (m-118=53q+12-118=53q-106=53(q-2))। चरण 3: यह 53 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times58=522\).
Step 2
Why this answer is correct
\(522=59\times8+50\), so the remainder is 50.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times58=522\) होगा। चरण 2: \(522=59\times8+50\), इसलिए शेषफल 50 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
Find the nearest lower multiple of 359 below 9264.
Step 2
Why this answer is correct
\(359\times25=8975\), so the remainder is (9264-8975=289).
Step 3
Exam Tip
With large numbers, the nearest lower multiple method saves time. चरण 1: 359 का 9264 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(359\times25=8975\), इसलिए शेषफल (9264-8975=289) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि समय बचाती है।
In power questions, reduce remainders repeatedly to keep the calculation simple. चरण 1: घन के लिए \(11^3=1331\) देखें। चरण 2: \(1331=18\times73+17\), इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को बार-बार छोटा करके गणना सरल रखें।
B. शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 31
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=32), so the remainder can be from 0 to 31.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and do not include 32. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=32), इसलिए शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 32 शामिल न करें।
The remainder of (7p-18) comes from \(7\times19-18=115\).
Step 3
Exam Tip
Since \(115=23\times5\), the final remainder is 0. चरण 1: (p) का शेषफल 19 है। चरण 2: (7p-18) का शेषफल \(7\times19-18=115\) से मिलेगा। चरण 3: \(115=23\times5\), इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
Since (53=31+22), the final remainder is 22. चरण 1: दोनों शेषफल 25 और 28 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (25+28=53) से मिलेगा। चरण 3: (53=31+22), इसलिए अंतिम शेषफल 22 है।
For multiplication, multiply the remainders 32 and 35.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times35=1120\), and \(1120=37\times30+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, the answer is the final remainder, not the full product. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 32 और 35 को गुणा करें। चरण 2: \(32\times35=1120\) और \(1120=37\times30+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में पूरा गुणनफल नहीं, अंतिम शेषफल उत्तर होता है।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(6^3=216\) देखें। चरण 2: \(216=13\times16+8\), इसलिए शेषफल 8 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
The total remainder is (39+8=47), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 39 है। चरण 2: 102 को 47 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (39+8=47) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The nearest lower multiple below 9876 is 9476, so the remainder is (400).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is less than 412, it is valid. चरण 1: \(412\times23=9476\) और \(412\times24=9888\) है। चरण 2: 9876 से छोटा निकट गुणज 9476 है, इसलिए शेषफल (400) होना चाहिए। चरण 3: शेषफल 412 से छोटा है, इसलिए वैध है।
The remainder part of (6t+17) is \(6\times37+17=239\).
Step 3
Exam Tip
\(239=46\times5+9\), so the final remainder is 9. चरण 1: (t) का शेषफल 37 है। चरण 2: (6t+17) का शेषफल \(6\times37+17=239\) से मिलेगा। चरण 3: \(239=46\times5+9\), इसलिए अंतिम शेषफल 9 है।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times15=195\).
Step 2
Why this answer is correct
\(195=73\times2+49\), so the final remainder is 49.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times15=195\) होगा। चरण 2: \(195=73\times2+49\), इसलिए अंतिम शेषफल 49 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
A. क्योंकि 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक चक्र में आते हैं/Because division by 11 gives remainders from 0 to 10 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 11, possible remainders are from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Eleven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 10 तक होते हैं। चरण 2: ग्यारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 11 से विभाज्य होगी।
\(5^2=25\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 5 या 7 है। चरण 2: \(5^2=25\) और \(7^2=49\), दोनों को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
The number is exactly divisible by 79, so the remainder is 0. चरण 1: (a-140=79q+61-140=79q-79)। चरण 2: इसे (79(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The final answer must always be less than 34. चरण 1: वर्ग के लिए \(27^2=729\) लें। चरण 2: \(729=34\times21+15\), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 34 से छोटा होना चाहिए।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(13^2+13=182\).
Step 3
Exam Tip
Since 182 is exactly divisible by 14, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(13^2+13=182\) से मिलेगा। चरण 3: 182, 14 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The nearest lower multiple below 6789 is 6751, so the remainder is (6789-6751=38).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 157. चरण 1: \(157\times43=6751\) और \(157\times44=6908\) है। चरण 2: 6789 से छोटा निकट गुणज 6751 है, इसलिए शेषफल (6789-6751=38) है। चरण 3: ऋणात्मक या 157 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times27+111=3024+111=3135\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 111 is less than divisor 112, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(112\times27+111=3024+111=3135\)। चरण 3: शेषफल 111, भाजक 112 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (10-23=-13) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 41 जोड़ें, जिससे 28 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं/Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 12. चरण 1: 12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। चरण 2: बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी।
The total remainder is (85+1=86), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 85 है। चरण 2: 259 को 86 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (85+1=86) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(13^2-13=156\).
Step 3
Exam Tip
\(156=20\times7+16\), so the remainder is 16. चरण 1: (u) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(13^2-13=156\) से मिलेगा। चरण 3: \(156=20\times7+16\), इसलिए शेषफल 16 है।
\(12^2=144\), and 144 leaves remainder 11 when divided by 19.
Step 2
Why this answer is correct
For \(12^4\), check \(11^2=121\).
Step 3
Exam Tip
\(121=19\times6+7\), so the remainder is 7. चरण 1: \(12^2=144\), और 144 को 19 से भाग देने पर शेषफल 11 है। चरण 2: \(12^4\) के लिए \(11^2=121\) देखें। चरण 3: \(121=19\times6+7\), इसलिए शेषफल 7 है।
The remainder of (ab+a) comes from \(17\times22+17=391\).
Step 3
Exam Tip
\(391=24\times16+7\), so the final remainder is 7. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 17 और 22 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(17\times22+17=391\) से मिलेगा। चरण 3: \(391=24\times16+7\), इसलिए अंतिम शेषफल 7 है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
For fifteen times the number, the remainder part is \(15\times14=210\).
Step 2
Why this answer is correct
\(210=57\times3+39\), so the final remainder is 39.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: पंद्रह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(15\times14=210\) होगा। चरण 2: \(210=57\times3+39\), इसलिए अंतिम शेषफल 39 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
The remainder of \(a^2+9\) comes from \(11^2+9=130\).
Step 3
Exam Tip
\(130=18\times7+4\), so the final remainder is 4. चरण 1: (a) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(a^2+9\) का शेषफल \(11^2+9=130\) से मिलेगा। चरण 3: \(130=18\times7+4\), इसलिए अंतिम शेषफल 4 है।
In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
Step 2
Why this answer is correct
\(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। चरण 2: \(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
(93+1=94), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 93 है। चरण 2: 283 को 94 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (93+1=94), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(6^2+6+1=43\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 43 by 7 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 6 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(6^2+6+1=43\) से मिलेगा। चरण 3: 43 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
\(492=54\times9+6\), so the remainder is 6. चरण 1: (a) का शेषफल 41 है। चरण 2: (12a) के लिए \(12\times41=492\) देखें। चरण 3: \(492=54\times9+6\), इसलिए शेषफल 6 है।
121 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<121\) है। चरण 2: 121 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
Since the remainder of (n) is 25, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 26, its square is also divisible by 26. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 25 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 26 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 26 से विभाज्य होगा।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (42+45+7=94)। चरण 2: 94, 47 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
A. क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें वही रहती हैं/The order may change, but the prime factors and their powers remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, लेकिन अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
Since \(10080=2^5\times3^2\times5\times7\), the full form is \(2^5\times3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite factor such as 10080 in the final answer. चरण 1: \(110880=10080\times11\) लिखें। चरण 2: \(10080=2^5\times3^2\times5\times7\), इसलिए पूरा रूप \(2^5\times3^2\times5\times7\times11\) है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 10080 जैसे संयुक्त गुणनखंड न छोड़ें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^4\) and \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4\times3^4=16\times81=1296\), so the answer is 1296. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं; छोटी घातें \(2^4\) और \(3^4\) हैं। चरण 3: \(2^4\times3^4=16\times81=1296\), इसलिए उत्तर 1296 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^7\), \(3^6\), \(5^3\), and \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
\(128\times729\times125\times49=714420000\), so the answer is 714420000. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^7\), \(3^6\), \(5^3\) और \(7^2\) हैं। चरण 3: \(128\times729\times125\times49=714420000\), इसलिए उत्तर 714420000 है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=907200\div360=2520\)। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लगाएं।
For two numbers, the product equals HCF multiplied by LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(126\times4620=582120\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first confirm that exactly two numbers are involved. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(126\times4620=582120\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले यह देखें कि बात दो संख्याओं की ही हो रही है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes it 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(43200=432\times100=2^6\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, the odd powers of 3 and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(3\times5=15\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 15. चरण 1: \(26460=2^2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(3\times5=15\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 15 है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2^2\times5^2\times7^2=2450\) makes the powers 6, 3, 3, and 3. चरण 1: \(15120=2^4\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 3: \(2^2\times5^2\times7^2=2450\) से गुणा करने पर घातें 6, 3, 3 और 3 हो जाएंगी।
Since \(21=3\times7\), \(21^3\times13=3^3\times7^3\times13\).
Step 3
Exam Tip
Since 21 is composite, write 3 and 7 in the final prime form. चरण 1: \(250047=9261\times27\) से अधिक आसान रूप \(21^3\times13\) है। चरण 2: \(21=3\times7\), इसलिए \(21^3\times13=3^3\times7^3\times13\)। चरण 3: 21 संयुक्त है, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में 3 और 7 लिखें।
For a perfect square, every exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 2, 5, and 11 are 9, 5, and 3, which are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times5\times11=110\) makes all powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए हर घात सम होनी चाहिए। चरण 2: 2, 5 और 11 की घातें क्रमशः 9, 5 और 3 हैं, जो विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\times11=110\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 8 to 9, 7 to 9, 4 to 6, and 2 to 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 8 को 9, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times7\) है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 5 and in (b) is 7.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 is (5+7=12). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 5 है और (b) में 3 की घात 7 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (5+7=12) होगी।
The total power is (6+4=10). चरण 1: (xy) में समान आधार 5 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 5 की घात 6 है और (y) में 5 की घात 4 है। चरण 3: कुल घात (6+4=10) होगी।
HCF uses the smaller powers of common prime factors only.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^8\) and \(3^7\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is \(2^8\times3^7\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं; छोटी घातें \(2^8\) और \(3^7\) हैं। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^8\times3^7\) है।
The highest powers are \(2^{11}\), \(3^9\), \(5^3\), and \(7^4\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^{11}\times3^9\times5^3\times7^4\). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^{11}\), \(3^9\), \(5^3\) और \(7^4\) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^{11}\times3^9\times5^3\times7^4\) है।
Product of the two numbers is \(84\times4620=388080\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 420, so the other is \(388080\div420=924\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 420 and 924 is 84. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(84\times4620=388080\) होगा। चरण 2: एक संख्या 420 है, इसलिए दूसरी संख्या \(388080\div420=924\) है। चरण 3: जांच में 420 और 924 का महत्तम समापवर्तक 84 मिलता है।
Product of the two numbers is \(96\times6720=645120\).
Step 2
Why this answer is correct
The other number is \(645120\div480=1344\).
Step 3
Exam Tip
To check, the HCF of 480 and 1344 is 96. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(96\times6720=645120\) होगा। चरण 2: दूसरी संख्या \(645120\div480=1344\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 480 और 1344 का महत्तम समापवर्तक 96 है।
\(648=2^3\times3^4\) and \(70=2\times5\times7\), so \(45360=2^4\times3^4\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (a=4). चरण 1: \(45360=648\times70\) लिखें। चरण 2: \(648=2^3\times3^4\) और \(70=2\times5\times7\), इसलिए \(45360=2^4\times3^4\times5\times7\)। चरण 3: तुलना करने पर (a=4) है।
\(6048=2^5\times3^3\times7\) and \(100=2^2\times5^2\), so the actual form is \(2^7\times3^3\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The given power of 2 does not match, but the power of 3 is (b=3). चरण 1: \(604800=6048\times100\) लिखें। चरण 2: \(6048=2^5\times3^3\times7\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए वास्तविक रूप \(2^7\times3^3\times5^2\times7\) है। चरण 3: दिए गए रूप में 2 की घात मेल नहीं खाती, पर 3 की घात (b=3) है।
Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 5, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य आधार 2, 3, 5, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
The prime factors of the first number are 2, 3, and 11.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 5, 7, and 13.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 5, 7 और 13 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 4199. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 4199 होगा।
\(4^8\) and \(16^4\) may give values, but 4 and 16 are not prime. चरण 1: 32768 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(32768=2^{15}\) होता है। चरण 3: \(4^8\) और \(16^4\) मान दे सकते हैं, पर 4 और 16 अभाज्य नहीं हैं।
Since \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(420^2=2^4\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect square, every prime exponent is even. चरण 1: \(176400=420^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए \(420^2=2^4\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य घात सम होती है।
All these prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 20655. चरण 1: \(20655=3^5\times5\times17\) है। चरण 2: ये सभी अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 20655 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^8\), \(3^4\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3375=3^3\times5^3\), which needs power 3 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^2\), (n) is not divisible by 3375. चरण 1: (n) में 2 की घात 8, 3 की घात 4 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 3375 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^3\times5^3\) है, जिसमें 5 की घात 3 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 2 है, इसलिए (n), 3375 से विभाज्य नहीं होगा।
In larger products, simplifying powers first is the right method. चरण 1: \(2^9=512\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(512\times81\times5=207360\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों को सरल करना सही तरीका है।
Calculate \(2^5=32\), \(3^6=729\), and \(5^3=125\).
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times729\times125=2916000\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying powers first keeps the calculation manageable. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^6=729\), और \(5^3=125\) निकालें। चरण 2: \(32\times729\times125=2916000\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करने से गणना नियंत्रित रहती है।
The higher power is 8, so the answer is 8. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 2 की घातें 5 और 8 हैं। चरण 3: बड़ी घात 8 है, इसलिए उत्तर 8 होगा।
In HCF, take the smaller power of the common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 3 are 6 and 3.
Step 3
Exam Tip
The smaller power is 3, so the answer is 3. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 6 और 3 हैं। चरण 3: छोटी घात 3 है, इसलिए उत्तर 3 है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Make \(2^{10}\), \(3^5\), and \(5^4\) into powers 12, 6, and 6.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2^2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{10}\) को \(2^{12}\), \(3^5\) को \(3^6\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5^2\) है।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor should be 1, but 1 is not listed; therefore no given option is correct. चरण 1: \(63504=2^4\times3^4\times7^2\) नहीं, बल्कि \(63504=16\times3969=2^4\times3^4\times7^2\) है। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: सबसे छोटा भाजक 1 होना चाहिए, पर विकल्पों में 1 नहीं है; इसलिए कोई दिया विकल्प सही नहीं है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 7 in (x) is 4 and in (y) is 5.
Step 3
Exam Tip
In (xy), the power of 7 is (4+5=9). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 7 की घात 4 है और (y) में 7 की घात 5 है। चरण 3: (xy) में 7 की घात (4+5=9) होगी।
Powers of the same base 2 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 2 in (x) is 8 and in (y) is 7.
Step 3
Exam Tip
The total power is (8+7=15). चरण 1: समान आधार 2 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 2 की घात 8 और (y) में 2 की घात 7 है। चरण 3: कुल घात (8+7=15) होगी।
The smaller powers are \(2^4\), \(3^3\), and \(11^1\).
Step 3
Exam Tip
\(16\times27\times11=4752\), so the HCF is 4752. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^4\), \(3^3\) और \(11^1\) हैं। चरण 3: \(16\times27\times11=4752\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 4752 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^6\), \(3^5\), \(5^2\), and \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
\(64\times243\times25\times121=47044800\), so the correct value is 47044800. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^6\), \(3^5\), \(5^2\) और \(11^2\) हैं। चरण 3: \(64\times243\times25\times121=47044800\), इसलिए सही मान 47044800 है।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (2+4=6). चरण 1: गुणनफल \(=180\times25200\) होगा। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (2+4=6) होगी।
\(78=2\times3\times13\), and 510510 also has 13 to power 1.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the power of 13 in the product is (1+1=2). चरण 1: गुणनफल \(=78\times510510\) होगा। चरण 2: \(78=2\times3\times13\) और 510510 में भी 13 की घात 1 है। चरण 3: गुणनफल में 13 की घात (1+1=2) होगी।
289 is composite, so \(289^2\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(83521=289\times289\) है। चरण 2: \(289=17^2\), इसलिए \(83521=17^4\)। चरण 3: 289 संयुक्त है, इसलिए \(289^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^{10}\) to \(2^9\) by dividing by 2, and \(3^8\) to \(3^6\) by dividing by \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor is \(2\times3^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{10}\) को \(2^9\) बनाने के लिए 2 से और \(3^8\) को \(3^6\) बनाने के लिए \(3^2\) से भाग दें। चरण 3: सबसे छोटा भाजक \(2\times3^2\) है।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^6=64\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(64\times81\times5\times7=181440\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
The ratio is \(2^{9-6}\times3^{5-2}=2^3\times3^3=216\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^6\times3^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^9\times3^5\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{9-6}\times3^{5-2}=2^3\times3^3=216\) होगा।
Counting with repetition gives (12+9+9=30). चरण 1: (xy) में समान आधारों की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: 2 की घात (5+7=12), 3 की घात (6+3=9), और 5 की घात (4+5=9) होगी। चरण 3: दोहराव सहित कुल संख्या (12+9+9=30) है।
The higher power is 6, so the answer is 6. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 5 की घातें 3 और 6 हैं। चरण 3: बड़ी घात 6 है, इसलिए उत्तर 6 है।
The smaller power is 4, so the answer is 4. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 4 और 7 हैं। चरण 3: छोटी घात 4 है, इसलिए उत्तर 4 है।
