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दशमलव न समाप्त होता है न आवर्ती है इसलिए अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती और अनावर्ती में अंतर याद रखें। / The decimal neither terminates nor repeats so it is irrational. Remember the difference between repeating and non repeating decimals.
\(27=9\times3\) होने से \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) होगा। अतः \(2\sqrt{3}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। \(4\sqrt{3}\) तब मिलता है जब \(\sqrt{27}\) को गलत तरीके से \(2\sqrt{3}\) माना जाए। परीक्षा में पहले वर्गमूल के भीतर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(27=9\times3\), \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). Therefore, \(2\sqrt{3}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The option \(4\sqrt{3}\) can result from simplifying \(\sqrt{27}\) incorrectly. In exams, first factor out the largest perfect square from inside a surd.
A. कथन सत्य है; प्रत्येक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है।/The statement is true; every irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion.
Explanation
Simple Explanation
कथन सत्य है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है, या अनंत आवर्ती होता है। इसलिए यदि दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है, तो संख्या अपरिमेय होगी; जैसे \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) अनंत है, पर आवर्ती होने के कारण परिमेय है। परीक्षा टिप: ‘अनंत’ के साथ ‘आवर्ती’ या ‘अनावर्ती’ शब्द अवश्य जाँचें। / The statement is true. A rational number has either a terminating decimal expansion or a non-terminating recurring decimal expansion. Therefore, a decimal that is non-terminating and non-repeating represents an irrational number, for example \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\). Option D is wrong because \(1/3=0.333\ldots\) is non-terminating but rational, since it repeats. Exam tip: For decimal-expansion questions, always check whether the digits repeat.
परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है। ऐसे प्रश्नों में प्रकार पहचानें। / The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. Identify number types first.
दिया है कि \(x=\sqrt{5}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{5})^2=5\), क्योंकि किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या होता है। \(25\) तब मिलता यदि \(5\) का वर्ग किया जाता, न कि \(\sqrt{5}\) का। परीक्षा टिप: \((\sqrt{a})^2=a\) को सीधे लागू करें। / Given \(x=\sqrt{5}\), we get \(x^2=(\sqrt{5})^2=5\). Squaring the principal square root of a positive number gives the number itself. \(25\) would result from squaring \(5\), not \(\sqrt{5}\). Exam tip: apply \((\sqrt{a})^2=a\) directly.
B. असमाप्त आवर्ती परिमेय संख्या/Non-terminating recurring rational number
Explanation
Simple Explanation
दशमलव 0.272727\ldots में 27 का क्रम लगातार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है और परिमेय संख्या होती है। वास्तव में, \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\)। यह समाप्त होने वाला दशमलव नहीं है और न ही पूर्णांक है। परीक्षा टिप: जो दशमलव समाप्त हो जाए या किसी निश्चित अंक-क्रम में बार-बार दोहराए, वह परिमेय होता है। / In 0.272727\ldots, the block 27 repeats continuously, so it is a non-terminating recurring decimal and therefore a rational number. In fact, \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\). It is not a terminating decimal and it is not an integer. Exam tip: A decimal that terminates or repeats a fixed block of digits is rational.
\(12=4\times3\) और \(27=9\times3\) होने से \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। अतः \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। \(3\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{27}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(12=4\times3\) and \(27=9\times3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). \(3\sqrt{3}\) is only the simplified form of \(\sqrt{27}\), not of the sum. Exam tip: first take out perfect-square factors from each surd, then add like surds.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार अनंत है, तो वह संख्या अपरिमेय होगी। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण इस कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) का दशमलव प्रसार अनंत है, लेकिन यह आवर्ती है। यह दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{1}{3}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। \(\sqrt{2}\), \(\pi\) और \(\sqrt{5}\) के दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होते हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत दशमलव देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें; जाँचें कि दशमलव आवर्ती है या नहीं। / The decimal expansion of \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) is non-terminating, but it repeats. Since it can be written as a ratio of integers, \(\frac{1}{3}\), it is rational. In contrast, \(\sqrt{2}\), \(\pi\), and \(\sqrt{5}\) have non-terminating, non-repeating decimal expansions and are irrational. Exam tip: A non-terminating decimal is irrational only when it is non-repeating.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a+b=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, योग नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें सरल करके समान करणी वाले पद पहचानें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option B is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified value of \(b\), not the sum. Exam tip: simplify surds first, then add like surd terms.
\(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है और 1 एक परिमेय संख्या है। किसी परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। इसलिए \(1-\sqrt{3}\) अपरिमेय है। पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या होने के लिए संख्या परिमेय होनी चाहिए, इसलिए वे विकल्प सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(\sqrt{n}\), जहाँ \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{3}\) is irrational, whereas 1 is rational. Adding or subtracting an irrational number and a rational number always gives an irrational result. Therefore, \(1-\sqrt{3}\) is irrational. It cannot be an integer or a natural number, since both of those are rational numbers. Exam tip: \(\sqrt{n}\) is irrational when \(n\) is not a perfect square.
विकल्प C में अंक 6 अनंत तक बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है; जैसे \(0.6666\ldots=\frac{2}{3}\)। विकल्प A और B में अंकों का कोई स्थिर आवर्तन नहीं है, जबकि D में दिया गया प्रसार भी आवर्ती नहीं दर्शाया गया है। परीक्षा टिप: समाप्त होने वाले या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / In option C, the digit 6 repeats indefinitely, so it is a recurring decimal. Every recurring decimal represents a rational number; for example, \(0.6666\ldots=\frac{2}{3}\). Options A and B have no fixed repeating block, and D is also not shown as a recurring decimal. Exam tip: Terminating and recurring decimals are always rational.
\(45=9\times5\) होने पर \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{45}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। \(3\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{45}\) का सरल रूप है, घटाने के बाद का मान नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को घटाने से पहले उनके अंदर के पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(45=9\times5\), \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{45}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). \(3\sqrt{5}\) is only the simplified form of \(\sqrt{45}\), not the result after subtraction. Exam tip: before adding or subtracting surds, first extract perfect-square factors from the radicands.
11 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी भी पूर्णांक का वर्ग 11 नहीं होता, इसलिए \(\sqrt{11}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। अतः x अपरिमेय है। पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ सभी परिमेय होती हैं, इसलिए वे विकल्प सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: यदि किसी पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / 11 is not a perfect square: no integer has square equal to 11. Therefore, \(\sqrt{11}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, so x is irrational. Integers and whole numbers are all rational, so those options cannot be correct. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं, क्योंकि 3 और 5 पूर्ण वर्ग नहीं हैं। विकल्प A में \(\sqrt{9}=3\) परिमेय है, विकल्प C में \(\frac{2}{3}\) परिमेय है और विकल्प D में \(\sqrt{16}=4\) तथा \(\sqrt{25}=5\) दोनों परिमेय हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक, अर्थात परिमेय, होता है। / \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational because 3 and 5 are not perfect squares. In option A, \(\sqrt{9}=3\) is rational; in option C, \(\frac{2}{3}\) is rational; and in option D, \(\sqrt{16}=4\) and \(\sqrt{25}=5\) are both rational. Exam tip: the square root of a perfect square is an integer and hence rational.
C. हर वास्तविक संख्या परिमेय है/Every real number is rational
Explanation
Simple Explanation
कथन C असत्य है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में परिमेय तथा अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{2}\) एक वास्तविक संख्या है, लेकिन इसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता; इसलिए यह परिमेय नहीं है। कथन D सही है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संघ है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{2}\), \(\pi\) जैसे उदाहरण अपरिमेय वास्तविक संख्याओं को पहचानने में सहायक हैं। / Statement C is false because the set of real numbers includes both rational and irrational numbers. For example, \(\sqrt{2}\) is a real number, but it cannot be written in the form \(p/q\); hence, it is not rational. Statement D is correct because real numbers are the union of rational and irrational numbers. Exam tip: Examples such as \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) help identify irrational real numbers.
वर्गमूलों के भाग के नियम से \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। 16 केवल वर्गमूल के भीतर की संख्या है, उसका वर्गमूल नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का प्रयोग तभी करें जब \(b>0\) हो। / Using the quotient rule for square roots, \(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{32}{2}}=\sqrt{16}=4\). Therefore, 4 is correct. The number 16 is only the value inside the square root; its square root must still be evaluated. Exam tip: use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) when \(b>0\).
दशमलव 0.454545... में 45 का क्रम लगातार दोहर रहा है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है; यहाँ 0.454545... = 45/99 = 5/11। यह पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या नहीं है, और अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होते हैं। परीक्षा टिप: समाप्त होने वाले या आवर्ती दशमलव को हमेशा परिमेय मानें। / In the decimal 0.454545..., the block 45 repeats continuously, so it is a recurring decimal. Every recurring decimal is rational; here, 0.454545... = 45/99 = 5/11. It is neither an integer nor a natural number, while irrational numbers have non-terminating, non-recurring decimal expansions. Exam tip: A terminating or recurring decimal is always rational.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि संख्या \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 आते हैं। इस दावे का सही मूल्यांकन क्या है?
A. दावा गलत है; यह अपरिमेय है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/The claim is incorrect; it is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
0 के समूहों की लंबाई लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल अंकों की संख्या नहीं, आवर्तन जाँचें। / The blocks of 0s keep increasing in length, so no fixed block of digits repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check repetition, not merely the digits used.
\(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, क्योंकि 13 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी ऐसी धनात्मक पूर्ण संख्या का वर्गमूल, जो पूर्ण वर्ग न हो, अपरिमेय होता है। इसके विपरीत, \(-2.5=-\frac{5}{2}\), \(\frac{13}{17}\) और \(0=\frac{0}{1}\) सभी परिमेय संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर की पूर्ण संख्या पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{13}\) is irrational because 13 is not a perfect square. The square root of a positive integer that is not a perfect square is irrational. In contrast, \(-2.5=-\frac{5}{2}\), \(\frac{13}{17}\), and \(0=\frac{0}{1}\) are all rational numbers. Exam tip: Check whether the integer inside a square root is a perfect square.
दोनों पद समान करणी हैं: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=1\sqrt{7}+1\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)। \(\sqrt{14}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को सामान्यतः \(\sqrt{a+b}\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा टिप: समान करणी वाले पदों में केवल उनके गुणांक जोड़ें। / Both terms are like surds: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=1\sqrt{7}+1\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\). \(\sqrt{14}\) is incorrect because \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) cannot generally be written as \(\sqrt{a+b}\). Exam tip: add only the coefficients of like surds.
(-4) ऋणात्मक पूर्ण संख्या है, इसलिए यह पूर्णांकों के समुच्चय में आता है। प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ ऋणात्मक संख्याओं को शामिल नहीं करतीं। यद्यपि (-4) एक परिमेय संख्या भी है, पर पूर्णांक उसका अधिक छोटा समुच्चय है। परीक्षा टिप: सबसे छोटा समुच्चय चुनने के लिए संख्या-वर्गीकरण को क्रम में याद रखें—प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक। / (-4) is a negative integer, so it belongs to the set of integers. Natural numbers and whole numbers do not include negative numbers. Although (-4) is also a rational number, integers form the smaller set containing it. Exam tip: Remember the usual classification order: natural numbers, whole numbers, integers, rational numbers, and real numbers.
\(48=16\times3\) है, इसलिए \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{48}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(4\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{48}\) का सरल रूप है; उसमें से \(2\sqrt{3}\) घटाना अभी बाकी रहता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले पहचानें। / Since \(48=16\times3\), \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{48}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), so option A is correct. \(4\sqrt{3}\) is only the simplified form of \(\sqrt{48}\); the subtraction of \(2\sqrt{3}\) must still be done. Exam tip: first identify the largest perfect-square factor inside a surd.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर योग हमेशा अपरिमेय होता है। क्योंकि यदि \(a+b\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(a\) घटाने पर \(b=(a+b)-a\) भी परिमेय होता, जो दिए गए कथन के विरुद्ध है। इसलिए सही उत्तर अपरिमेय है। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या परिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए वे निश्चित रूप से नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या के साथ अपरिमेय संख्या का योग और अंतर दोनों अपरिमेय होते हैं। / The sum of a rational number and an irrational number is always irrational. If \(a+b\) were rational, then \(b=(a+b)-a\) would also be rational because the difference of two rational numbers is rational. This contradicts the fact that \(b\) is irrational. Hence, the correct answer is irrational. An integer or a natural number is rational, so neither can be the sum. Exam tip: The sum and difference of a rational number and an irrational number are both irrational.
\(\sqrt{81}=9\) क्योंकि \(9^2=81\), तथा \(\sqrt{1}=1\) क्योंकि \(1^2=1\)। इसलिए \(\sqrt{81}+\sqrt{1}=9+1=10\)। विकल्प 9 केवल \(\sqrt{81}\) का मान है, इसमें \(\sqrt{1}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल वह धनात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो। / \(\sqrt{81}=9\) because \(9^2=81\), and \(\sqrt{1}=1\) because \(1^2=1\). Therefore, \(\sqrt{81}+\sqrt{1}=9+1=10\). Option 9 is only the value of \(\sqrt{81}\); it misses the addition of \(\sqrt{1}\). Exam tip: the square root of a perfect square is the positive number whose square equals the given number.
\(\frac{13}{40}\) का हर 40 है और \(40=2^3\times5\)। किसी परिमेय संख्या के सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार समाप्त होता है। \(\frac{7}{12}\) में 3 का गुणनखंड है, जबकि \(\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\) है; इसलिए ये समाप्त नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर का गुणनखंडन जाँचें। / For \(\frac{13}{40}\), the denominator is \(40=2^3\times5\). A rational number in lowest terms has a terminating decimal expansion only when its denominator has no prime factors other than 2 and 5. \(\frac{7}{12}\) contains the factor 3 in its denominator, and \(\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\), so they do not terminate. Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms, then factorise the denominator.
\(20=4\times5\) होने से \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{20}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), इसलिए विकल्प A सही है। \(2\sqrt{5}\) केवल \(\sqrt{20}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: मूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान मूल वाले पदों में सरल करें। / Since \(20=4\times5\), \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{20}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), so option A is correct. \(2\sqrt{5}\) is only the simplified form of \(\sqrt{20}\), not of the complete sum. Exam tip: simplify surds first, then combine like surds.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए सही विकल्प C है। \(\sqrt{42}\) गलत है, क्योंकि वर्गमूलों का अंतर सामान्यतः \(\sqrt{50-8}\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक करणी को उसके सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड की सहायता से सरल करें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option C is correct. \(\sqrt{42}\) is incorrect because the difference of square roots is not generally equal to \(\sqrt{50-8}\). Exam tip: simplify each surd by factoring out its greatest perfect-square factor first.
\(0.\overline{27}=0.272727\ldots\) एक अनंत आवर्ती दशमलव है और \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\) के बराबर है। इसलिए यह परिमेय संख्या है, जबकि इसका दशमलव प्रसार अनंत है। \(\sqrt{2}\), \(\pi\) तथा \(0.101001000100001\ldots\) अनंत अनावर्ती दशमलव हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं, जबकि अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। / \(0.\overline{27}=0.272727\ldots\) is a non-terminating recurring decimal, and it equals \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\). Hence, it is rational even though its decimal expansion does not end. \(\sqrt{2}\), \(\pi\), and \(0.101001000100001\ldots\) have non-terminating, non-recurring decimal expansions, so they are irrational. Exam tip: A non-terminating recurring decimal is rational; a non-terminating non-recurring decimal is irrational.
यहाँ \(x\times x=(\sqrt{6})\times(\sqrt{6})=(\sqrt{6})^2=6\) है। किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या देता है। \(\sqrt{12}\) गलत है, क्योंकि वर्गमूलों का गुणन \(\sqrt{6}\times\sqrt{6}=\sqrt{36}=6\) होता है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) को सीधे पहचानें। / Here, \(x\times x=(\sqrt{6})\times(\sqrt{6})=(\sqrt{6})^2=6\). Squaring the principal square root of a positive number gives the number itself. \(\sqrt{12}\) is incorrect because \(\sqrt{6}\times\sqrt{6}=\sqrt{36}=6\). Exam tip: recognise directly that \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\).
\(\frac{5}{8}\) दो पूर्णांकों का अनुपात है और \(-7=\frac{-7}{1}\) लिखा जा सकता है, इसलिए दोनों परिमेय संख्याएँ हैं। \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{11}\) तथा \(\pi\) अपरिमेय हैं; साथ ही \(0.101001\ldots\) अनंत, अनावर्ती दशमलव है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को \(\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) पूर्णांक और \(q\ne0\), के रूप में लिखा जा सके तो वह परिमेय होती है। / \(\frac{5}{8}\) is a ratio of two integers, and \(-7\) can be written as \(\frac{-7}{1}\); therefore, both are rational numbers. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{11}\), and \(\pi\) are irrational, while \(0.101001\ldots\) is a non-terminating, non-repeating decimal. Exam tip: A number is rational if it can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are integers and \(q\ne0\).
\(0.27272727\ldots\) एक अनंत आवर्ती दशमलव है, क्योंकि इसमें 27 का क्रम बार-बार दोहराया जा रहा है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है; वास्तव में \(0.272727\ldots=\frac{3}{11}\)। इसलिए यह विद्यार्थी के कथन का प्रतिवाद है। विकल्प B में शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्त नहीं बनता और वह अपरिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत दशमलव को देखकर केवल उसकी लंबाई नहीं, बल्कि आवर्त की उपस्थिति जाँचें। / \(0.27272727\ldots\) is a non-terminating recurring decimal because the block 27 repeats indefinitely. Every recurring decimal is rational; in fact, \(0.272727\ldots=\frac{3}{11}\). Hence, it disproves the student's claim. In option B, the number of zeros keeps increasing, so there is no fixed repeating block and it is irrational. Exam tip: For a non-terminating decimal, check whether a repeating pattern exists before deciding if it is rational or irrational.
\(0.5000\ldots\) में दशमलव के बाद केवल 5 के बाद शून्य हैं, इसलिए इसका मान \(0.5\) ही है। \(0.5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), अतः सही विकल्प \(\frac{1}{2}\) है। \(\frac{1}{5}=0.2\) होता है, इसलिए वह निकट दिखने पर भी गलत है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत में लगे शून्य उसका मान नहीं बदलते। / In \(0.5000\ldots\), all digits after 5 are zeros, so its value remains \(0.5\). Now, \(0.5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\); hence \(\frac{1}{2}\) is correct. The close distractor \(\frac{1}{5}\) equals \(0.2\), not \(0.5\). Exam tip: Zeros written at the end of a decimal do not change its value.
दिया है कि \(a=\sqrt{3}\)। अतः \(2a+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। इसलिए सही उत्तर \(3\sqrt{3}\) है। \(2\sqrt{3}\) केवल \(2a\) का मान है; उसमें अंतिम \(\sqrt{3}\) अभी जोड़ा जाना बाकी है। परीक्षा टिप: समान मूल वाले पदों में केवल उनके गुणांकों को जोड़ें। / Given \(a=\sqrt{3}\), we get \(2a+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). Hence, \(3\sqrt{3}\) is correct. \(2\sqrt{3}\) is only the value of \(2a\); the remaining \(\sqrt{3}\) must still be added. Exam tip: for like surds, add their coefficients.
C. हर अपरिमेय संख्या परिमेय संख्या है/Every irrational number is a rational number
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याएँ नहीं होतीं, इसलिए विकल्प C का कथन गलत है। परिमेय संख्या को \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(p, q\) पूर्णांक हों और \(q\ne0\)। पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ सभी वास्तविक संख्याओं के अंतर्गत आती हैं। परीक्षा टिप: संख्या-समूहों का क्रम याद रखें—प्राकृतिक ⊂ पूर्ण ⊂ पूर्णांक ⊂ परिमेय ⊂ वास्तविक। / Irrational numbers are not rational numbers, so statement C is incorrect. A rational number can be written in the form \(p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers and \(q\ne0\). Integers, natural numbers, and whole numbers are all included in the set of real numbers. Exam tip: Remember the inclusion order: natural ⊂ whole ⊂ integers ⊂ rational ⊂ real.
\(24=4\times6\) और \(54=9\times6\) हैं। इसलिए \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) तथा \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\)। अतः \(\sqrt{24}+\sqrt{54}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\)। \(7\sqrt{6}\) जैसी संख्या गुणांकों को गलत जोड़ने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें, फिर समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें। / Since \(24=4\times6\) and \(54=9\times6\), \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) and \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\). Therefore, \(\sqrt{24}+\sqrt{54}=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=5\sqrt{6}\). A result such as \(7\sqrt{6}\) can arise from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first take out perfect-square factors from each surd, then add the coefficients of like surds.
\(\frac{9}{2}=4.5\) है, और 4.5 पूर्णांक नहीं है क्योंकि पूर्णांक दशमलव या भिन्न के रूप में नहीं होते। जबकि \(-8\), \(0\) और \(\sqrt{121}=11\) सभी पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले विकल्प को पहले सरल करके देखें; यदि उसका मान पूर्ण संख्या हो, तो वह पूर्णांक है। / \(\frac{9}{2}=4.5\), which is not an integer because integers do not have a fractional or decimal part. In contrast, \(-8\), \(0\), and \(\sqrt{121}=11\) are all integers. Exam tip: simplify a square-root option first; if its value is a whole number, it is an integer.
रिया ने संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी, जिसमें प्रत्येक अगले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। वह कहती है कि यह संख्या केवल 0 और 1 से बनी है, इसलिए परिमेय है। रिया के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. रिया गलत है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है; इसलिए यह अपरिमेय है।/Riya is incorrect because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational.
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Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती होता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। अतः \(0.101001000100001\ldots\) अनंत अनावर्ती दशमलव है और अपरिमेय है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होने से कोई संख्या परिमेय नहीं बन जाती। परीक्षा टिप: दशमलव में कोई पैटर्न दिखे तो जाँचें कि वह वास्तव में निश्चित अवधि के बाद दोहराता है या नहीं। / A rational number has a decimal expansion that either terminates or repeats after some point. Here, the number of zeros between the 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats periodically. Hence \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: When a decimal has a pattern, check whether a fixed block actually repeats after a certain point.
किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती होता है। इसलिए यदि उसका दशमलव प्रसार अनंत है, तो उसमें एक अंक या अंकों का समूह बार-बार दोहराया जाएगा; अतः विकल्प B सही है। अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्या का होता है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या के लिए “अनंत” दिखे तो “आवर्ती” अवश्य जाँचें। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating repeating. Therefore, if its decimal expansion is infinite, a digit or a block of digits repeats, so option B is correct. A non-terminating non-repeating decimal represents an irrational number. Exam tip: For a rational number, an infinite decimal expansion must be repeating.
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। अतः \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। \(4\sqrt{2}\) गलत है, क्योंकि उसका वर्ग \(32\) होता है, \(72\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(72=36\times2\) and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). \(4\sqrt{2}\) is incorrect because its square is \(32\), not \(72\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(125=25\times5\) होने से \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{125}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\sqrt{120}\) को \(\sqrt{125}-\sqrt{5}\) के बराबर नहीं माना जा सकता, क्योंकि वर्गमूलों में घटाव को एक ही वर्गमूल में नहीं लिखा जाता। परीक्षा टिप: पहले संख्या में पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानकर वर्गमूल सरल करें। / Since \(125=25\times5\), \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{125}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), so option B is correct. \(\sqrt{120}\) is not equal to \(\sqrt{125}-\sqrt{5}\), because subtraction of square roots cannot be combined into one square root. Exam tip: simplify each surd by identifying its largest perfect-square factor first.
-12 एक पूर्णांक है। इसे \(\frac{-12}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या भी है। \(\frac{3}{7}\) परिमेय है, लेकिन पूर्णांक नहीं है; जबकि \(\sqrt{15}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: हर पूर्णांक को हर 1 वाले भिन्न के रूप में लिखकर उसकी परिमेयता जाँचें। / -12 is an integer. It can be written as \(\frac{-12}{1}\), so it is also a rational number. \(\frac{3}{7}\) is rational but not an integer, while \(\sqrt{15}\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: To check whether an integer is rational, write it as a fraction with denominator 1.
दिया है कि \(x=\sqrt{14}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{14})^2=14\)। इसलिए \(x^2-10=14-10=4\), इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प 14 केवल \(x^2\) का मान है; उसमें से 10 घटाना शेष है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{14}\), we get \(x^2=(\sqrt{14})^2=14\). Therefore, \(x^2-10=14-10=4\), so option D is correct. The value 14 is only \(x^2\); 10 still has to be subtracted. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(18=9\times2\) और \(8=4\times2\) होने से \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए \(\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। \(3\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{18}\) का सरल रूप है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(18=9\times2\) and \(8=4\times2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). \(3\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{18}\), not of the sum. Exam tip: simplify each surd by taking out perfect-square factors before adding like surds.
\(0.123456789101112\ldots\) में प्राकृतिक संख्याओं के अंक क्रम से जोड़े गए हैं और कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहराता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, इसलिए अपरिमेय है। इसके विपरीत, \(0.7777\ldots\), \(0.202020\ldots\) और \(0.123123123\ldots\) सभी आवर्ती दशमलव हैं, अतः परिमेय हैं। परीक्षा टिप: अनंत दशमलव में यदि आवृत्ति निश्चित हो तो संख्या परिमेय होती है; अनंत अनावर्ती होने पर अपरिमेय होती है। / In \(0.123456789101112\ldots\), the digits of natural numbers are written consecutively, and no fixed block of digits repeats forever. It is an infinite non-repeating decimal, so it is irrational. In contrast, \(0.7777\ldots\), \(0.202020\ldots\), and \(0.123123123\ldots\) are recurring decimals and therefore rational. Exam tip: An infinite decimal is rational if it eventually repeats; if it is non-terminating and non-repeating, it is irrational.
\(\sqrt{81}=9\) और \(\sqrt{9}=3\) होता है। इसलिए \(\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प 9 केवल अंश का वर्गमूल है; उसमें हर से भाग देना बाकी रहता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक वर्गमूल का मान निकालें, फिर भिन्न को सरल करें। / \(\sqrt{81}=9\) and \(\sqrt{9}=3\). Therefore, \(\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\). Hence, option B is correct. The value 9 is only the square root of the numerator; division by the denominator is still required. Exam tip: evaluate each square root first, then simplify the fraction.
यहाँ \(a=\sqrt{2}\) है, इसलिए \(\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)। अतः \(a+\frac{1}{a}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\), जो अपरिमेय है, क्योंकि किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या से \(\sqrt{2}\) का गुणनफल अपरिमेय रहता है। इसलिए यह पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या भी नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: मूल वाले व्यंजक को पहले सरल करके \(k\sqrt{n}\) के रूप में लिखें। / Here \(a=\sqrt{2}\), so \(\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Therefore, \(a+\frac{1}{a}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\), which is irrational because a non-zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational. Hence, it cannot be an integer or a natural number. Exam tip: simplify surd expressions first and try to write them in the form \(k\sqrt{n}\).
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में सभी परिमेय संख्याएँ और सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। परिमेय संख्याओं को \(p/q\), जहाँ \(q\ne0\), के रूप में लिखा जा सकता है; जबकि \(\sqrt{2}\) जैसी अपरिमेय संख्या इस रूप में नहीं लिखी जा सकती। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ केवल परिमेय संख्याओं के उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे वास्तविक संख्याओं का पूरा वर्गीकरण नहीं हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्याएँ = परिमेय संख्याएँ + अपरिमेय संख्याएँ याद रखें। / The set of real numbers contains all rational numbers and all irrational numbers. A rational number can be written in the form \(p/q\), where \(q\ne0\), whereas an irrational number such as \(\sqrt{2}\) cannot be written in this form. Integers and natural numbers are only subsets of rational numbers, so they do not give the complete classification of real numbers. Exam tip: remember that real numbers = rational numbers + irrational numbers.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) इसलिए योग \(5\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(5\sqrt{5}\)? ध्यान दें सही जोड़ \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) है। परीक्षा में पहले सरल रूप निकालें। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so the sum is \(5\sqrt{5}\). Simplify surds before adding.
सरल रूप में हर में 2 और 5 के अलावा 3 भी है इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / In simplest form the denominator contains 3 along with 2, so the decimal will not terminate. Check prime factors of the denominator.
\(27=9\times3\) और \(12=4\times3\) हैं। इसलिए \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अतः \(x=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। \(2\sqrt{3}\) केवल \(\sqrt{12}\) का सरल रूप है, अंतर का मान नहीं। परीक्षा में घटाने से पहले दोनों वर्गमूलों को समान करणी \(\sqrt{3}\) के रूप में सरल करें। / Since \(27=9\times3\) and \(12=4\times3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(x=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}\). \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(\sqrt{12}\), not the value of the difference. Exam tip: simplify both surds to like radicals before subtracting.
