Riya writes the number \(0.101001000100001\ldots\), in which the number of zeros between successive 1s keeps increasing. She says that since the number contains only 0 and 1, it is rational. What is the correct evaluation of Riya’s statement?रिया ने संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी, जिसमें प्रत्येक अगले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। वह कहती है कि यह संख्या केवल 0 और 1 से बनी है, इसलिए परिमेय है। रिया के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Riya is incorrect because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational.रिया गलत है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है; इसलिए यह अपरिमेय है।
A rational number has a decimal expansion that either terminates or repeats after some point. Here, the number of zeros between the 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats periodically. Hence \(0.101001000100001\ldots\) is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: When a decimal has a pattern, check whether a fixed block actually repeats after a certain point.परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती होता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। अतः \(0.101001000100001\ldots\) अनंत अनावर्ती दशमलव है और अपरिमेय है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होने से कोई संख्या परिमेय नहीं बन जाती। परीक्षा टिप: दशमलव में कोई पैटर्न दिखे तो जाँचें कि वह वास्तव में निश्चित अवधि के बाद दोहराता है या नहीं।
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