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समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: 28 ÷ 23 = 2^(8−3) = 25 = 32। इसलिए सही उत्तर 32 है। 16 प्राप्त करने के लिए घातांक में 4 का अंतर मानना गलत होगा। परीक्षा टिप: a^m ÷ a^n = a^(m−n), जहाँ a ≠ 0। / When powers with the same non-zero base are divided, their exponents are subtracted: 28 ÷ 23 = 2^(8−3) = 25 = 32. Therefore, 32 is correct. The value 16 would result from incorrectly taking the exponent difference as 4. Exam tip: a^m ÷ a^n = a^(m−n), where a ≠ 0.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(a^m \times a^n=a^{m+n}\)। इसलिए \(3^5 \times 3^2=3^{5+2}=3^7=2187\)। विकल्प 729, \(3^6\) के बराबर है, इसलिए वह एक घातांक कम लेने की सामान्य गलती को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार दिखे तो घातांकों को जोड़ें, आधार को नहीं। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(a^m \times a^n=a^{m+n}\). Therefore, \(3^5 \times 3^2=3^{5+2}=3^7=2187\). The distractor 729 equals \(3^6\), which results from adding one exponent incorrectly. Exam tip: for multiplication of powers with the same base, add the exponents and keep the base unchanged.
घातों का नियम: \((a^m)^n = a^{mn}\)। अतः \((5^2)^3 = 5^{2\times3} = 5^6\)। अब \(5^6 = 5^3\times5^3 = 125\times125 = 15625\)। विकल्प C सही है। निकटतम विचलन: 3125 = \(5^5\) (घात एक कम), 625 = \(5^4\), और 25 = \(5^2\) — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले घातों के नियम लागू कर के घात का मान घटाएँ, उसके बाद संख्या का मान निकालें। / Use the power-of-a-power rule: \((a^m)^n = a^{mn}\). So \((5^2)^3 = 5^{2\times3} = 5^6\). Calculate \(5^6 = 15625\), hence option C is correct. Closest distractor 3125 equals \(5^5\) (one exponent short); 625 is \(5^4\) and 25 is \(5^2\), so they are incorrect. Exam tip: always simplify exponents using laws first, then evaluate the base power to avoid arithmetic mistakes.
क्योंकि \(14^3=14×14×14=2744\), इसलिए \(x^3=2744\) से \(x=\sqrt[3]{2744}=14\)। अन्य विकल्पों के घन 2744 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले निकटतम पूर्ण घन पहचानें: \(14^3=2744\)। / Since \(14^3=14×14×14=2744\), it follows that \(x^3=2744\) gives \(x=\sqrt[3]{2744}=14\). The cubes of the other options are not equal to 2744. Exam tip: identify the nearest perfect cube first; here, \(14^3=2744\).
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \\(2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9=512\\)। इसलिए सही उत्तर 512 है। ध्यान रखें कि घातांकों को जोड़ने का नियम केवल समान आधार वाली घातों के गुणन पर लागू होता है; इस प्रश्न में 128, यानी \\(2^7\\), प्राप्त करना सही नहीं है। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \\(2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9=512\\). Therefore, the correct answer is 512. Remember that adding exponents is valid here because the bases are the same; 128, which is \\(2^7\\), is not correct.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: \(9^3 \div 9^1 = 9^{3-1}=9^2=81\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प D है। विकल्प A में केवल एक घातांक घटाने के बाद का आधार लिया गया है, जबकि विकल्प C \(9^3\) का मान है। परीक्षा टिप: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\) नियम याद रखें। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(9^3 \div 9^1 = 9^{3-1}=9^2=81\). Therefore, option D is correct. Option A uses only the base, while option C is the value of \(9^3\) itself. Exam tip: remember the rule \(a^m \div a^n=a^{m-n}\).
क्योंकि 27 × 27 = 729, इसलिए a² = 729 के लिए धनात्मक मान a = 27 है। ऋणात्मक मान −27 भी वर्ग करने पर 729 देता है, लेकिन प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है। परीक्षा में याद रखें कि किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल को धनात्मक मूल माना जाता है: √729 = 27। / Since 27 × 27 = 729, the positive value of a satisfying a² = 729 is 27. The negative value −27 also gives 729 when squared, but the question specifically asks for the positive value. Exam tip: the positive square root of 729 is √729 = 27.
घात का अर्थ है संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करना। इसलिए, \(10^3=1000\) और \(5^3=125\)। अतः \(10^3+5^3=1000+125=1125\), इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में पहले प्रत्येक घात का मान निकालकर अंत में जोड़ करें; \(10^3+5^3\) को \((10+5)^3\) न समझें। / An exponent of 3 means multiplying the number by itself three times. Thus, \(10^3=1000\) and \(5^3=125\). Therefore, \(10^3+5^3=1000+125=1125\), so option C is correct. In an exam, evaluate each power first and then add; do not treat \(10^3+5^3\) as \((10+5)^3\).
घ नुक्सान का नियम लागू करें: समान आधार वाले घातों का भाग करने पर घात घटते हैं, यानी \(a^m\div a^n=a^{m-n}\)। यहाँ \(8^4\div 8^2=8^{4-2}=8^2=64\)। निकटभ्रांतियाँ: 512 = \(8^3\) (यह तब गलत परिणाम होगा यदि किसी ने घातों को गलत तरीके से घटाकर 4−1 किया हो), और 4096 = \(8^4\) (यह तब होगा यदि भाग करना भूल जाएँ)। परीक्षा-सूचना: पहले घातों के नियम लागू कर लें, फिर केवल छोटे अंकगणित से मान निकालें। / Use the law of exponents: for the same base, division subtracts exponents, i.e. \(a^m\div a^n=a^{m-n}\). Thus \(8^4\div 8^2=8^{4-2}=8^2=64\). About distractors: 512 = \(8^3\) (would result from an incorrect subtraction like 4−1), and 4096 = \(8^4\) (result if division is omitted). Exam tip: apply exponent rules first, then compute the remaining power to avoid arithmetic mistakes.
घात का अर्थ है संख्या को स्वयं से गुणा करना। इसलिए 112 = 11 × 11 = 121 और 122 = 12 × 12 = 144। अब 121 + 144 = 265, इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में पहले प्रत्येक घात का मान निकालकर अंत में जोड़ने से गणना की त्रुटि से बचा जा सकता है। / An exponent of 2 means multiplying the number by itself. Thus, 112 = 11 × 11 = 121 and 122 = 12 × 12 = 144. Therefore, 121 + 144 = 265, so option A is correct. In an exam, calculate each power first and then perform the addition to avoid errors.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\)। इसलिए \(6^5 \div 6^3=6^{5-3}=6^2=36\)। विकल्प C में केवल \(6^3\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में भाग देते समय समान आधार होने पर घातांकों का अंतर लेना याद रखें। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\). Therefore, \(6^5 \div 6^3=6^{5-3}=6^2=36\). Option C is only the value of \(6^3\), so it is not correct. Exam tip: for division with the same base, subtract the exponents.
दिया है कि \(b^3=4096\), इसलिए \(b\) का मान 4096 का घनमूल होगा। क्योंकि \(16^3=16\times16\times16=4096\), अतः \(b=16\)। परीक्षा में घनमूल ज्ञात करने के लिए निकटतम पूर्ण घन याद रखें: \(16^3=4096\)। / Given \(b^3=4096\), the value of \(b\) is the cube root of 4096. Since \(16^3=16\times16\times16=4096\), we get \(b=16\). Exam tip: remember common perfect cubes, including \(16^3=4096\), to identify the answer quickly.
12 का वर्ग \(12^2=144\) और 13 का वर्ग \(13^2=169\) है। इनका योग है \(144+169=313\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 312 है जो जोड़ने में 1 की गलती से आ सकता है; 323 और 303 दोनों वर्गों की गलत मान्यताओं का परिणाम होंगे। परीक्षा टिप: व्यक्तिगत वर्ग पहले निकालें और इकाई अंक देखकर तेज़ जाँच करें (4+9=13 ⇒ इकाई अंक 3 और अगला स्थान पर 1 का संचय)। / Compute squares first: \(12^2=144\) and \(13^2=169\). Adding gives \(144+169=313\). The nearest distractor 312 likely comes from an off-by-one addition error; 323 and 303 reflect incorrect square values. Exam tip: find each square separately and check the unit digit (4+9=13 ⇒ unit digit 3 with a carry of 1) to verify quickly.
पहले घातों का मान निकालते हैं: 54 = 625 और 52 = 25। अतः 54 - 52 = 625 - 25 = 600। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: घातों वाले घटाव में पहले प्रत्येक घात का मान ज्ञात करें, फिर घटाएँ। / First evaluate the powers: 54 = 625 and 52 = 25. Therefore, 54 - 52 = 625 - 25 = 600, so option A is correct. Exam tip: In subtraction involving powers, evaluate each power before performing the subtraction.
घातांक का अर्थ है: 132 = 13 × 13 = 169 और 142 = 14 × 14 = 196। अतः 132 + 142 = 169 + 196 = 365, इसलिए सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि जोड़ से पहले दोनों घातों का मान निकालना चाहिए। / Evaluate each square first: 132 = 13 × 13 = 169 and 142 = 14 × 14 = 196. Therefore, 132 + 142 = 169 + 196 = 365, so option B is correct. Exam tip: calculate the powers before performing the addition.
पहले घातों का मान निकालें: \(2^7=128\) और \(3^5=243\)। अब जोड़ने पर \(128+243=371\), इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। घातांक में आधार को स्वयं से उतनी बार गुणा किया जाता है जितना घातांक बताता है; जोड़ से पहले दोनों घातों का अलग-अलग मान निकालना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है। / Evaluate the powers first: \(2^7=128\) and \(3^5=243\). Their sum is \(128+243=371\), so option C is correct. An exponent indicates how many times the base is multiplied by itself; calculating each power separately before addition is a reliable exam method.
पहला चरण: \(14^2=196\) और \(15^2=225\)। इनका योग \(196+225=421\) होता है। वैकल्पिक तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग कर सकते हैं — यहाँ \((14+15)^2-2\times14\times15=29^2-420=841-420=421\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प 411 तब बनता है जब कोई \(15^2\) को गलत तरीके से 215 मान ले (196+215=411)। परीक्षा सुझाव: बड़े वर्गों के लिए पहचानें और आवश्यक होने पर \((a+b)^2-2ab\) सूत्र का उपयोग करें ताकि गिनती कम हो जाए। / Compute directly: \(14^2=196\) and \(15^2=225\), so \(196+225=421\). Alternate check: use identity \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\); here \((14+15)^2-2\cdot14\cdot15=29^2-420=841-420=421\). The nearest wrong choice 411 can result from mistakenly taking \(15^2=215\) (giving 196+215=411). Exam tip: memorize common squares and use the identity to reduce calculation errors on paper.
घात के घात पर नियम
a^m)^n = a^(mn) के अनुसार, \(2^4\)2 = 2^(4×2) = 28 = 256। इसलिए सही उत्तर 256 है। 128 और 64 अलग-अलग घातों के मान हैं, जबकि 512, 29 का मान है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो घातों को गुणा करें। / Using the power-of-a-power rule, \(a^m\)^n = a^(mn), we get \(2^4\)2 = 2^(4×2) = 28 = 256. Therefore, 256 is correct. The values 128 and 64 correspond to different powers, while 512 is 29. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
पहले दोनों संख्याओं के वर्ग ज्ञात करें: 152 = 225 और 162 = 256। अब जोड़ने पर 225 + 256 = 481, इसलिए सही उत्तर 481 है। ध्यान रखें कि घात वाले पदों का जोड़ निकालते समय पहले प्रत्येक पद का मान निकालकर फिर जोड़ना चाहिए। / First calculate the squares: 152 = 225 and 162 = 256. Adding them gives 225 + 256 = 481, so 481 is correct. Remember to evaluate each exponent before performing the addition.
क्योंकि (31)2 = 31 × 31 = 961, इसलिए c के धनात्मक मान के लिए c = 31 होगा। ध्यान दें कि c-2 = 961 के दो मान c = 31 और c = -31 हो सकते हैं, लेकिन प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के वर्ग से मूल संख्या ज्ञात करते समय धनात्मक वर्गमूल लें, जब धनात्मक मान माँगा गया हो। / Since (31)2 = 31 × 31 = 961, the positive value of c is 31. Although c-2 = 961 gives c = 31 or c = -31, the question specifically asks for the positive value. Exam tip: when a positive value is requested from a square, choose the positive square root.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)। इसलिए \(3^6 \div 3^3 = 3^{6-3} = 3^3 = 27\)। विकल्प B में केवल \(3^2\) का मान लिया गया है। परीक्षा में भाग करते समय समान आधार होने पर घातांकों का घटाव याद रखें। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Thus, \(3^6 \div 3^3 = 3^{6-3} = 3^3 = 27\). Option B results from incorrectly using \(3^2\). In an exam, remember to subtract exponents when dividing powers with the same base.
पहले दोनों वर्ग ज्ञात करें: \(17^2=289\) और \(18^2=324\)। अतः \(17^2+18^2=289+324=613\), इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या का वर्ग अलग-अलग निकालें, ताकि गणना की त्रुटि न हो। / First calculate both squares: \(17^2=289\) and \(18^2=324\). Therefore, \(17^2+18^2=289+324=613\), so option B is correct. Exam tip: Calculate each square separately before adding to avoid arithmetic errors.
पहले दोनों घातों का मान निकालें: 45 = 1024 और 28 = 256। अतः 45 + 28 = 1024 + 256 = 1280, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा में जोड़ करने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालना उपयोगी रहता है। / Evaluate the two powers separately: 45 = 1024 and 28 = 256. Therefore, 45 + 28 = 1024 + 256 = 1280, so option C is correct. In an exam, calculate each exponent before performing the addition to avoid confusing the bases or exponents.
दिया है कि d-3 = 5832। अब 18 का घन निकालने पर 18 × 18 × 18 = 5832 प्राप्त होता है। इसलिए d = 18 और सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि घन वाले समीकरण में d ज्ञात करने के लिए संख्या का घनमूल लिया जाता है; अतः d = ∛5832। / Given d-3 = 5832. Since 18 × 18 × 18 = 5832, the value of d is 18, so option A is correct. For an equation involving a cube, find the unknown by taking the cube root: d = ∛5832.
पहले दोनों संख्याओं के वर्ग निकालें: 192 = 361 और 202 = 400। अतः 192 + 202 = 361 + 400 = 761, इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में घातांक वाले पदों का जोड़ करने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालना उपयोगी रहता है। / First calculate the two squares: 192 = 361 and 202 = 400. Therefore, 192 + 202 = 361 + 400 = 761, so option B is correct. In an exam, calculate each exponent separately before adding the terms to avoid confusing addition of squares with the square of a sum.
समान आधार वाले घातों को भाग करने पर घात आपस में घटते हैं: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)। इसलिए \(5^5 \div 5^2 = 5^{5-2} = 5^3 = 125\)। निकटभ्रामक विकल्पों में 25 = \(5^2\) (घात घटाने में अधिक कमी), 625 = \(5^4\) (घात जोड़ने या गलत घटाने का परिणाम), और 5 = \(5^1\) (अति-घटित) हैं — ये सब गलत हैं। परीक्षा टिप: विभाजन करते समय केवल घात घटाएँ; बेस अलग नहीं होते तो बस घात घटाइए। / For the same base, exponents are subtracted when dividing: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Thus \(5^5 \div 5^2 = 5^{5-2} = 5^3 = 125\). Closest distractors: 25 is \(5^2\) (too small), 625 is \(5^4\) (result of a wrong operation like adding exponents), and 5 is \(5^1\) (over-subtracted). Exam tip: when dividing like bases, subtract the exponents — don’t divide the bases themselves.
पहला कदम: \(20^2 = 400\). दूसरे का त्वरित उपयोग करने के लिए आप पहचान सकते हैं कि \(21^2 = (20+1)^2 = 20^2 + 2\times20\times1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441\). अतः कुल योग \(400 + 441 = 841\)। इसलिए सही उत्तर 841 है।
क्लोजेस्ट डिस्ट्रैक्टर (\(831\)) आम गलती से आता है जहाँ कोई \(21^2\) को गलत तरीके से \(431\) या जोड़ में 10 की कमी करके निकाल देता है। परीक्षा-टिप: किसी भी n के लिए \((a+b)^2\) या पास के पूर्ण वर्ग का उपयोग करें — यह स्क्रैच से गणना करने से तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Compute directly: \(20^2 = 400\). Use the identity for the nearby square: \(21^2 = (20+1)^2 = 20^2 + 2\times20\times1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441\). Adding gives \(400 + 441 = 841\), so the correct answer is 841.
The closest wrong choice (831) typically arises from a slip in calculating \(21^2\) or an arithmetic error when adding. Exam tip: use \((a+b)^2\) or the nearest perfect square method to avoid careless mistakes.
घात के घात का नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) होता है। इसलिए
\((4^2)^3=4^{2\times3}=4^6=4096\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में बाहरी घात को अंदर की घात से गुणा करना याद रखें; विकल्प B, \(4^5\), जैसे एक घात कम लेने की सामान्य भूल से मिल सकता है। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((4^2)^3=4^{2\times3}=4^6=4096\), so option A is correct. In the exam, remember to multiply the exponents; option B can result from incorrectly taking the exponent as 5 instead of 6.
पहले दोनों संख्याओं का वर्ग निकालें: 212 = 441 और 222 = 484। अतः 212 + 222 = 441 + 484 = 925, इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में जोड़ने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालने पर गणना की गलती कम होती है। / First calculate the squares: 212 = 441 and 222 = 484. Therefore, 212 + 222 = 441 + 484 = 925, so option B is correct. In an exam, calculating each power separately before adding helps avoid arithmetic errors.
पहले प्रत्येक घात की गणना करें: \(6^4 = 6\times6\times6\times6 = 1296\) और \(3^5 = 3\times3\times3\times3\times3 = 243\)। अतः योग है \(1296+243=1539\)। विकल्प B (1536) गलत है क्योंकि वहाँ \(243\) को गलती से \(240\) लिया गया होगा; विकल्प A केवल \(6^4\) का मान है। परीक्षा सुझाव: घातों के मान याद रखें और जोड़ते समय प्रभावित अंकों (units या tens) पर ध्यान दें ताकि छोटी गिनती की गलतियाँ पकड़ी जा सकें। / Compute each power first: \(6^4=6\times6\times6\times6=1296\) and \(3^5=3\times3\times3\times3\times3=243\). Adding gives \(1296+243=1539\). Option B (1536) is a close arithmetic mistake (treating 243 as 240). Option A (1296) is just \(6^4\) alone. Exam tip: evaluate powers separately and then add; checking the units digit often catches small addition errors.
सीधा हिसाब: \(22^2=484\) और \(23^2=529\)। दोनों जोड़ने पर \(484+529=1013\)।
त्वरित तरीका (पहचान): \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)। यहाँ \( (22+23)^2-2\times22\times23=45^2-1012=2025-1012=1013\)।
टिप: परीक्षा में बड़े वर्गों के जोड़ के लिए यह पहचान उपयोगी है। विकल्प B (1003) शायद अंकगणित में 10 की भूल से आया है—यह सही नहीं है। / Direct calculation: \(22^2=484\) and \(23^2=529\). Adding gives \(484+529=1013\).
Alternate quick method (identity): \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\). So \((22+23)2-2\times22\times23=452-1012=2025-1012=1013\.
Exam tip: Use this identity for fast mental calculation of sums of squares. Option B (1003) is a common slip (off by 10) and therefore incorrect.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)। इसलिए \(7^4 \div 7^1 = 7^{4-1} = 7^3 = 343\)। विकल्प B में केवल \(7^2\) का मान है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार के भाग में आधार वही रहता है और घातांक घटते हैं। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Therefore, \(7^4 \div 7^1 = 7^{4-1} = 7^3 = 343\). Option B is the value of only \(7^2\), so it is incorrect. Exam tip: In division of powers with the same base, keep the base unchanged and subtract the exponents.
क्योंकि (34)2 = 34 × 34 = 1156, इसलिए e = ±34 होगा। प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है, अतः e = 34। ध्यान रखें कि किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का धनात्मक मान लिया जाता है; इसलिए −34 सही उत्तर नहीं होगा। / Since (34)2 = 34 × 34 = 1156, e = ±34. However, the question asks for the positive value, so e = 34. Remember that the positive square root is selected when a positive value is requested; therefore, −34 is not the answer.
सीधा तरीका: \(23^2=529\) और \(24^2=576\)। इन्हें जोड़ने पर \(529+576=1105\)।
वैकल्पिक तेज तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) लागू करें: \((23+24)^2=47^2=2209\) और \(2\times23\times24=1104\), इसलिए \(2209-1104=1105\)।
नज़दीकी विकल्पों का विश्लेषण: 1100 और 1095 ऐसे मान हैं जो जोड़ में हुई गलतगणना से आते हैं; 1115 अधिक अनुमान है।
परीक्षा-सुझाव: बड़े वर्गों का योग करते समय पहले छोटे वर्ग निकालें या उपरोक्त पहचान \( (a+b)^2-2ab \) का प्रयोग करें — यह समय बचाता है और त्रुटि घटाता है। / Direct method: \(23^2=529\) and \(24^2=576\). Adding gives \(529+576=1105\).
Alternate quick method: use \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\). Here \((23+24)^2=47^2=2209\) and \(2\times23\times24=1104\), so \(2209-1104=1105\).
Why other options are wrong: 1100 and 1095 result from small arithmetic undercounts; 1115 is an overestimate.
Exam tip: Use the identity \((a+b)^2-2ab\) to avoid computing two large squares separately — it's faster and reduces errors.
242 = 576 और 252 = 625 हैं; इसलिए 242 + 252 = 576 + 625 = 1201। एक तेज़ तरीका: 242 = (25−1)2 = 252 − 2·25 + 1 = 625 − 50 + 1 = 576, फिर जोड़ें। निकटतम दलाल विकल्प 1200 सिर्फ 1 से कम है इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: लगातार पूर्णांकों के वर्ग जोड़ने के लिए (n−1)2 + n-2 = 2n-2 − 2n + 1 का उपयोग करें। / 242 = 576 and 252 = 625, so 242 + 252 = 576 + 625 = 1201. A quick method: compute 242 as (25−1)2 = 252 − 2·25 + 1 = 576, then add. The closest distractor 1200 is off by 1 and therefore incorrect. Exam tip: use the identity (n−1)2 + n-2 = 2n-2 − 2n + 1 for consecutive integers to save time.
पहले दोनों वर्ग निकालें: \(25^2=625\) और \(26^2=676\)। इसलिए \(25^2+26^2=625+676=1301\), अतः सही विकल्प B है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या का वर्ग अलग-अलग निकालें, ताकि गणना की गलती न हो। / Find the two squares first: \(25^2=625\) and \(26^2=676\). Therefore, \(25^2+26^2=625+676=1301\), so option B is correct. Exam tip: calculate each square separately before adding to avoid arithmetic errors.
दिया है कि \(f^3=6859\)। क्योंकि \(19^3=19\times19\times19=361\times19=6859\), इसलिए \(f=19\)। परीक्षा-युक्ति: घन वाले प्रश्नों में उस संख्या की जाँच करें जिसका तीन बार गुणनफल दिया गया मान हो। / Given that \(f^3=6859\). Since \(19^3=19\times19\times19=361\times19=6859\), it follows that \(f=19\). Exam tip: For cube equations, check the number whose product taken three times equals the given value.
सीधा हिसाब: \(26^2=676\) और \(27^2=729\)। दोनों जोड़ने पर \(676+729=1405\)। वैकल्पिक त्वरित तरीका: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) का उपयोग करें — यहाँ \((26+27)^2-2\times26\times27=53^2-1404=2809-1404=1405\)। विकल्प \(1395\) सामान्य तौर पर गलत जोड़/घटाने की त्रुटि का परिणाम है, इसलिए वह निकट लेकिन गलत है। परीक्षा टिप: बड़े वर्गों को तुरंत याद न हों तो पहले गुणा/घटाकर देखें या दी गई पहचान का प्रयोग करें। / Direct calculation: \(26^2=676\) and \(27^2=729\). Adding gives \(676+729=1405\). A quick identity: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) — here \((26+27)^2-2\times26\times27=53^2-1404=2809-1404=1405\). Option 1395 typically arises from an arithmetic slip, so it is close but incorrect. Exam tip: use the identity or compute individual squares carefully to avoid addition mistakes under time pressure.
पहले दोनों वर्ग ज्ञात करें: 27² = 729 और 28² = 784। अतः 27² + 28² = 729 + 784 = 1513। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा में गणना की त्रुटि से बचने के लिए 28² को (30 − 2)² = 900 − 120 + 4 = 784 के रूप में भी जाँच सकते हैं। / Calculate the two squares first: 27² = 729 and 28² = 784. Therefore, 27² + 28² = 729 + 784 = 1513, so option B is correct. As an exam tip, you can verify 28² using (30 − 2)² = 900 − 120 + 4 = 784 to avoid calculation errors.
किसी दो संख्याओं के वर्गों के योग को जल्दी निकालने के लिए पहचान उपयोगी है: \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)। यहाँ \(a=28,\; b=29\)। पहले \(a+b=57\) और \(ab=28\times29=812\)। इसलिए \((28^2+29^2)=(57)^2-2\times812=3249-1624=1625\)। निकट का विक्षेपक 1615 इसलिए गलत है क्योंकि यह 292 को 831 मानने जैसी छोटी ग़लती से 10 कम आ सकता है। परीक्षा-टिप: बड़े वर्गों को सीधे गुणा करने की जगह पहचान \((a+b)^2-2ab\) या हर संख्या का वर्ग अलग निकालें \(28^2=784, 29^2=841\) और जोड़ें। / Use the identity \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) for a quick calculation. With \(a=28, b=29\): \(a+b=57\) and \(ab=28\times29=812\). So \(28^2+29^2=57^2-2\times812=3249-1624=1625\). The close option 1615 is incorrect — it could arise from miscalculating \(29^2\) as 831 instead of 841. Exam tip: either use the identity above or compute \(28^2=784\) and \(29^2=841\) separately and add them to avoid small arithmetic mistakes.
पहले घातों का मान निकालें: \(3^7=2187\) और \(3^4=81\)। अतः \(3^7-3^4=2187-81=2106\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C केवल \(3^7\) का मान है और उसमें \(3^4\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों को घटाते समय घातों को नहीं, उनके मानों को घटाएँ। / Evaluate the powers first: \(3^7=2187\) and \(3^4=81\). Therefore, \(3^7-3^4=2187-81=2106\), so option A is correct. Option C is only the value of \(3^7\); it does not subtract \(3^4\). Exam tip: when subtracting powers with the same base, subtract their values rather than their exponents.
पहले दोनों वर्गों का मान निकालें: 292 = 841 और 302 = 900। अतः 292 + 302 = 841 + 900 = 1741, इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा में जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या का वर्ग अलग-अलग निकालना सावधानीपूर्ण तरीका है। / First calculate the two squares: 292 = 841 and 302 = 900. Therefore, 292 + 302 = 841 + 900 = 1741, so option B is correct. In an exam, calculating each square separately before adding helps avoid arithmetic errors.
समान आधार वाली घातों के भाग का नियम है: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)। इसलिए \(2^9 \div 2^4 = 2^{9-4} = 2^5 = 32\)। विकल्प B में केवल \(2^4\) का मान लिया गया है, जबकि घातों को घटाना आवश्यक है। परीक्षा में समान आधार होने पर भाग करते समय घातों का घटाव अवश्य करें। / For division of powers with the same base, use \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Thus, \(2^9 \div 2^4 = 2^{9-4} = 2^5 = 32\). Option B is only the value of \(2^4\); it does not apply the division rule. Exam tip: when dividing powers with the same base, subtract the exponents, not the bases.
क्योंकि \(8000=20^3\), इसलिए \(x^3=20^3\) से \(x=20\)। विकल्प 18, 22 और 24 के घन 8000 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए संख्या का पूर्ण घन पहचानकर सीधे घनमूल निकालें। / Since \(8000=20^3\), the equation \(x^3=20^3\) gives \(x=20\). The cubes of 18, 22, and 24 are not equal to 8000. Exam tip: In such questions, identify the perfect cube and take its cube root directly.
घात के घात नियम के अनुसार \\(a^m\\)^n = a^{mn}\\ होता है। इसलिए \\( (2^3)^4 = 2^{3×4} = 2^{12} = 4096 \\)। अतः सही उत्तर 4096 है। ध्यान रखें कि ऐसी स्थिति में घातों को जोड़ा नहीं, बल्कि गुणा किया जाता है। / Using the power-of-a-power rule, \\(a^m\\)^n = a^{mn}\\. Therefore, \\( (2^3)^4 = 2^{3×4} = 2^{12} = 4096 \\). Hence, 4096 is correct. Remember that the exponents are multiplied, not added, in this form.
सरल तरीकों से: सीधे गुणन करके
312 = 961 और 322 = 1024, इसलिए जोड़ने पर 961 + 1024 = 1985।
या पहचान का प्रयोग करें:
((n-1)2 + n-2 = 2n-2 - 2n + 1) पर n = 32 लगाएँ:
2·322 - 2·32 + 1 = 2·1024 - 64 + 1 = 2048 - 63 = 1985।
नोट: निकटतम भ्रामक विकल्प (1975) अक्सर गलत वर्ग या जोड़ने में कमी के कारण आता है।
परीक्षा सुझाव: बड़े वर्ग तेज़ी से निकालने के लिए पहचानें या 322 = (30+2)2 = 900+120+4 = 1024 जैसे भागों में विभाजित करें। / By direct calculation: 312 = 961 and 322 = 1024, so 961 + 1024 = 1985.
Alternatively use the identity
((n-1)2 + n-2 = 2n-2 - 2n + 1) with n = 32:
2·322 - 2·32 + 1 = 2·1024 - 64 + 1 = 1985.
Common distractor (1975) results from arithmetic slip when squaring or adding. Exam tip: use algebraic identities or split squares (e.g. 322 = (30+2)2) for faster, less error-prone calculation.
पहले दोनों घातों का मान निकालते हैं: 45 = 1024 और 26 = 64। अतः 45 - 26 = 1024 - 64 = 960। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में घातों वाली संक्रिया में पहले घात का मान निकालकर फिर घटाव करें। / First evaluate both powers: 45 = 1024 and 26 = 64. Therefore, 45 - 26 = 1024 - 64 = 960, so option A is correct. Exam tip: evaluate the exponents before performing the subtraction.
क्योंकि \(37^2=37\times37=1369\), इसलिए समीकरण \(y^2=1369\) का धनात्मक हल \(y=37\) है। ऋणात्मक हल \(-37\) भी संभव है, लेकिन प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या का वर्गमूल निकालकर उसका वर्ग करके उत्तर की जाँच करें। / Since \(37^2=37\times37=1369\), the positive solution of \(y^2=1369\) is \(y=37\). The negative solution \(-37\) is also possible, but the question asks for the positive value. Exam tip: verify a square-root answer by squaring it.
सीधा तरीका: \,\(32^2=1024\) और \,\(33^2=1089\) इसलिए जोड़ = 1024+1089=2113। वैकल्पिक त्वरित सूत्र: \,\(n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1\) पर n=32 लगाने पर भी \,\(2\times32^2+2\times32+1=2113\) मिलता है। निकटतम विचलन: 2103 और 2123 गणना में 10 का अंतर दर्शाते हैं, 2119 में 6 का अंतर है — ये सभी गलत हैं। परीक्षा टिप: लगातार पूर्णांकों के वर्ग जोड़ते समय उपरोक्त सामान्य सूत्र याद रखें, इससे गति बढ़ती है। / Direct calculation: \(32^2=1024\) and \(33^2=1089\), so the sum is 1024+1089=2113. Quick formula: \(n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1\); with n=32 this gives 2113 as well. Why distractors are wrong: 2103 and 2123 are 10 away and 2119 is 6 away from the correct sum, so they result from simple arithmetic mistakes. Exam tip: use the formula for consecutive integers' squares to compute such sums faster and avoid addition errors.
समान आधार वाली घातों के भाग के लिए नियम है: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\), जहाँ \(a\neq0\)। इसलिए \(7^5 \div 7^3=7^{5-3}=7^2=49\)। विकल्प B में \(7^3\) लिया गया है, जो घात घटाने के बाद सही परिणाम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भाग में समान आधार होने पर घातों को घटाएँ, गुणा न करें। / For division of powers with the same non-zero base, use \(a^m \div a^n=a^{m-n}\). Thus, \(7^5 \div 7^3=7^{5-3}=7^2=49\). Option B incorrectly uses \(7^3\), instead of subtracting the exponents. Exam tip: when dividing powers with the same base, subtract the exponents; do not multiply them.
